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12.下面的多项式中,能因式分解的是(
A.$m^2 + n$
B.$m^2 - m + 1$
C.$m^2 - n$
D.$m^2 - 2m + 1$
D
)A.$m^2 + n$
B.$m^2 - m + 1$
C.$m^2 - n$
D.$m^2 - 2m + 1$
答案
12.D
解析
【分析】
本题考查多项式因式分解的判定，解题思路如下：首先回忆七年级阶段所学的因式分解常用方法，包括提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法，再逐个分析每个选项的多项式，先判断是否有公因式，再判断是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，符合的即为可因式分解的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $m^2 + n$：无公因式，且不符合平方差、完全平方公式的结构，无法因式分解；
B. $m^2 - m + 1$：完全平方公式的中间项应为两倍乘积项，该式中间项为$-m$，不符合完全平方公式结构，无公因式，无法因式分解；
C. $m^2 - n$：$n$不是某个整式的平方，不符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，无公因式，无法因式分解；
D. $m^2 - 2m + 1$：符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=m$，$b=1$，可分解为$(m-1)^2$，可以因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的判定、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查对因式分解常用公式结构特征的掌握，只需熟记平方差、完全平方公式的形式，逐个排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式因式分解的判定，解题思路如下：首先回忆七年级阶段所学的因式分解常用方法，包括提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法，再逐个分析每个选项的多项式，先判断是否有公因式，再判断是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，符合的即为可因式分解的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $m^2 + n$：无公因式，且不符合平方差、完全平方公式的结构，无法因式分解；
B. $m^2 - m + 1$：完全平方公式的中间项应为两倍乘积项，该式中间项为$-m$，不符合完全平方公式结构，无公因式，无法因式分解；
C. $m^2 - n$：$n$不是某个整式的平方，不符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，无公因式，无法因式分解；
D. $m^2 - 2m + 1$：符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=m$，$b=1$，可分解为$(m-1)^2$，可以因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的判定、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查对因式分解常用公式结构特征的掌握，只需熟记平方差、完全平方公式的形式，逐个排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13.多项式$8x^{m}y^{n-1}-12x^{3m}y^{n}$的公因式是（
A.$x^{m}y^{n}$
B.$x^{m}y^{n-1}$
C.$4x^{m}y^{n}$
D.$4x^{m}y^{n-1}$
D
）A.$x^{m}y^{n}$
B.$x^{m}y^{n-1}$
C.$4x^{m}y^{n}$
D.$4x^{m}y^{n-1}$
答案
13.D
解析
【分析】
找多项式的公因式需要遵循三步法：第一步找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘就是最终的公因式。我们按照这个思路逐步分析即可得出答案。
【解析】
1. 确定公因式的系数：多项式两项的系数分别是8和-12，8和12的最大公约数是4，因此公因式的系数为4，可直接排除系数为1的A、B选项。
2. 确定x的部分：两项都含有字母x，x的指数分别为m和3m，取最低次幂，即$x^m$。
3. 确定y的部分：两项都含有字母y，y的指数分别为$n-1$和$n$，取最低次幂，即$y^{n-1}$。
将三部分组合得到公因式为$4x^{m}y^{n-1}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，最大公约数，最低次幂选取
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，核心是牢记找公因式的固定步骤，熟练掌握方法就能快速准确得分。
【难度系数】
0.8
找多项式的公因式需要遵循三步法：第一步找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘就是最终的公因式。我们按照这个思路逐步分析即可得出答案。
【解析】
1. 确定公因式的系数：多项式两项的系数分别是8和-12，8和12的最大公约数是4，因此公因式的系数为4，可直接排除系数为1的A、B选项。
2. 确定x的部分：两项都含有字母x，x的指数分别为m和3m，取最低次幂，即$x^m$。
3. 确定y的部分：两项都含有字母y，y的指数分别为$n-1$和$n$，取最低次幂，即$y^{n-1}$。
将三部分组合得到公因式为$4x^{m}y^{n-1}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，最大公约数，最低次幂选取
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，核心是牢记找公因式的固定步骤，熟练掌握方法就能快速准确得分。
【难度系数】
0.8
14.下列多项式中,能用公式法分解因式的是（
A.$x^2 - xy$
B.$x^2 + xy$
C.$x^2 - y^2$
D.$x^2 + y^2$
C
）A.$x^2 - xy$
B.$x^2 + xy$
C.$x^2 - y^2$
D.$x^2 + y^2$
答案
14.C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用公式法分解因式，首先回忆因式分解常用的两个公式：平方差公式、完全平方公式，明确两个公式各自的结构特征，再逐一对比每个选项的多项式结构，判断是否符合公式要求即可得到答案。
【解析】
因式分解常用的公式有两类：
1. 平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，特征是多项式为两个项的平方差；
2. 完全平方公式：$a^2\pm 2ab + b^2=(a\pm b)^2$，特征是多项式有三项，首尾为两项的平方和，中间项是两项乘积的2倍。
对各选项逐一分析：
A选项：$x^2 - xy$，只能提取公因式$x$分解为$x(x-y)$，用提公因式法，不符合公式结构，排除；
B选项：$x^2 + xy$，只能提取公因式$x$分解为$x(x+y)$，用提公因式法，不符合公式结构，排除；
C选项：$x^2 - y^2$符合平方差公式的结构特征，可分解为$(x+y)(x-y)$，能用公式法分解，符合要求；
D选项：$x^2 + y^2$是平方和，既不符合平方差的“差”的特征，也不满足完全平方公式的三项结构，无法用公式法分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的公式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，解题关键是准确掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能快速判断多项式是否符合对应公式的结构，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能用公式法分解因式，首先回忆因式分解常用的两个公式：平方差公式、完全平方公式，明确两个公式各自的结构特征，再逐一对比每个选项的多项式结构，判断是否符合公式要求即可得到答案。
【解析】
因式分解常用的公式有两类：
1. 平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，特征是多项式为两个项的平方差；
2. 完全平方公式：$a^2\pm 2ab + b^2=(a\pm b)^2$，特征是多项式有三项，首尾为两项的平方和，中间项是两项乘积的2倍。
对各选项逐一分析：
A选项：$x^2 - xy$，只能提取公因式$x$分解为$x(x-y)$，用提公因式法，不符合公式结构，排除；
B选项：$x^2 + xy$，只能提取公因式$x$分解为$x(x+y)$，用提公因式法，不符合公式结构，排除；
C选项：$x^2 - y^2$符合平方差公式的结构特征，可分解为$(x+y)(x-y)$，能用公式法分解，符合要求；
D选项：$x^2 + y^2$是平方和，既不符合平方差的“差”的特征，也不满足完全平方公式的三项结构，无法用公式法分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的公式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，解题关键是准确掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能快速判断多项式是否符合对应公式的结构，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
15.多项式$6(a-b)^2 + 3(a-b)$分解因式的结果是（
A.$3(a-b)(2a - b)$
B.$(a - b)(6a - 6b + 3)$
C.$3(a - b)(2a - 2b + 1)$
D.$3(b - a)(2b - 2a + 1)$
C
）A.$3(a-b)(2a - b)$
B.$(a - b)(6a - 6b + 3)$
C.$3(a - b)(2a - 2b + 1)$
D.$3(b - a)(2b - 2a + 1)$
答案
15.C
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先先确定多项式两项的公因式，公因式由系数的最大公约数、相同因式的最低次幂两部分组成；其次提取公因式，将原多项式写成公因式与剩余部分相乘的形式；最后化简剩余部分，检查分解是否彻底，再对应选项选出正确答案。解题时要注意提取公因式后，原项除以公因式得到的剩余部分不能漏项，也要注意符号是否正确。
【解析】
观察多项式$6(a-b)^2 + 3(a-b)$：
1. 确定公因式：系数6和3的最大公约数是3，两项都含因式$(a-b)$，最低次为1次，因此公因式为$3(a-b)$。
2. 提取公因式：
$\begin{aligned}6(a-b)^2 + 3(a-b)&=3(a-b)· 2(a-b) + 3(a-b)· 1\\&=3(a-b)[2(a-b)+1]\end{aligned}$
3. 化简括号内的整式：$2(a-b)+1=2a-2b+1$。
因此分解因式的结果为$3(a-b)(2a-2b+1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题关键是准确找出公因式，易错点是提取公因式时遗漏第二项除以公因式得到的常数项1，或者分解不彻底，没有提取系数的最大公约数，分解结果要保证每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.75
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先先确定多项式两项的公因式，公因式由系数的最大公约数、相同因式的最低次幂两部分组成；其次提取公因式，将原多项式写成公因式与剩余部分相乘的形式；最后化简剩余部分，检查分解是否彻底，再对应选项选出正确答案。解题时要注意提取公因式后，原项除以公因式得到的剩余部分不能漏项，也要注意符号是否正确。
【解析】
观察多项式$6(a-b)^2 + 3(a-b)$：
1. 确定公因式：系数6和3的最大公约数是3，两项都含因式$(a-b)$，最低次为1次，因此公因式为$3(a-b)$。
2. 提取公因式：
$\begin{aligned}6(a-b)^2 + 3(a-b)&=3(a-b)· 2(a-b) + 3(a-b)· 1\\&=3(a-b)[2(a-b)+1]\end{aligned}$
3. 化简括号内的整式：$2(a-b)+1=2a-2b+1$。
因此分解因式的结果为$3(a-b)(2a-2b+1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题关键是准确找出公因式，易错点是提取公因式时遗漏第二项除以公因式得到的常数项1，或者分解不彻底，没有提取系数的最大公约数，分解结果要保证每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.75
16.分解因式$(a-b)(a-4b)+ab$的结果是
$(a-2b)^2$
.答案
16.$(a-2b)^2$
解析
【分析】
首先观察原式结构，发现原式由多项式乘积与单项式相加构成，无法直接提取公因式或套用乘法公式分解，因此解题思路为：第一步先运用多项式乘多项式法则展开前面的乘积项，第二步合并同类项将原式整理为二次三项式，第三步观察整理后的式子是否符合完全平方公式的特征，进而完成因式分解。
【解析】
解：先展开多项式乘积：
$\begin{aligned}(a-b)(a-4b)+ab&=a^2 -4ab -ab +4b^2 +ab\\&=a^2 -4ab +4b^2\end{aligned}$
观察上式，符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的特征，其中$m=a$，$n=2b$，因此可得：
$a^2 -4ab +4b^2=(a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
整式乘法运算、合并同类项、公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规题型，解题的关键是先对原式进行化简整理，不要被原式的乘积结构误导直接尝试分解，整理后结合完全平方公式即可快速得到结果，注意因式分解要彻底，结果需为整式乘积的形式。
【难度系数】
0.7
首先观察原式结构，发现原式由多项式乘积与单项式相加构成，无法直接提取公因式或套用乘法公式分解，因此解题思路为：第一步先运用多项式乘多项式法则展开前面的乘积项，第二步合并同类项将原式整理为二次三项式，第三步观察整理后的式子是否符合完全平方公式的特征，进而完成因式分解。
【解析】
解：先展开多项式乘积：
$\begin{aligned}(a-b)(a-4b)+ab&=a^2 -4ab -ab +4b^2 +ab\\&=a^2 -4ab +4b^2\end{aligned}$
观察上式，符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的特征，其中$m=a$，$n=2b$，因此可得：
$a^2 -4ab +4b^2=(a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
整式乘法运算、合并同类项、公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规题型，解题的关键是先对原式进行化简整理，不要被原式的乘积结构误导直接尝试分解，整理后结合完全平方公式即可快速得到结果，注意因式分解要彻底，结果需为整式乘积的形式。
【难度系数】
0.7
17.若$42x^2 - 31x + 2$能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为$6x - 4$，另一个因式为$mx - n$，其中$m,n$为常数.请你求$m,n$的值.
答案
17.$m=7,n=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题可利用因式分解和多项式乘法的互逆关系：因式分解的结果相乘的展开式和原多项式完全相等。我们先把已知的两个因式相乘展开、合并同类项，再让展开式各项的系数与原多项式对应项的系数相等，列出关于m、n的方程求解即可，最后可验证一次项系数确保结果正确。
【解析】
解：由题意可得：$(6x - 4)(mx - n) = 42x^2 - 31x + 2$
先将左边展开并合并同类项：
$\begin{aligned}左边&=6x· mx + 6x· (-n) + (-4)· mx + (-4)· (-n)\\&=6mx^2 - 6nx - 4mx + 4n\\&=6mx^2 - (6n + 4m)x + 4n\end{aligned}$
两个多项式相等时对应项系数相等，因此：
1. 二次项系数对应相等：$6m = 42$，解得$m = 7$
2. 常数项对应相等：$4n = 2$，解得$n = \frac{1}{2}$
验证一次项系数：将$m=7$、$n=\frac{1}{2}$代入$-(6n+4m)$，得$-(6×\frac{1}{2} + 4×7) = -31$，与原多项式一次项系数一致，结果正确。
【答案】
$m=7,n=\frac{1}{2}$
【知识点】
1.多项式乘法法则 2.因式分解的意义 3.多项式相等的条件
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时对应项系数相等建立方程求解，运算过程中注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题可利用因式分解和多项式乘法的互逆关系：因式分解的结果相乘的展开式和原多项式完全相等。我们先把已知的两个因式相乘展开、合并同类项，再让展开式各项的系数与原多项式对应项的系数相等，列出关于m、n的方程求解即可，最后可验证一次项系数确保结果正确。
【解析】
解：由题意可得：$(6x - 4)(mx - n) = 42x^2 - 31x + 2$
先将左边展开并合并同类项：
$\begin{aligned}左边&=6x· mx + 6x· (-n) + (-4)· mx + (-4)· (-n)\\&=6mx^2 - 6nx - 4mx + 4n\\&=6mx^2 - (6n + 4m)x + 4n\end{aligned}$
两个多项式相等时对应项系数相等，因此：
1. 二次项系数对应相等：$6m = 42$，解得$m = 7$
2. 常数项对应相等：$4n = 2$，解得$n = \frac{1}{2}$
验证一次项系数：将$m=7$、$n=\frac{1}{2}$代入$-(6n+4m)$，得$-(6×\frac{1}{2} + 4×7) = -31$，与原多项式一次项系数一致，结果正确。
【答案】
$m=7,n=\frac{1}{2}$
【知识点】
1.多项式乘法法则 2.因式分解的意义 3.多项式相等的条件
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时对应项系数相等建立方程求解，运算过程中注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
18.求$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值，其中$a+b=3$，$ab=4$.
答案
18.36
解析
【分析】要计算给定多项式的值，首先观察多项式的结构特征，思考如何将其转化为含有已知条件$a+b$、$ab$的形式，进而代入数值计算。具体思路：多项式各项均含有公因式$ab$，首先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方和公式的结构，可进一步分解为$(a+b)^2$，这样待求式就可以直接用已知的$a+b$和$ab$代入求值，无需单独计算$a$、$b$的数值，简化运算过程。
【解析】先对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
把$a+b=3$，$ab=4$代入化简后的式子：
原式$=4×3^2=4×9=36$
【答案】36
【知识点】因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】本题核心考查因式分解的应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的整体形式，体现了整体代入的数学思想，能有效简化运算。
【难度系数】0.7
【解析】先对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
把$a+b=3$，$ab=4$代入化简后的式子：
原式$=4×3^2=4×9=36$
【答案】36
【知识点】因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】本题核心考查因式分解的应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的整体形式，体现了整体代入的数学思想，能有效简化运算。
【难度系数】0.7
19.如图,已知长方形ABCD的面积为$ab+a+b+1$.
(1)利用图形面积,分解因式$ab+a+b+1$;
(2)用图形解释$ab+a+b+1$和将$ab+a+b+1$分解后的式子的意义.
(1)利用图形面积,分解因式$ab+a+b+1$;
(2)用图形解释$ab+a+b+1$和将$ab+a+b+1$分解后的式子的意义.
答案
19.(1)$(a+1)(b+1)$
(2)略
(2)略
解析
【分析】
（1）要通过图形面积分解因式，首先确定大长方形的长和宽：观察图形可知，大长方形ABCD的长为$AD=b+1$，宽为$AB=a+1$，根据长方形面积=长×宽，可得到大长方形面积的另一种表达式；再结合题目给出的面积表达式$ab+a+b+1$，两个式子都表示同一个大长方形的面积，因此二者相等，即可得到因式分解的结果。
（2）解释两个式子的意义时，$ab+a+b+1$可看成四个小图形的面积相加的和，分解后的式子是大长方形长乘宽得到的面积，分别说明即可。
【解析】
（1）观察图形可得，长方形ABCD的长$AD = b+1$，宽$AB = a+1$，因此长方形ABCD的面积 = 长×宽 = $(a+1)(b+1)$。
已知长方形ABCD的面积为$ab+a+b+1$，同一个图形的面积相等，因此：
$ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$。
（2）$ab+a+b+1$的意义：图中四个小图形的面积之和，分别是长为b、宽为a的长方形面积$ab$，长为1、宽为a的长方形面积$a$，长为b、宽为1的长方形面积$b$，边长为1的正方形面积1，是四个面积相加的总和。
$(a+1)(b+1)$的意义：长为$(b+1)$、宽为$(a+1)$的大长方形ABCD的面积，是用长方形面积公式“长×宽”计算得到的结果。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+1)(b+1)}$
(2) $ab+a+b+1$表示图中四个小图形的面积之和，$(a+1)(b+1)$表示长为$(b+1)$、宽为$(a+1)$的大长方形的面积。
【知识点】
因式分解，长方形面积计算，整式乘法
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过长方形面积的不同表示方法，考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题的关键是准确找到大长方形的长和宽，以及各小图形的面积表达式。
【难度系数】
0.7
（1）要通过图形面积分解因式，首先确定大长方形的长和宽：观察图形可知，大长方形ABCD的长为$AD=b+1$，宽为$AB=a+1$，根据长方形面积=长×宽，可得到大长方形面积的另一种表达式；再结合题目给出的面积表达式$ab+a+b+1$，两个式子都表示同一个大长方形的面积，因此二者相等，即可得到因式分解的结果。
（2）解释两个式子的意义时，$ab+a+b+1$可看成四个小图形的面积相加的和，分解后的式子是大长方形长乘宽得到的面积，分别说明即可。
【解析】
（1）观察图形可得，长方形ABCD的长$AD = b+1$，宽$AB = a+1$，因此长方形ABCD的面积 = 长×宽 = $(a+1)(b+1)$。
已知长方形ABCD的面积为$ab+a+b+1$，同一个图形的面积相等，因此：
$ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$。
（2）$ab+a+b+1$的意义：图中四个小图形的面积之和，分别是长为b、宽为a的长方形面积$ab$，长为1、宽为a的长方形面积$a$，长为b、宽为1的长方形面积$b$，边长为1的正方形面积1，是四个面积相加的总和。
$(a+1)(b+1)$的意义：长为$(b+1)$、宽为$(a+1)$的大长方形ABCD的面积，是用长方形面积公式“长×宽”计算得到的结果。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+1)(b+1)}$
(2) $ab+a+b+1$表示图中四个小图形的面积之和，$(a+1)(b+1)$表示长为$(b+1)$、宽为$(a+1)$的大长方形的面积。
【知识点】
因式分解，长方形面积计算，整式乘法
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过长方形面积的不同表示方法，考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题的关键是准确找到大长方形的长和宽，以及各小图形的面积表达式。
【难度系数】
0.7
