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1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，且$P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|$，则$P,Q$的大小关系是
（第1题）
$P＞Q$
。（第1题）答案
$P＞Q$
解析
【分析】
首先观察二次函数图像，获取关键信息：①开口向下得$a＜0$；②对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式推导得$b=-2a$，且$b＞0$；③$x=0$时$y=c＞0$，$x=-1$时$y=a-b+c＜0$。先化简$P$：由$b=-2a$得$2a+b=0$，再结合$x=-1$的函数值判断$3b-2c$的符号，得到$P$的表达式；再化简$Q$：分别判断$2a-b$、$3b+2c$的符号，得到$Q$的表达式；最后用作差法比较$P$和$Q$的大小，代入$b=-2a$判断差的符号即可得出结论。
【解析】
解：由二次函数图像性质可得：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，因此$b＞0$，且$2a+b=0$；
3. 当$x=0$时，抛物线与$y$轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；当$x=-1$时，函数值小于0，$\therefore a-b+c＜0$。
化简$P$：
$|2a+b|=|0|=0$，
将$a=-\frac{b}{2}$代入$a-b+c＜0$，得：$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$3b-2c＞0$，
$\therefore |3b-2c|=3b-2c$，
因此$P=0 + 3b - 2c = 3b - 2c$。
化简$Q$：
$2a - b = 2a - (-2a) = 4a ＜ 0$，$\therefore |2a - b| = b - 2a$，
$\because b＞0,c＞0$，$\therefore 3b+2c＞0$，$\therefore |3b+2c|=3b+2c$，
因此$Q=(b - 2a) - (3b + 2c) = -2a - 2b - 2c$。
比较大小：
$P-Q = (3b - 2c) - (-2a - 2b - 2c) = 2a + 5b$，
将$b=-2a$代入得：$2a + 5×(-2a) = -8a$，
$\because a＜0$，$\therefore -8a＞0$，即$P-Q＞0$，$\therefore P＞Q$。
【答案】
$P＞Q$
【知识点】
二次函数的图象与性质；绝对值化简；作差法比较大小
【点评】
本题重点考查二次函数图象与系数的对应关系，解题关键是结合对称轴、特殊点的函数值判断代数式的符号，再通过化简绝对值、作差法比较大小，需要注意系数的符号推导，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
首先观察二次函数图像，获取关键信息：①开口向下得$a＜0$；②对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式推导得$b=-2a$，且$b＞0$；③$x=0$时$y=c＞0$，$x=-1$时$y=a-b+c＜0$。先化简$P$：由$b=-2a$得$2a+b=0$，再结合$x=-1$的函数值判断$3b-2c$的符号，得到$P$的表达式；再化简$Q$：分别判断$2a-b$、$3b+2c$的符号，得到$Q$的表达式；最后用作差法比较$P$和$Q$的大小，代入$b=-2a$判断差的符号即可得出结论。
【解析】
解：由二次函数图像性质可得：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，因此$b＞0$，且$2a+b=0$；
3. 当$x=0$时，抛物线与$y$轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；当$x=-1$时，函数值小于0，$\therefore a-b+c＜0$。
化简$P$：
$|2a+b|=|0|=0$，
将$a=-\frac{b}{2}$代入$a-b+c＜0$，得：$-\frac{b}{2}-b+c＜0$，整理得$3b-2c＞0$，
$\therefore |3b-2c|=3b-2c$，
因此$P=0 + 3b - 2c = 3b - 2c$。
化简$Q$：
$2a - b = 2a - (-2a) = 4a ＜ 0$，$\therefore |2a - b| = b - 2a$，
$\because b＞0,c＞0$，$\therefore 3b+2c＞0$，$\therefore |3b+2c|=3b+2c$，
因此$Q=(b - 2a) - (3b + 2c) = -2a - 2b - 2c$。
比较大小：
$P-Q = (3b - 2c) - (-2a - 2b - 2c) = 2a + 5b$，
将$b=-2a$代入得：$2a + 5×(-2a) = -8a$，
$\because a＜0$，$\therefore -8a＞0$，即$P-Q＞0$，$\therefore P＞Q$。
【答案】
$P＞Q$
【知识点】
二次函数的图象与性质；绝对值化简；作差法比较大小
【点评】
本题重点考查二次函数图象与系数的对应关系，解题关键是结合对称轴、特殊点的函数值判断代数式的符号，再通过化简绝对值、作差法比较大小，需要注意系数的符号推导，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
2. 如图，一段抛物线：$y=-x(x-2)(0≤ x≤ 2)$，记为$C_1$，它与$x$轴交于两点$O,A_1$；将$C_1$绕点$A_1$旋转$180°$得$C_2$，交$x$轴于点$A_2$；将$C_2$绕点$A_2$旋转$180°$得$C_3$，交$x$轴于点$A_3$……如此进行下去，直至得到$C_6$。若点$P(11,m)$在第6段抛物线$C_6$上，则$m=$
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
解题时首先分析第一段抛物线的基本特征：先求$C_1$与x轴的交点，可知每段抛物线在x轴上的跨度为2，即相邻两个交点的横坐标差为2；再结合旋转$180°$的性质，明确每段抛物线的开口方向、零点的变化规律，推导第6段抛物线的表达式，最后代入点P的横坐标计算m的值即可。
【解析】
1. 求$C_1$与x轴的交点：
对于$C_1:y=-x(x-2)(0≤ x≤2)$，令$y=0$，解得$x=0$或$x=2$，因此$A_1(2,0)$，可得每段抛物线在x轴上的区间长度为2，$A_n$的坐标为$(2n,0)$。
2. 推导第k段抛物线的表达式规律：
抛物线绕交点旋转$180°$后，开口方向反转，二次项系数绝对值为1，零点为区间左右端点：
当k为奇数时，$C_k$开口向下，零点为$x=2(k-1)$和$x=2k$，表达式为$y=-(x-2(k-1))(x-2k)$，对应x范围$2(k-1)≤ x≤2k$；
当k为偶数时，$C_k$开口向上，零点为$x=2(k-1)$和$x=2k$，表达式为$y=(x-2(k-1))(x-2k)$，对应x范围$2(k-1)≤ x≤2k$。
3. 计算m的值：
$k=6$为偶数，因此$C_6$的表达式为$y=(x-10)(x-12)$，对应x范围$10≤ x≤12$，将$x=11$代入得：
$m=(11-10)×(11-12)=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的旋转变换；二次函数的性质
【点评】
本题结合图形旋转考查二次函数的规律探究，解题关键是总结出每段抛物线的零点和开口方向的变化规律，再代入求值，能较好地锻炼规律探究能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先分析第一段抛物线的基本特征：先求$C_1$与x轴的交点，可知每段抛物线在x轴上的跨度为2，即相邻两个交点的横坐标差为2；再结合旋转$180°$的性质，明确每段抛物线的开口方向、零点的变化规律，推导第6段抛物线的表达式，最后代入点P的横坐标计算m的值即可。
【解析】
1. 求$C_1$与x轴的交点：
对于$C_1:y=-x(x-2)(0≤ x≤2)$，令$y=0$，解得$x=0$或$x=2$，因此$A_1(2,0)$，可得每段抛物线在x轴上的区间长度为2，$A_n$的坐标为$(2n,0)$。
2. 推导第k段抛物线的表达式规律：
抛物线绕交点旋转$180°$后，开口方向反转，二次项系数绝对值为1，零点为区间左右端点：
当k为奇数时，$C_k$开口向下，零点为$x=2(k-1)$和$x=2k$，表达式为$y=-(x-2(k-1))(x-2k)$，对应x范围$2(k-1)≤ x≤2k$；
当k为偶数时，$C_k$开口向上，零点为$x=2(k-1)$和$x=2k$，表达式为$y=(x-2(k-1))(x-2k)$，对应x范围$2(k-1)≤ x≤2k$。
3. 计算m的值：
$k=6$为偶数，因此$C_6$的表达式为$y=(x-10)(x-12)$，对应x范围$10≤ x≤12$，将$x=11$代入得：
$m=(11-10)×(11-12)=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的旋转变换；二次函数的性质
【点评】
本题结合图形旋转考查二次函数的规律探究，解题关键是总结出每段抛物线的零点和开口方向的变化规律，再代入求值，能较好地锻炼规律探究能力。
【难度系数】
0.65
3. 如图，抛物线$y=-x^2+2x+3$与y轴交于点C，D(0,1)，P是抛物线上的动点。若$△ PCD$是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为
$(1±\sqrt{2},2)$
。答案
$(1±\sqrt{2},2)$
解析
【分析】
要解决本题，首先根据“△PCD是以CD为底的等腰三角形”这一条件，可知点P到C、D两点的距离相等，即点P在CD的垂直平分线上。第一步先求出抛物线与y轴交点C的坐标，第二步推导CD的垂直平分线的解析式，第三步联立垂直平分线解析式与抛物线解析式，求解即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求点C的坐标：
抛物线$y=-x^2+2x+3$与y轴交于点C，令$x=0$，代入得$y=3$，即$C(0,3)$。
2. 确定CD的垂直平分线：
已知$D(0,1)$，CD为y轴上的线段，其中点纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，CD是竖直方向线段，其垂直平分线为平行于x轴的直线，即垂直平分线解析式为$y=2$。
3. 联立方程求P点坐标：
因为点P在抛物线上且在CD的垂直平分线上，将$y=2$代入抛物线解析式得：
$2=-x^2+2x+3$
整理得$x^2-2x-1=0$
由求根公式解得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2+4}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因此点P的坐标为$(1+\sqrt{2},2)$和$(1-\sqrt{2},2)$。
【答案】
$(1±\sqrt{2},2)$
【知识点】
二次函数的图象性质；等腰三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题将二次函数与几何性质结合考查，解题的核心是利用等腰三角形底边上的点到两端点距离相等的性质，确定动点所在的直线，再通过函数联立求解，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先根据“△PCD是以CD为底的等腰三角形”这一条件，可知点P到C、D两点的距离相等，即点P在CD的垂直平分线上。第一步先求出抛物线与y轴交点C的坐标，第二步推导CD的垂直平分线的解析式，第三步联立垂直平分线解析式与抛物线解析式，求解即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求点C的坐标：
抛物线$y=-x^2+2x+3$与y轴交于点C，令$x=0$，代入得$y=3$，即$C(0,3)$。
2. 确定CD的垂直平分线：
已知$D(0,1)$，CD为y轴上的线段，其中点纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，CD是竖直方向线段，其垂直平分线为平行于x轴的直线，即垂直平分线解析式为$y=2$。
3. 联立方程求P点坐标：
因为点P在抛物线上且在CD的垂直平分线上，将$y=2$代入抛物线解析式得：
$2=-x^2+2x+3$
整理得$x^2-2x-1=0$
由求根公式解得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2+4}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因此点P的坐标为$(1+\sqrt{2},2)$和$(1-\sqrt{2},2)$。
【答案】
$(1±\sqrt{2},2)$
【知识点】
二次函数的图象性质；等腰三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题将二次函数与几何性质结合考查，解题的核心是利用等腰三角形底边上的点到两端点距离相等的性质，确定动点所在的直线，再通过函数联立求解，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
4. 一次函数$y=ax+c(a≠0)$与二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$在同一个坐标系中的图象可能是（
D
）答案
D
解析
【分析】
判断同一坐标系中含相同参数的多个函数图象，可通过两个核心思路筛选：①两个函数的常数项均为c，当x=0时，两个函数的函数值都等于c，因此两个图象与y轴的交点必为同一点，可先排除交点不同的选项；②两个函数的二次项系数、一次项系数均为a，a的符号决定二次函数的开口方向，也决定一次函数的增减性，两者a的符号必须一致，据此可排除剩余错误选项，得到正确答案。
【解析】
第一步：判断y轴交点是否一致
当x=0时，代入一次函数$y=ax+c$得$y=c$，代入二次函数$y=ax^2+bx+c$也得$y=c$，因此两个图象与y轴交于同一点$(0,c)$。
观察选项A，一次函数与二次函数和y轴的交点不重合，排除A。
第二步：判断参数a的符号是否一致
选项B：二次函数开口向上，说明$a＞0$；一次函数图象从左上向右下倾斜，y随x增大而减小，说明$a＜0$，a的符号矛盾，排除B。
选项C：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数图象从左下向右上倾斜，y随x增大而增大，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除C。
选项D：二次函数开口向下，$a＜0$；一次函数图象从左上向右下倾斜，$a＜0$，a的符号一致，且两个图象与y轴交于同一点，符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于函数图象的基础综合判断题，核心解题方法是排除法，抓住相同参数的符号一致性、公共交点特征两个关键点即可快速解题，是函数性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
判断同一坐标系中含相同参数的多个函数图象，可通过两个核心思路筛选：①两个函数的常数项均为c，当x=0时，两个函数的函数值都等于c，因此两个图象与y轴的交点必为同一点，可先排除交点不同的选项；②两个函数的二次项系数、一次项系数均为a，a的符号决定二次函数的开口方向，也决定一次函数的增减性，两者a的符号必须一致，据此可排除剩余错误选项，得到正确答案。
【解析】
第一步：判断y轴交点是否一致
当x=0时，代入一次函数$y=ax+c$得$y=c$，代入二次函数$y=ax^2+bx+c$也得$y=c$，因此两个图象与y轴交于同一点$(0,c)$。
观察选项A，一次函数与二次函数和y轴的交点不重合，排除A。
第二步：判断参数a的符号是否一致
选项B：二次函数开口向上，说明$a＞0$；一次函数图象从左上向右下倾斜，y随x增大而减小，说明$a＜0$，a的符号矛盾，排除B。
选项C：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数图象从左下向右上倾斜，y随x增大而增大，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除C。
选项D：二次函数开口向下，$a＜0$；一次函数图象从左上向右下倾斜，$a＜0$，a的符号一致，且两个图象与y轴交于同一点，符合所有条件。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于函数图象的基础综合判断题，核心解题方法是排除法，抓住相同参数的符号一致性、公共交点特征两个关键点即可快速解题，是函数性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2+2x-3$的图象如图所示，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是该二次函数图象上的两点，其中$-3≤ x_1≤ x_2≤0$，则下列结论正确的是（
A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y$的最小值是$-3$
D.$y$的最小值是$-4$
D
）A.$y_1＜y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y$的最小值是$-3$
D.$y$的最小值是$-4$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先分析二次函数的基本性质：先通过配方或对称轴公式求出函数的对称轴、顶点坐标，明确开口方向；再结合给定的自变量取值范围$-3≤ x_1≤ x_2≤0$分析函数的增减性，判断A、B选项是否正确；最后结合开口方向和顶点坐标确定给定区间内的函数最值，判断C、D选项即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
由此可得：该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
1. 判断A、B选项：
二次函数在$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知$-3≤ x_1≤ x_2≤0$，该区间包含对称轴$x=-1$，无法确定$x_1、x_2$和对称轴的位置关系，因此无法直接比较$y_1、y_2$的大小，故A、B错误。
2. 判断C、D选项：
二次函数开口向上，顶点处取得函数最小值，且顶点横坐标$x=-1$在区间$[-3,0]$内，因此$y$的最小值为顶点纵坐标$-4$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的最值；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题重点考查二次函数的图象与性质，解题核心是准确求出二次函数的对称轴和顶点坐标，分析自变量取值范围时要注意是否包含对称轴，避免直接根据自变量大小判断函数值大小的误区。
【难度系数】
0.7
解题时首先分析二次函数的基本性质：先通过配方或对称轴公式求出函数的对称轴、顶点坐标，明确开口方向；再结合给定的自变量取值范围$-3≤ x_1≤ x_2≤0$分析函数的增减性，判断A、B选项是否正确；最后结合开口方向和顶点坐标确定给定区间内的函数最值，判断C、D选项即可。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
由此可得：该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
1. 判断A、B选项：
二次函数在$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知$-3≤ x_1≤ x_2≤0$，该区间包含对称轴$x=-1$，无法确定$x_1、x_2$和对称轴的位置关系，因此无法直接比较$y_1、y_2$的大小，故A、B错误。
2. 判断C、D选项：
二次函数开口向上，顶点处取得函数最小值，且顶点横坐标$x=-1$在区间$[-3,0]$内，因此$y$的最小值为顶点纵坐标$-4$，故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的最值；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题重点考查二次函数的图象与性质，解题核心是准确求出二次函数的对称轴和顶点坐标，分析自变量取值范围时要注意是否包含对称轴，避免直接根据自变量大小判断函数值大小的误区。
【难度系数】
0.7
6. 已知抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴只有一个交点$A(2,0)$。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与$y$轴的交点为$B$，$O$是坐标原点，求$△ OAB$的周长。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与$y$轴的交点为$B$，$O$是坐标原点，求$△ OAB$的周长。
答案
(1) $y=x^2-4x+4$ (2) $6+2\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）第一问中，抛物线与x轴只有一个交点，说明该交点就是抛物线的顶点，且判别式Δ=0，我们既可以直接用顶点式写出抛物线解析式再转化为一般式，也可以将点A坐标代入解析式，结合判别式为0的条件联立求解b、c的值。
（2）第二问先求抛物线与y轴交点B的坐标，再分别计算△OAB三边的长度：OA、OB可直接由坐标得到，AB用勾股定理计算，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点$A(2,0)$，
∴点$A(2,0)$是抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点式为$y=(x-2)^2$，
展开得解析式：$y=x^2-4x+4$。
（2）令$x=0$，代入$y=x^2-4x+4$，得$y=4$，
∴B点坐标为$(0,4)$，
∴$OA=2$，$OB=4$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$△ OAB$的周长为$OA+OB+AB=2+4+2\sqrt{5}=6+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+4$ (2) $6+2\sqrt{5}$
【知识点】
1. 二次函数判别式 2. 二次函数解析式求解 3. 勾股定理
【点评】
本题为基础题，主要考查二次函数的图象与性质，结合了直角三角形周长的计算，解题关键是理解二次函数与x轴仅有一个交点的含义，熟练掌握坐标和线段长度的转换方法。
【难度系数】
0.8
（1）第一问中，抛物线与x轴只有一个交点，说明该交点就是抛物线的顶点，且判别式Δ=0，我们既可以直接用顶点式写出抛物线解析式再转化为一般式，也可以将点A坐标代入解析式，结合判别式为0的条件联立求解b、c的值。
（2）第二问先求抛物线与y轴交点B的坐标，再分别计算△OAB三边的长度：OA、OB可直接由坐标得到，AB用勾股定理计算，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴只有一个交点$A(2,0)$，
∴点$A(2,0)$是抛物线的顶点，
∴抛物线的顶点式为$y=(x-2)^2$，
展开得解析式：$y=x^2-4x+4$。
（2）令$x=0$，代入$y=x^2-4x+4$，得$y=4$，
∴B点坐标为$(0,4)$，
∴$OA=2$，$OB=4$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$△ OAB$的周长为$OA+OB+AB=2+4+2\sqrt{5}=6+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+4$ (2) $6+2\sqrt{5}$
【知识点】
1. 二次函数判别式 2. 二次函数解析式求解 3. 勾股定理
【点评】
本题为基础题，主要考查二次函数的图象与性质，结合了直角三角形周长的计算，解题关键是理解二次函数与x轴仅有一个交点的含义，熟练掌握坐标和线段长度的转换方法。
【难度系数】
0.8
