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1.「2026山西晋中灵石期末」在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（
A.使每组数据量相等
B.保证组间均值相等
C.减少计算复杂度
D.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
D
）A.使每组数据量相等
B.保证组间均值相等
C.减少计算复杂度
D.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确离差平方和的作用是衡量一组数据内部的差异大小，数值越小代表组内数据的差异越小。分组的核心要求是组内性质相近、组间性质差异明显，“组内离差平方和最小”正是为了满足这一核心要求，接下来逐一分析选项排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
离差平方和是反映一组数据内部离散程度的指标，数值越小，说明组内各数据和组内平均值的偏差越小，即组内数据的差异越小。
我们逐一分析选项：
A. 组内离差平方和的大小和每组的数据量没有直接关联，该选项错误；
B. 分组的目的是区分不同特征的数据，要求组间差异尽可能大而非组间均值相等，该选项错误；
C. 减少计算复杂度是简化分组操作的目的，和“组内离差平方和最小”的要求无关，该选项错误；
D. “组内离差平方和最小”能让每组组内数据差异尽可能小，同时保证组间数据差异尽可能大，符合分组的合理性要求，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
统计分组原则；数据离散程度
【点评】
本题考查统计分组合理性的相关概念，核心是理解分组“组内同质、组间异质”的基本原则，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8
首先明确离差平方和的作用是衡量一组数据内部的差异大小，数值越小代表组内数据的差异越小。分组的核心要求是组内性质相近、组间性质差异明显，“组内离差平方和最小”正是为了满足这一核心要求，接下来逐一分析选项排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
离差平方和是反映一组数据内部离散程度的指标，数值越小，说明组内各数据和组内平均值的偏差越小，即组内数据的差异越小。
我们逐一分析选项：
A. 组内离差平方和的大小和每组的数据量没有直接关联，该选项错误；
B. 分组的目的是区分不同特征的数据，要求组间差异尽可能大而非组间均值相等，该选项错误；
C. 减少计算复杂度是简化分组操作的目的，和“组内离差平方和最小”的要求无关，该选项错误；
D. “组内离差平方和最小”能让每组组内数据差异尽可能小，同时保证组间数据差异尽可能大，符合分组的合理性要求，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
统计分组原则；数据离散程度
【点评】
本题考查统计分组合理性的相关概念，核心是理解分组“组内同质、组间异质”的基本原则，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8
2.「2026浙江杭州余杭期中」将一组数据1,2,3,4,5,6分成前3个一组,后3个一组,则这种分组的组内离差平方和是
4
.答案
2.答案 4
解析 由题意得,前3个数据1,2,3为第一组,后3个数据4,5,6为第二组,
∵ 第一组数据的平均数为$\frac{1+2+3}{3}=2$,
∴ 第一组数据的离差平方和为$(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$,
∵ 第二组数据的平均数为$\frac{4+5+6}{3}=5$,
∴ 第二组数据的离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$,
∴ 这种分组的组内离差平方和为2+2=4.
解析 由题意得,前3个数据1,2,3为第一组,后3个数据4,5,6为第二组,
∵ 第一组数据的平均数为$\frac{1+2+3}{3}=2$,
∴ 第一组数据的离差平方和为$(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$,
∵ 第二组数据的平均数为$\frac{4+5+6}{3}=5$,
∴ 第二组数据的离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$,
∴ 这种分组的组内离差平方和为2+2=4.
解析
【分析】
解题时首先要明确组内离差平方和的计算逻辑：先分别计算每组数据的平均数，再求每组内各数据与本组平均数的差的平方和，最后将所有组的离差平方和相加，得到总的组内离差平方和。本题已经明确分组规则为前3个、后3个各为一组，所以先确定两组的具体数据，再按上述逻辑分步计算即可。
【解析】
解：由题意得，两组数据分别为第一组：1，2，3；第二组：4，5，6。
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组的平均数 $\bar{x}_1=\frac{1+2+3}{3}=2$，
第一组离差平方和为 $(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$；
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组的平均数 $\bar{x}_2=\frac{4+5+6}{3}=5$，
第二组离差平方和为 $(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$；
3. 总组内离差平方和为两组离差平方和相加：$2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心考查对组内离差平方和计算规则的理解，计算量小，掌握相关公式后细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确组内离差平方和的计算逻辑：先分别计算每组数据的平均数，再求每组内各数据与本组平均数的差的平方和，最后将所有组的离差平方和相加，得到总的组内离差平方和。本题已经明确分组规则为前3个、后3个各为一组，所以先确定两组的具体数据，再按上述逻辑分步计算即可。
【解析】
解：由题意得，两组数据分别为第一组：1，2，3；第二组：4，5，6。
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组的平均数 $\bar{x}_1=\frac{1+2+3}{3}=2$，
第一组离差平方和为 $(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2=1+0+1=2$；
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组的平均数 $\bar{x}_2=\frac{4+5+6}{3}=5$，
第二组离差平方和为 $(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$；
3. 总组内离差平方和为两组离差平方和相加：$2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心考查对组内离差平方和计算规则的理解，计算量小，掌握相关公式后细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3.下面是某校八年级10名学生平均每周锻炼时长(单位:小时):9,6,9,7,10,8,6,9,7,9.小明、小红分别将这些时长数据分成两组,情况如下：
若要使组内数据的离散程度更小,谁的分组方式更好?请说明理由.
若要使组内数据的离散程度更小,谁的分组方式更好?请说明理由.
答案
3.解析 小明的分组方式更好.理由如下：
小明:第1组数据的平均数$\overline{x}_1=\frac{1}{4}×(6×2+7×2)=6.5$,
第2组数据的平均数$\overline{x}_2=\frac{1}{6}×(8+9×4+10)=9$,所以此分组情况的组内离差平方和为$2×(6-6.5)^2+2×(7-6.5)^2+(8-9)^2+4×(9-9)^2+(10-9)^2=3$.
小红:第1组数据的平均数$\overline{x}_1=\frac{1}{5}×(6×2+7×2+8)=6.8$,第2组数据的平均数$\overline{x}_2=\frac{1}{5}×(9×4+10)=9.2$,所以此分组情况的组内离差平方和为$2×(6-6.8)^2+2×(7-6.8)^2+(8-6.8)^2+4×(9-9.2)^2+(10-9.2)^2=3.6$.
因为3.6＞3,所以要使组内数据的离散程度更小,小明的分组方式更好.
小明:第1组数据的平均数$\overline{x}_1=\frac{1}{4}×(6×2+7×2)=6.5$,
第2组数据的平均数$\overline{x}_2=\frac{1}{6}×(8+9×4+10)=9$,所以此分组情况的组内离差平方和为$2×(6-6.5)^2+2×(7-6.5)^2+(8-9)^2+4×(9-9)^2+(10-9)^2=3$.
小红:第1组数据的平均数$\overline{x}_1=\frac{1}{5}×(6×2+7×2+8)=6.8$,第2组数据的平均数$\overline{x}_2=\frac{1}{5}×(9×4+10)=9.2$,所以此分组情况的组内离差平方和为$2×(6-6.8)^2+2×(7-6.8)^2+(8-6.8)^2+4×(9-9.2)^2+(10-9.2)^2=3.6$.
因为3.6＞3,所以要使组内数据的离散程度更小,小明的分组方式更好.
解析
【分析】
要判断哪种分组方式的组内离散程度更小，可通过计算组内离差平方和比较：离差平方和越小，组内数据的离散程度越小。解题步骤为：①分别计算小明、小红各自分组中每组数据的平均数；②分别计算两人分组下所有组的离差平方和总和；③比较两个总和的大小，总和更小的分组方式更好。
【解析】
计算小明分组的组内离差平方和：
第1组数据为6,6,7,7，平均数$\overline{x}_{1}=\frac{1}{4}×(6×2+7×2)=6.5$
第2组数据为8,9,9,9,9,10，平均数$\overline{x}_{2}=\frac{1}{6}×(8+9×4+10)=9$
总离差平方和：
$\begin{aligned}&2×(6-6.5)^2+2×(7-6.5)^2+(8-9)^2+4×(9-9)^2+(10-9)^2\\=&2×0.25+2×0.25+1+0+1\\=&3\end{aligned}$
计算小红分组的组内离差平方和：
第1组数据为6,6,7,7,8，平均数$\overline{x}_{1}=\frac{1}{5}×(6×2+7×2+8)=6.8$
第2组数据为9,9,9,9,10，平均数$\overline{x}_{2}=\frac{1}{5}×(9×4+10)=9.2$
总离差平方和：
$\begin{aligned}&2×(6-6.8)^2+2×(7-6.8)^2+(8-6.8)^2+4×(9-9.2)^2+(10-9.2)^2\\=&2×0.64+2×0.04+1.44+4×0.04+0.64\\=&3.6\end{aligned}$
因为$3.6＞3$，说明小明分组的组内离差平方和更小，组内数据离散程度更小。
【答案】
小明的分组方式更好
【知识点】
平均数计算，离散程度判断，离差平方和
【点评】
本题考查数据分组合理性的判断，核心是理解离差平方和与离散程度的关系：离差平方和越小，数据的离散程度越小。解题时只要准确计算各组平均数及离差平方和，再比较大小即可得出结论，计算过程需细心避免出错。
【难度系数】
0.7
要判断哪种分组方式的组内离散程度更小，可通过计算组内离差平方和比较：离差平方和越小，组内数据的离散程度越小。解题步骤为：①分别计算小明、小红各自分组中每组数据的平均数；②分别计算两人分组下所有组的离差平方和总和；③比较两个总和的大小，总和更小的分组方式更好。
【解析】
计算小明分组的组内离差平方和：
第1组数据为6,6,7,7，平均数$\overline{x}_{1}=\frac{1}{4}×(6×2+7×2)=6.5$
第2组数据为8,9,9,9,9,10，平均数$\overline{x}_{2}=\frac{1}{6}×(8+9×4+10)=9$
总离差平方和：
$\begin{aligned}&2×(6-6.5)^2+2×(7-6.5)^2+(8-9)^2+4×(9-9)^2+(10-9)^2\\=&2×0.25+2×0.25+1+0+1\\=&3\end{aligned}$
计算小红分组的组内离差平方和：
第1组数据为6,6,7,7,8，平均数$\overline{x}_{1}=\frac{1}{5}×(6×2+7×2+8)=6.8$
第2组数据为9,9,9,9,10，平均数$\overline{x}_{2}=\frac{1}{5}×(9×4+10)=9.2$
总离差平方和：
$\begin{aligned}&2×(6-6.8)^2+2×(7-6.8)^2+(8-6.8)^2+4×(9-9.2)^2+(10-9.2)^2\\=&2×0.64+2×0.04+1.44+4×0.04+0.64\\=&3.6\end{aligned}$
因为$3.6＞3$，说明小明分组的组内离差平方和更小，组内数据离散程度更小。
【答案】
小明的分组方式更好
【知识点】
平均数计算，离散程度判断，离差平方和
【点评】
本题考查数据分组合理性的判断，核心是理解离差平方和与离散程度的关系：离差平方和越小，数据的离散程度越小。解题时只要准确计算各组平均数及离差平方和，再比较大小即可得出结论，计算过程需细心避免出错。
【难度系数】
0.7
4.「2026江苏南通期末改编，★☆」在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13,15,7,9,12.要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和(结果保留到小数点后一位).
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是
{7,9},{12,13,15}
.答案
4.答案 {7,9},{12,13,15}
解析 将数据从小到大排列为7,9,12,13,15,根据组内离差平方和最小原则,可知选取第2个间隔,即正确的分组为{7,9},{12,13,15}.
解析 将数据从小到大排列为7,9,12,13,15,根据组内离差平方和最小原则,可知选取第2个间隔,即正确的分组为{7,9},{12,13,15}.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心原则：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小，越符合“个数相差较小的同学分在一组”的要求。解题步骤如下：第一步先将5个数据从小到大排序，第二步对比表格中4种分法对应的组内离差平方和，找到最小值对应的间隔，第三步按照间隔对排序后的数据进行分组即可。
【解析】
1. 先将5名同学引体向上的个数从小到大排列：7，9，12，13，15。
2. 根据题意，组内离差平方和越小，分组越合理。观察表格中4个间隔的组内离差平方和：18.8、6.7、14.7、22.8，其中最小值为6.7，对应第2个间隔。
3. 第2个间隔位于排序后数据的第2个和第3个之间，即从9和12之间分组，因此两组分别为{7,9}和{12,13,15}。
【答案】
{7,9},{12,13,15}
【知识点】
数据排序、离差平方和、统计分组
【点评】
本题考查统计分组合理性的判断，解题关键是理解组内离差平方和的实际意义，能从表格中提取有效信息，结合数据排序得到正确分组，侧重对统计基础概念的理解和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心原则：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小，越符合“个数相差较小的同学分在一组”的要求。解题步骤如下：第一步先将5个数据从小到大排序，第二步对比表格中4种分法对应的组内离差平方和，找到最小值对应的间隔，第三步按照间隔对排序后的数据进行分组即可。
【解析】
1. 先将5名同学引体向上的个数从小到大排列：7，9，12，13，15。
2. 根据题意，组内离差平方和越小，分组越合理。观察表格中4个间隔的组内离差平方和：18.8、6.7、14.7、22.8，其中最小值为6.7，对应第2个间隔。
3. 第2个间隔位于排序后数据的第2个和第3个之间，即从9和12之间分组，因此两组分别为{7,9}和{12,13,15}。
【答案】
{7,9},{12,13,15}
【知识点】
数据排序、离差平方和、统计分组
【点评】
本题考查统计分组合理性的判断，解题关键是理解组内离差平方和的实际意义，能从表格中提取有效信息，结合数据排序得到正确分组，侧重对统计基础概念的理解和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. 学科
特色
教材变式
「★☆」为考察某杂交水稻的长势,测量了8株水稻的高度(单位:cm),结果为21,21,22,23,23,24,25,25.把这8个数据分成两组,并说出分组的理由.
特色
教材变式
「★☆」为考察某杂交水稻的长势,测量了8株水稻的高度(单位:cm),结果为21,21,22,23,23,24,25,25.把这8个数据分成两组,并说出分组的理由.
答案
5.解析 将数据21,21,22,23,23,24,25,25分成两组,共有7种情况,分别计算不同分组的组内离差平方和,如下表:
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| --- | --- |
| {21},{21,22,23,23,24,25,25} | $\frac{94}{7}$ |
| {21,21},{22,23,23,24,25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22},{23,23,24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23},{23,24,25,25} | $\frac{11}{2}$ |
| {21,21,22,23,23},{24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24},{25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24,25},{25} | $\frac{94}{7}$ |
由表可知,分组方式{21,21,22},{23,23,24,25,25}和{21,21,22,23,23},{24,25,25}可以使组内离差平方和达到最小,所以可按这两种方式分组.
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| --- | --- |
| {21},{21,22,23,23,24,25,25} | $\frac{94}{7}$ |
| {21,21},{22,23,23,24,25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22},{23,23,24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23},{23,24,25,25} | $\frac{11}{2}$ |
| {21,21,22,23,23},{24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24},{25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24,25},{25} | $\frac{94}{7}$ |
由表可知,分组方式{21,21,22},{23,23,24,25,25}和{21,21,22,23,23},{24,25,25}可以使组内离差平方和达到最小,所以可按这两种方式分组.
解析
【分析】
要完成合理分组，首先明确合理分组的核心是组内数据差异尽可能小，通常用组内离差平方和衡量组内离散程度，离差平方和越小说明组内数据越接近。题中8个数据已按从小到大有序排列，合理分组必然是连续分割（非连续分割会增大组内差异），因此只需枚举7种连续非空分组情况，分别计算每种分组的组内离差平方和之和，找到和最小的分组即为最优方案。
【解析】
组内离差平方和计算规则：先求组内数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方之和。8个有序数据共7种连续分组方式，分别计算每组的组内离差平方和总和如下：
| 分组情况 | 组内离差平方和总和 |
| --- | --- |
| {21}、{21,22,23,23,24,25,25} | $\frac{94}{7}$ |
| {21,21}、{22,23,23,24,25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22}、{23,23,24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23}、{23,24,25,25} | $\frac{11}{2}$ |
| {21,21,22,23,23}、{24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24}、{25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24,25}、{25} | $\frac{94}{7}$ |
对比可得，$\frac{14}{3}$为最小值，对应两种分组方式最合理。
【答案】
有两种合理分组方式：
1. 第一组：$\{21,21,22\}$，第二组：$\{23,23,24,25,25\}$
2. 第一组：$\{21,21,22,23,23\}$，第二组：$\{24,25,25\}$
分组理由：两种分组的组内离差平方和最小，组内数据离散程度最低，分组最合理。
【知识点】
数据分组、离差平方和、统计合理性判断
【点评】
本题重点考察对数据分组合理性的理解，需要掌握用离差平方和衡量数据离散程度的方法，解题时利用有序数据的特性仅枚举连续分组，可有效减少冗余计算。
【难度系数】
0.6
要完成合理分组，首先明确合理分组的核心是组内数据差异尽可能小，通常用组内离差平方和衡量组内离散程度，离差平方和越小说明组内数据越接近。题中8个数据已按从小到大有序排列，合理分组必然是连续分割（非连续分割会增大组内差异），因此只需枚举7种连续非空分组情况，分别计算每种分组的组内离差平方和之和，找到和最小的分组即为最优方案。
【解析】
组内离差平方和计算规则：先求组内数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方之和。8个有序数据共7种连续分组方式，分别计算每组的组内离差平方和总和如下：
| 分组情况 | 组内离差平方和总和 |
| --- | --- |
| {21}、{21,22,23,23,24,25,25} | $\frac{94}{7}$ |
| {21,21}、{22,23,23,24,25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22}、{23,23,24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23}、{23,24,25,25} | $\frac{11}{2}$ |
| {21,21,22,23,23}、{24,25,25} | $\frac{14}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24}、{25,25} | $\frac{22}{3}$ |
| {21,21,22,23,23,24,25}、{25} | $\frac{94}{7}$ |
对比可得，$\frac{14}{3}$为最小值，对应两种分组方式最合理。
【答案】
有两种合理分组方式：
1. 第一组：$\{21,21,22\}$，第二组：$\{23,23,24,25,25\}$
2. 第一组：$\{21,21,22,23,23\}$，第二组：$\{24,25,25\}$
分组理由：两种分组的组内离差平方和最小，组内数据离散程度最低，分组最合理。
【知识点】
数据分组、离差平方和、统计合理性判断
【点评】
本题重点考察对数据分组合理性的理解，需要掌握用离差平方和衡量数据离散程度的方法，解题时利用有序数据的特性仅枚举连续分组，可有效减少冗余计算。
【难度系数】
0.6
