登录
1. 下列多项式没有公因式的一组是 （
A.$ax - bx$ 与 $by - ay$
B.$6xy + 8x^2y$ 与 $-4x - 3$
C.$ab - ac$ 与 $ab - bc$
D.$(a - b)^3x$ 与 $(b - a)^2y$
C
）A.$ax - bx$ 与 $by - ay$
B.$6xy + 8x^2y$ 与 $-4x - 3$
C.$ab - ac$ 与 $ab - bc$
D.$(a - b)^3x$ 与 $(b - a)^2y$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断两个多项式是否有公因式，解题思路为：先对每个选项中的两个多项式分别用提公因式法分解因式，再对比分解后的结果，排查是否存在公共的因式，逐项分析后就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$ax-bx=x(a-b)$，$by-ay=-y(a-b)$，两个多项式有公因式$a-b$，不符合要求；
选项B：$6xy+8x^2y=2xy(4x+3)$，$-4x-3=-(4x+3)$，两个多项式有公因式$4x+3$，不符合要求；
选项C：$ab-ac=a(b-c)$，$ab-bc=b(a-c)$，两个多项式没有公共因式，符合要求；
选项D：偶次幂下互为相反数的底数结果相等，即$(b-a)^2=(a-b)^2$，因此$(a-b)^3x$与$(b-a)^2y$有公因式$(a-b)^2$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的判断，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式的方法，同时要注意互为相反数的底数的偶次幂相等的特点，避免判断D选项时出错。
【难度系数】
0.7
要判断两个多项式是否有公因式，解题思路为：先对每个选项中的两个多项式分别用提公因式法分解因式，再对比分解后的结果，排查是否存在公共的因式，逐项分析后就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$ax-bx=x(a-b)$，$by-ay=-y(a-b)$，两个多项式有公因式$a-b$，不符合要求；
选项B：$6xy+8x^2y=2xy(4x+3)$，$-4x-3=-(4x+3)$，两个多项式有公因式$4x+3$，不符合要求；
选项C：$ab-ac=a(b-c)$，$ab-bc=b(a-c)$，两个多项式没有公共因式，符合要求；
选项D：偶次幂下互为相反数的底数结果相等，即$(b-a)^2=(a-b)^2$，因此$(a-b)^3x$与$(b-a)^2y$有公因式$(a-b)^2$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的判断，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式的方法，同时要注意互为相反数的底数的偶次幂相等的特点，避免判断D选项时出错。
【难度系数】
0.7
2. 将$-3x^{2n} -6x^n$因式分解，结果是 （
A.$3(-x^{2n} -2x^n)$
B.$-3(x^{2n} +2x^n)$
C.$-3x^n(x^2 +2)$
D.$-3x^n(x^n +2)$
D
）A.$3(-x^{2n} -2x^n)$
B.$-3(x^{2n} +2x^n)$
C.$-3x^n(x^2 +2)$
D.$-3x^n(x^n +2)$
答案
2.D
解析
【分析】
这是一道因式分解的基础题，解题思路如下：①首先回忆提公因式法因式分解的步骤：先确定公因式，再提取公因式化简。②确定公因式：先看系数，原式两项的系数为-3和-6，系数的最大公因数是3，由于首项为负，通常把负号一起提取，所以公因式的系数取-3；再看字母部分，两项都含有字母x，x的指数分别是2n和n，相同字母取最低次幂，即$x^n$，因此公因式为$-3x^n$。③提取公因式后，用原式的每一项除以公因式得到括号内的项，最后对比选项选出正确答案即可，注意同底数幂相除底数不变、指数相减，不要算错指数。
【解析】
解：对$-3x^{2n} -6x^n$因式分解，步骤如下：
1. 确定公因式：
系数部分：两项系数为-3、-6，提取负号后最大公因数为3，故公因式系数为-3；
字母部分：两项均含x，x的最低次幂为$x^n$，因此公因式为$-3x^n$。
2. 提取公因式：
$-3x^{2n} -6x^n = -3x^n · x^n + (-3x^n) × 2 = -3x^n(x^n + 2)$。
3. 排除错误选项：
A选项未提取公因式$x^n$，因式分解不彻底，错误；
B选项未提取公因式$x^n$，因式分解不彻底，错误；
C选项中$x^{2n}÷ x^n = x^{2n-n}=x^n$，不是$x^2$，计算错误；
只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；同底数幂运算
【点评】
本题考查提公因式法进行因式分解，解题的核心是准确找到公因式，提取公因式后要注意核对剩余项的指数运算，避免出现指数计算错误的问题，属于因式分解的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道因式分解的基础题，解题思路如下：①首先回忆提公因式法因式分解的步骤：先确定公因式，再提取公因式化简。②确定公因式：先看系数，原式两项的系数为-3和-6，系数的最大公因数是3，由于首项为负，通常把负号一起提取，所以公因式的系数取-3；再看字母部分，两项都含有字母x，x的指数分别是2n和n，相同字母取最低次幂，即$x^n$，因此公因式为$-3x^n$。③提取公因式后，用原式的每一项除以公因式得到括号内的项，最后对比选项选出正确答案即可，注意同底数幂相除底数不变、指数相减，不要算错指数。
【解析】
解：对$-3x^{2n} -6x^n$因式分解，步骤如下：
1. 确定公因式：
系数部分：两项系数为-3、-6，提取负号后最大公因数为3，故公因式系数为-3；
字母部分：两项均含x，x的最低次幂为$x^n$，因此公因式为$-3x^n$。
2. 提取公因式：
$-3x^{2n} -6x^n = -3x^n · x^n + (-3x^n) × 2 = -3x^n(x^n + 2)$。
3. 排除错误选项：
A选项未提取公因式$x^n$，因式分解不彻底，错误；
B选项未提取公因式$x^n$，因式分解不彻底，错误；
C选项中$x^{2n}÷ x^n = x^{2n-n}=x^n$，不是$x^2$，计算错误；
只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；同底数幂运算
【点评】
本题考查提公因式法进行因式分解，解题的核心是准确找到公因式，提取公因式后要注意核对剩余项的指数运算，避免出现指数计算错误的问题，属于因式分解的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 (
A.$x^2 + 4y^2$
B.$x^2 - 2y + 1$
C.$-x^2 + 4y^2$
D.$-x^2 - 4y^2$
C
)A.$x^2 + 4y^2$
B.$x^2 - 2y + 1$
C.$-x^2 + 4y^2$
D.$-x^2 - 4y^2$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个式子能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的结构特征：公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，适用的多项式需要满足3个条件：①是二项式；②两项都可以写成某个整式的平方形式；③两项的符号相反。接下来我们逐个对照条件分析每个选项即可。
【解析】
结合平方差公式分解因式的适用条件逐一判断：
选项A：$x^2 + 4y^2$是二项式，两项都为平方形式，但两项符号均为正，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
选项B：$x^2 - 2y + 1$一共有三项，而平方差公式仅适用于二项式，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2 + 4y^2$可变形为$(2y)^2 - x^2$，是二项式，两项都是整式的平方形式，且两项符号一正一负相反，符合平方差公式特征，可分解为$(2y+x)(2y-x)$；
选项D：$-x^2 - 4y^2$提取负号后为$-(x^2 + 4y^2)$，括号内两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解判定
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，核心是牢记平方差公式对应的多项式的结构特征，只要抓住“二项、异号、均为平方”三个特点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的结构特征：公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，适用的多项式需要满足3个条件：①是二项式；②两项都可以写成某个整式的平方形式；③两项的符号相反。接下来我们逐个对照条件分析每个选项即可。
【解析】
结合平方差公式分解因式的适用条件逐一判断：
选项A：$x^2 + 4y^2$是二项式，两项都为平方形式，但两项符号均为正，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
选项B：$x^2 - 2y + 1$一共有三项，而平方差公式仅适用于二项式，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2 + 4y^2$可变形为$(2y)^2 - x^2$，是二项式，两项都是整式的平方形式，且两项符号一正一负相反，符合平方差公式特征，可分解为$(2y+x)(2y-x)$；
选项D：$-x^2 - 4y^2$提取负号后为$-(x^2 + 4y^2)$，括号内两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解判定
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，核心是牢记平方差公式对应的多项式的结构特征，只要抓住“二项、异号、均为平方”三个特点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4.多项式$a^2 - 2ab + b^2 -1$分解因式的结果是（
A.$(a - b + 1)(a - b - 1)$
B.$(a - b + 1)(a + b - 1)$
C.$(a + b + 1)(a + b - 1)$
D.$(a + b + 1)(a - b - 1)$
A
）A.$(a - b + 1)(a - b - 1)$
B.$(a - b + 1)(a + b - 1)$
C.$(a + b + 1)(a + b - 1)$
D.$(a + b + 1)(a - b - 1)$
答案
4.A
解析
【分析】
这道题是四项式的因式分解，首先观察多项式结构，前三项$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式的特征，所以先把前三项分为一组，先用完全平方公式分解，得到平方项减常数1的结构，刚好符合平方差公式的特征，再用平方差公式继续分解就能得到最终结果。
【解析】
1. 先对多项式合理分组，将前三项作为一组：
原式$=(a^2 - 2ab + b^2) - 1$
2. 对前三项运用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$=(a - b)^2 - 1^2$
3. 把$(a-b)$整体看作一项，运用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解：
$=(a - b + 1)(a - b - 1)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分组分解法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是观察多项式结构合理分组，再依次匹配对应的公式完成分解，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的形式特征。
【难度系数】
0.8
这道题是四项式的因式分解，首先观察多项式结构，前三项$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式的特征，所以先把前三项分为一组，先用完全平方公式分解，得到平方项减常数1的结构，刚好符合平方差公式的特征，再用平方差公式继续分解就能得到最终结果。
【解析】
1. 先对多项式合理分组，将前三项作为一组：
原式$=(a^2 - 2ab + b^2) - 1$
2. 对前三项运用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$=(a - b)^2 - 1^2$
3. 把$(a-b)$整体看作一项，运用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解：
$=(a - b + 1)(a - b - 1)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分组分解法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是观察多项式结构合理分组，再依次匹配对应的公式完成分解，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的形式特征。
【难度系数】
0.8
5.多项式$x^2 -4y^2$与$x^2 +4xy +4y^2$的公因式是（
A.$x^2 -4y^2$
B.$x+2y$
C.$x-2y$
D.以上都不对
B
）A.$x^2 -4y^2$
B.$x+2y$
C.$x-2y$
D.以上都不对
答案
5.B
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别进行因式分解，再找出二者共同含有的因式即可。首先观察两个多项式的结构，第一个是平方差形式，可使用平方差公式分解，第二个是完全平方式，可使用完全平方公式分解，分解后对比公共因式即可得到答案。
【解析】
第一步：对第一个多项式因式分解：
$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 4y^2=(x+2y)(x-2y)$。
第二步：对第二个多项式因式分解：
$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2· x· 2y + (2y)^2$，根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2 + 4xy + 4y^2=(x+2y)^2$。
第三步：找公共因式，两个分解后的式子都含有因式$x+2y$，因此公因式为$x+2y$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，公因式识别，乘法公式
【点评】
本题核心考查对因式分解公式的掌握和公因式的判断能力，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键，整体难度较低，属于基础考查题。
【难度系数】
0.8
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别进行因式分解，再找出二者共同含有的因式即可。首先观察两个多项式的结构，第一个是平方差形式，可使用平方差公式分解，第二个是完全平方式，可使用完全平方公式分解，分解后对比公共因式即可得到答案。
【解析】
第一步：对第一个多项式因式分解：
$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 4y^2=(x+2y)(x-2y)$。
第二步：对第二个多项式因式分解：
$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2· x· 2y + (2y)^2$，根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2 + 4xy + 4y^2=(x+2y)^2$。
第三步：找公共因式，两个分解后的式子都含有因式$x+2y$，因此公因式为$x+2y$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，公因式识别，乘法公式
【点评】
本题核心考查对因式分解公式的掌握和公因式的判断能力，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键，整体难度较低，属于基础考查题。
【难度系数】
0.8
6.若$4x^2 -12xy +k^2$是完全平方式，则k等于（
A.$\pm9y^2$
B.$\pm3y^2$
C.$\pm9y$
D.$\pm3y$
D
）A.$\pm9y^2$
B.$\pm3y^2$
C.$\pm9y$
D.$\pm3y$
答案
6.D
解析
【分析】
要判断完全平方式中参数k的值，首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，我们需要将已知式子和公式结构对应，先确定对应a的项，再通过中间项算出对应b的项，最后根据平方项的关系求出k的值，注意平方项开方后有正负两种结果，避免漏解。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将已知式子$4x^2-12xy+k^2$和公式结构对比：
1. 先确定第一个平方项：$4x^2=(2x)^2$，因此公式中的$a=2x$；
2. 再匹配中间项：$-12xy=-2×2x×3y$，对应公式里的$-2ab$，可得$b=3y$；
3. 公式的最后一项为$b^2$，对应式子中的$k^2$，因此$k^2=(3y)^2=9y^2$；
4. 对$k^2=9y^2$开平方，可得$k=\pm3y$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方根的性质
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题时需先准确定位公式中对应的两项，再结合中间项验证，要注意平方项的底数存在正负两种可能，避免因漏考虑负号、混淆次数导致错解。
【难度系数】
0.7
要判断完全平方式中参数k的值，首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，我们需要将已知式子和公式结构对应，先确定对应a的项，再通过中间项算出对应b的项，最后根据平方项的关系求出k的值，注意平方项开方后有正负两种结果，避免漏解。
【解析】
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将已知式子$4x^2-12xy+k^2$和公式结构对比：
1. 先确定第一个平方项：$4x^2=(2x)^2$，因此公式中的$a=2x$；
2. 再匹配中间项：$-12xy=-2×2x×3y$，对应公式里的$-2ab$，可得$b=3y$；
3. 公式的最后一项为$b^2$，对应式子中的$k^2$，因此$k^2=(3y)^2=9y^2$；
4. 对$k^2=9y^2$开平方，可得$k=\pm3y$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方根的性质
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题时需先准确定位公式中对应的两项，再结合中间项验证，要注意平方项的底数存在正负两种可能，避免因漏考虑负号、混淆次数导致错解。
【难度系数】
0.7
7.分解因式：$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 =$
$\frac{1}{2}(x+y)^2$
.答案
7.$\frac{1}{2}(x+y)^2$
解析
【分析】
本题考查因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的特征，发现各项都含有公因式$\frac{1}{2}$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后得到的多项式为$x^2+2xy+y^2$，正好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此再套用完全平方公式进行二次分解，直到不能再分解为止即可。
【解析】
解：$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
【答案】
$\frac{1}{2}(x+y)^2$
【知识点】
提公因式法；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时遵循“先提公因式，再套公式”的顺序即可，要注意检查最终结果是否分解彻底，避免漏提公因式。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的特征，发现各项都含有公因式$\frac{1}{2}$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后得到的多项式为$x^2+2xy+y^2$，正好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此再套用完全平方公式进行二次分解，直到不能再分解为止即可。
【解析】
解：$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
【答案】
$\frac{1}{2}(x+y)^2$
【知识点】
提公因式法；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时遵循“先提公因式，再套公式”的顺序即可，要注意检查最终结果是否分解彻底，避免漏提公因式。
【难度系数】
0.8
8.一个长方形的面积为$a^3 - 2ab + a$，宽为$a$，则这个长方形的长为
$a^2-2b+1$
。答案
8.$a^2-2b+1$
解析
【分析】
首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，已知面积和宽，要求长，只需用面积除以宽即可。接下来需要用到多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，按这个法则计算就能得到长的表达式。
【解析】
根据长方形面积公式可得：长方形的长 = 面积 ÷ 宽
代入已知条件列式：
$(a^3 - 2ab + a) ÷ a$
根据多项式除以单项式的法则计算：
$= a^3 ÷ a - 2ab ÷ a + a ÷ a$
$= a^2 - 2b + 1$
【答案】
$a^2-2b+1$
【知识点】
长方形面积公式；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算与几何公式的结合应用，核心是熟练掌握长方形面积公式和多项式除以单项式的运算规则，计算时注意不要漏除多项式的最后一项。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，已知面积和宽，要求长，只需用面积除以宽即可。接下来需要用到多项式除以单项式的运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，按这个法则计算就能得到长的表达式。
【解析】
根据长方形面积公式可得：长方形的长 = 面积 ÷ 宽
代入已知条件列式：
$(a^3 - 2ab + a) ÷ a$
根据多项式除以单项式的法则计算：
$= a^3 ÷ a - 2ab ÷ a + a ÷ a$
$= a^2 - 2b + 1$
【答案】
$a^2-2b+1$
【知识点】
长方形面积公式；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算与几何公式的结合应用，核心是熟练掌握长方形面积公式和多项式除以单项式的运算规则，计算时注意不要漏除多项式的最后一项。
【难度系数】
0.8
9.先分解因式，再求值：$2xy^2 - 2x^2y$，其中$y - x = 3$，$xy = \frac{1}{6}$。
答案
9.$2xy(y-x)$，结果为1
解析
【分析】
对于此类先分解因式再求值的题目，解题思路分为两步：第一步先对多项式进行因式分解，观察多项式$2xy^2 - 2x^2y$，两项都含有公因式$2xy$，因此优先用提公因式法分解因式；第二步观察分解后的式子，发现其由$xy$和$y-x$组成，恰好是题目给出的已知条件，无需单独求解x、y的值，直接整体代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 分解因式：
对$2xy^2 - 2x^2y$提取公因式$2xy$，可得：
$2xy^2 - 2x^2y = 2xy(y - x)$
2. 代入求值：
已知$y - x = 3$，$xy = \frac{1}{6}$，将其代入分解后的式子：
原式$= 2 × \frac{1}{6} × 3$
$= \frac{1}{3} × 3$
$= 1$
【答案】
分解因式结果为$2xy(y-x)$，求值结果为1
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过提公因式分解后整体代入已知条件计算，可简化运算步骤，是代数式求值类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
对于此类先分解因式再求值的题目，解题思路分为两步：第一步先对多项式进行因式分解，观察多项式$2xy^2 - 2x^2y$，两项都含有公因式$2xy$，因此优先用提公因式法分解因式；第二步观察分解后的式子，发现其由$xy$和$y-x$组成，恰好是题目给出的已知条件，无需单独求解x、y的值，直接整体代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 分解因式：
对$2xy^2 - 2x^2y$提取公因式$2xy$，可得：
$2xy^2 - 2x^2y = 2xy(y - x)$
2. 代入求值：
已知$y - x = 3$，$xy = \frac{1}{6}$，将其代入分解后的式子：
原式$= 2 × \frac{1}{6} × 3$
$= \frac{1}{3} × 3$
$= 1$
【答案】
分解因式结果为$2xy(y-x)$，求值结果为1
【知识点】
提公因式法分解因式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过提公因式分解后整体代入已知条件计算，可简化运算步骤，是代数式求值类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
10.(1)已知$a-b-c=16$,求$a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)$的值；
(2)已知$2m-n=3,4m+3n=1$,求$5n·(2m-n)^2-2(n-2m)^3$的值.
(2)已知$2m-n=3,4m+3n=1$,求$5n·(2m-n)^2-2(n-2m)^3$的值.
答案
10.(1)256
(2)9
(2)9
解析
【分析】
(1) 观察所求代数式的结构，发现后两项括号内的式子可变形为与已知式$a-b-c$相反的形式，即$c-a+b=-(a-b-c)$、$b+c-a=-(a-b-c)$，将$a-b-c$看作整体代入原式，提取公因式后可直接代值计算，无需单独求$a、b、c$的数值。
(2) 先根据$n-2m=-(2m-n)$，将原式中$(n-2m)^3$转化为$-(2m-n)^3$，统一公因式$(2m-n)^2$后提取公因式，对剩余部分化简后可得到已知式$4m+3n$，直接代入两个已知式的数值即可求解，避免单独求解$m、n$的复杂运算。
【解析】
(1) 对原式变形提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)\\&=(a-b-c)(a-b-c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
将$a-b-c=16$代入得：$16^2=256$。
(2) 先统一式子底数，再提取公因式化简：
$\begin{aligned}原式&=5n(2m-n)^2 - 2×[-(2m-n)]^3\\&=5n(2m-n)^2 + 2(2m-n)^3\\&=(2m-n)^2[5n+2(2m-n)]\\&=(2m-n)^2(4m+3n)\end{aligned}$
将$2m-n=3$，$4m+3n=1$代入得：$3^2×1=9$。
【答案】
(1)$256$；(2)$9$
【知识点】
整体代入求值，提公因式化简，代数式变形
【点评】
两道题均属于代数式化简求值类题型，核心考查整体代入的数学思想，通过观察式子特征做适当变形、提取公因式即可简化运算，是代数求值中非常实用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 观察所求代数式的结构，发现后两项括号内的式子可变形为与已知式$a-b-c$相反的形式，即$c-a+b=-(a-b-c)$、$b+c-a=-(a-b-c)$，将$a-b-c$看作整体代入原式，提取公因式后可直接代值计算，无需单独求$a、b、c$的数值。
(2) 先根据$n-2m=-(2m-n)$，将原式中$(n-2m)^3$转化为$-(2m-n)^3$，统一公因式$(2m-n)^2$后提取公因式，对剩余部分化简后可得到已知式$4m+3n$，直接代入两个已知式的数值即可求解，避免单独求解$m、n$的复杂运算。
【解析】
(1) 对原式变形提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)\\&=(a-b-c)(a-b-c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
将$a-b-c=16$代入得：$16^2=256$。
(2) 先统一式子底数，再提取公因式化简：
$\begin{aligned}原式&=5n(2m-n)^2 - 2×[-(2m-n)]^3\\&=5n(2m-n)^2 + 2(2m-n)^3\\&=(2m-n)^2[5n+2(2m-n)]\\&=(2m-n)^2(4m+3n)\end{aligned}$
将$2m-n=3$，$4m+3n=1$代入得：$3^2×1=9$。
【答案】
(1)$256$；(2)$9$
【知识点】
整体代入求值，提公因式化简，代数式变形
【点评】
两道题均属于代数式化简求值类题型，核心考查整体代入的数学思想，通过观察式子特征做适当变形、提取公因式即可简化运算，是代数求值中非常实用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
