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6. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，抛物线 $ y = ax^2 + bx - \frac{1}{a} $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，将点 $ A $ 向右平移 2 个单位长度，得到点 $ B $，点 $ B $ 在抛物线上。
（1）求点 $ B $ 的坐标（用含 $ a $ 的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 $ P( \frac{1}{2}, -\frac{1}{a} ) $，$ Q(2,2) $。若抛物线与线段 $ PQ $ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $ a $ 的取值范围。
（1）求点 $ B $ 的坐标（用含 $ a $ 的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 $ P( \frac{1}{2}, -\frac{1}{a} ) $，$ Q(2,2) $。若抛物线与线段 $ PQ $ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $ a $ 的取值范围。
答案
(1) $B(2,-\frac{1}{a})$ (2) 直线$x=1$ (3) $a≤-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）先求抛物线与y轴交点A的坐标：令x=0代入抛物线解析式即可得到A点坐标，再根据点向右平移横坐标加2、纵坐标不变的规律，即可得到B点坐标；
（2）A、B两点都在抛物线上且纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，据此可直接求出对称轴；
（3）先由对称轴公式求出b与a的关系，化简抛物线解析式，再分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况结合函数图象分析：a＞0时判断抛物线与线段PQ的位置关系，a＜0时根据交点要求列不等式求解，最终得到a的取值范围。
【解析】
（1）对于抛物线$y = ax^2 + bx - \frac{1}{a}$，令$x=0$，得$y=-\frac{1}{a}$，
∴点A的坐标为$(0,-\frac{1}{a})$。
将点A向右平移2个单位长度，横坐标加2，纵坐标不变，
∴点B的坐标为$(2,-\frac{1}{a})$。
（2）
∵点A$(0,-\frac{1}{a})$和点B$(2,-\frac{1}{a})$都在抛物线上，且两点纵坐标相等，
∴A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
（3）
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，解得$b=-2a$，
∴抛物线解析式可化为$y=ax^2-2ax-\frac{1}{a}$。
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时$-\frac{1}{a}＜0$：
当$x=2$时，代入抛物线得$y=4a-4a-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a}＜0＜2$，即抛物线在$x=2$处的点在Q$(2,2)$下方；
当$x=\frac{1}{2}$时，代入抛物线得$y=a· (\frac{1}{2})^2 -2a· \frac{1}{2} -\frac{1}{a}=-\frac{3a}{4}-\frac{1}{a}＜-\frac{1}{a}$，即抛物线在$x=\frac{1}{2}$处的点在P$(\frac{1}{2},-\frac{1}{a})$下方；
结合开口向上的性质，此时抛物线整体在线段PQ下方，无交点，不符合题意。
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，要使抛物线与线段PQ恰有一个公共点，需抛物线在$x=2$处的函数值不大于Q点的纵坐标2，即：
$-\frac{1}{a}≤ 2$
∵$a＜0$，不等式两边同时乘a（负数），不等号方向改变，得：
$-1≥ 2a$
解得$a≤ -\frac{1}{2}$，符合$a＜0$的前提。
综上，a的取值范围是$a≤ -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $B(2,-\frac{1}{a})$；(2) 直线$x=1$；(3) $a≤-\frac{1}{2}$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质；2.坐标平移规律；3.函数与线段交点求解
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质展开，前两问考查基础概念的应用，难度较低；第三问需要结合开口方向分类讨论，运用数形结合思想判断函数与线段的交点位置，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
（1）先求抛物线与y轴交点A的坐标：令x=0代入抛物线解析式即可得到A点坐标，再根据点向右平移横坐标加2、纵坐标不变的规律，即可得到B点坐标；
（2）A、B两点都在抛物线上且纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，据此可直接求出对称轴；
（3）先由对称轴公式求出b与a的关系，化简抛物线解析式，再分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况结合函数图象分析：a＞0时判断抛物线与线段PQ的位置关系，a＜0时根据交点要求列不等式求解，最终得到a的取值范围。
【解析】
（1）对于抛物线$y = ax^2 + bx - \frac{1}{a}$，令$x=0$，得$y=-\frac{1}{a}$，
∴点A的坐标为$(0,-\frac{1}{a})$。
将点A向右平移2个单位长度，横坐标加2，纵坐标不变，
∴点B的坐标为$(2,-\frac{1}{a})$。
（2）
∵点A$(0,-\frac{1}{a})$和点B$(2,-\frac{1}{a})$都在抛物线上，且两点纵坐标相等，
∴A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
（3）
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，解得$b=-2a$，
∴抛物线解析式可化为$y=ax^2-2ax-\frac{1}{a}$。
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，此时$-\frac{1}{a}＜0$：
当$x=2$时，代入抛物线得$y=4a-4a-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a}＜0＜2$，即抛物线在$x=2$处的点在Q$(2,2)$下方；
当$x=\frac{1}{2}$时，代入抛物线得$y=a· (\frac{1}{2})^2 -2a· \frac{1}{2} -\frac{1}{a}=-\frac{3a}{4}-\frac{1}{a}＜-\frac{1}{a}$，即抛物线在$x=\frac{1}{2}$处的点在P$(\frac{1}{2},-\frac{1}{a})$下方；
结合开口向上的性质，此时抛物线整体在线段PQ下方，无交点，不符合题意。
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，要使抛物线与线段PQ恰有一个公共点，需抛物线在$x=2$处的函数值不大于Q点的纵坐标2，即：
$-\frac{1}{a}≤ 2$
∵$a＜0$，不等式两边同时乘a（负数），不等号方向改变，得：
$-1≥ 2a$
解得$a≤ -\frac{1}{2}$，符合$a＜0$的前提。
综上，a的取值范围是$a≤ -\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $B(2,-\frac{1}{a})$；(2) 直线$x=1$；(3) $a≤-\frac{1}{2}$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质；2.坐标平移规律；3.函数与线段交点求解
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质展开，前两问考查基础概念的应用，难度较低；第三问需要结合开口方向分类讨论，运用数形结合思想判断函数与线段的交点位置，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
7. 如图,已知二次函数$y=x^2+ax+3$的图象经过点$P(-2,3)$.
(1) 求$a$的值和图象的顶点坐标;
(2) 点$Q(m,n)$在该二次函数图象上:
① 当$m=2$时,求$n$的值;
② 若点$Q$到$y$轴的距离小于2,请根据图象直接写出$n$的取值范围.
(1) 求$a$的值和图象的顶点坐标;
(2) 点$Q(m,n)$在该二次函数图象上:
① 当$m=2$时,求$n$的值;
② 若点$Q$到$y$轴的距离小于2,请根据图象直接写出$n$的取值范围.
答案
(1) $a=2$，顶点坐标为$(-1,2)$ (2) ① $n=11$ ② $2≤n＜11$
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过点$P(-2,3)$，函数图象上的点满足函数解析式，因此将点$P$的坐标代入解析式即可求出参数$a$的值；求顶点坐标可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，或直接用顶点坐标公式计算即可。
(2) ① 求$m=2$时$n$的值，只需将$x=m=2$代入已求出的二次函数解析式，计算对应的$y$值即为$n$；② 点$Q$到$y$轴的距离小于2，即横坐标$m$满足$|m|＜2$，也就是$-2＜m＜2$，结合二次函数开口向上、对称轴为$x=-1$的性质，分析该自变量区间内函数的最值，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$P(-2,3)$代入二次函数$y=x^2+ax+3$，得：
$\begin{aligned}3&=(-2)^2 + a×(-2) + 3\\3&=4-2a+3\end{aligned}$
解得：$a=2$。
则二次函数解析式为$y=x^2+2x+3$，
配方得：$y=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2$，
因此图象的顶点坐标为$(-1,2)$。
(2) ① 当$m=2$时，将$x=2$代入$y=x^2+2x+3$，得：
$\begin{aligned}n&=2^2+2×2+3\\&=4+4+3=11\end{aligned}$
② 点$Q$到$y$轴的距离小于2，即$|m|＜2$，解得$-2＜m＜2$。
∵ 二次函数$y=(x+1)^2+2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
∴ 在$-2＜m＜2$范围内，当$x=-1$时，$y$取最小值2；当$x=2$时，$y=11$为区间端点的最大值，
因此$n$的取值范围是$2≤ n＜11$。
【答案】
(1) $a=2$，顶点坐标为$(-1,2)$；(2) ① $n=11$；② $2≤ n＜11$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的特征
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设置问题，解题核心是熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，能结合开口方向、对称轴分析函数的增减性与最值，借助图象分析取值范围更简便直观。
【难度系数】
0.75
(1) 已知二次函数图象经过点$P(-2,3)$，函数图象上的点满足函数解析式，因此将点$P$的坐标代入解析式即可求出参数$a$的值；求顶点坐标可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，或直接用顶点坐标公式计算即可。
(2) ① 求$m=2$时$n$的值，只需将$x=m=2$代入已求出的二次函数解析式，计算对应的$y$值即为$n$；② 点$Q$到$y$轴的距离小于2，即横坐标$m$满足$|m|＜2$，也就是$-2＜m＜2$，结合二次函数开口向上、对称轴为$x=-1$的性质，分析该自变量区间内函数的最值，即可得到$n$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$P(-2,3)$代入二次函数$y=x^2+ax+3$，得：
$\begin{aligned}3&=(-2)^2 + a×(-2) + 3\\3&=4-2a+3\end{aligned}$
解得：$a=2$。
则二次函数解析式为$y=x^2+2x+3$，
配方得：$y=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2$，
因此图象的顶点坐标为$(-1,2)$。
(2) ① 当$m=2$时，将$x=2$代入$y=x^2+2x+3$，得：
$\begin{aligned}n&=2^2+2×2+3\\&=4+4+3=11\end{aligned}$
② 点$Q$到$y$轴的距离小于2，即$|m|＜2$，解得$-2＜m＜2$。
∵ 二次函数$y=(x+1)^2+2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
∴ 在$-2＜m＜2$范围内，当$x=-1$时，$y$取最小值2；当$x=2$时，$y=11$为区间端点的最大值，
因此$n$的取值范围是$2≤ n＜11$。
【答案】
(1) $a=2$，顶点坐标为$(-1,2)$；(2) ① $n=11$；② $2≤ n＜11$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的特征
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设置问题，解题核心是熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，能结合开口方向、对称轴分析函数的增减性与最值，借助图象分析取值范围更简便直观。
【难度系数】
0.75
