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1. (★★)以下数组为三角形的边长:①5,12,13;②10,12,13;③7,24,25;④6,8,10，其中能构成直角三角形的有 （）
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
答案
B
解析
根据勾股定理的逆定理，分别验证各组边长是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方：
① $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，能构成直角三角形；
② $10^2+12^2=100+144=244$，$13^2=169$，$244≠169$，不能构成直角三角形；
③ $7^2+24^2=49+576=625=25^2$，能构成直角三角形；
④ $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，能构成直角三角形。
综上，共有3组能构成直角三角形。
① $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，能构成直角三角形；
② $10^2+12^2=100+144=244$，$13^2=169$，$244≠169$，不能构成直角三角形；
③ $7^2+24^2=49+576=625=25^2$，能构成直角三角形；
④ $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，能构成直角三角形。
综上，共有3组能构成直角三角形。
2. (★★)五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是 () 
答案
$\boldsymbol{C}$
解析
解：
分别计算各木棒长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$。
根据勾股定理的逆定理验证：
$\because 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，
$\therefore$ 长度为7、24、25的三边可组成直角三角形；
$\because 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，
$\therefore$ 长度为15、20、25的三边可组成直角三角形。
上述两组直角三角形恰好使用全部5根木棒，对应选项C。
分别计算各木棒长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$。
根据勾股定理的逆定理验证：
$\because 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，
$\therefore$ 长度为7、24、25的三边可组成直角三角形；
$\because 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，
$\therefore$ 长度为15、20、25的三边可组成直角三角形。
上述两组直角三角形恰好使用全部5根木棒，对应选项C。
3. (★★)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A.25
B.14
C.7
D.7或25
A.25
B.14
C.7
D.7或25
答案
D
解析
分两种情况利用勾股定理计算：①当3和4均为直角边长时，第三边长的平方为$3^2 + 4^2 = 25$；②当4为斜边长、3为直角边长时，第三边长的平方为$4^2 - 3^2 = 7$，因此第三边长的平方是7或25。
4. (★★)等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为 （）
A.13
B.8
C.25
D.64
A.13
B.8
C.25
D.64
答案
B
解析
作等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高平分底边，可得底边的一半长度为12÷2=6。此时腰长、底边的一半、底边上的高构成直角三角形，由勾股定理计算得底边上的高为√(10² - 6²)=√64=8。
5. (★★)如果$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则$△ ABC$是三角形，$=90°$，这个定理叫作。
答案
解：
直角
∠C
勾股定理的逆定理
直角
∠C
勾股定理的逆定理
6. (★★)已知△ABC的三边长a,b,c分别为6,8,10,则△ABC (填“是”或“不是”)直角三角形.
答案
是
解析
解：
∵ △ABC的三边长分别为a=6，b=8，c=10，其中c为最长边，
∴ $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$c^2 = 10^2 = 100$，
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
∵ △ABC的三边长分别为a=6，b=8，c=10，其中c为最长边，
∴ $a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
$c^2 = 10^2 = 100$，
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
7.(★★)直角三角形的三边长为连续自然数,则其周长为.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
解：
设该直角三角形的三边长分别为n，n+1，n+2（n为正自然数），其中斜边长为n+2。
根据勾股定理，得：
$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$
展开整理得：
$n^2 - 2n - 3 = 0$
因式分解得：
$(n-3)(n+1)=0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$（边长不能为负，舍去）
则三边长分别为3，4，5，周长为$3+4+5=12$。
最终
设该直角三角形的三边长分别为n，n+1，n+2（n为正自然数），其中斜边长为n+2。
根据勾股定理，得：
$n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2$
展开整理得：
$n^2 - 2n - 3 = 0$
因式分解得：
$(n-3)(n+1)=0$
解得$n_1=3$，$n_2=-1$（边长不能为负，舍去）
则三边长分别为3，4，5，周长为$3+4+5=12$。
最终
8. (★★)若在△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=。
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
解：
∵ AB=7，AC=24，BC=25
∴ AB² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
BC² = 25² = 625
∴ AB² + AC² = BC²
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，BC为斜边
∴ ∠A = 90°
最终
∵ AB=7，AC=24，BC=25
∴ AB² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
BC² = 25² = 625
∴ AB² + AC² = BC²
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，BC为斜边
∴ ∠A = 90°
最终
9. (★★)如果三角形的三边长为1.5,2,2.5,那么这个三角形最长边上的高为.
答案
$\boldsymbol{1.2}$
解析
解：
∵ $1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$2.5^2 = 6.25$
∴ $1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$
∴ 这个三角形是直角三角形，最长边为2.5。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 1.5 × 2 = \frac{1}{2} × 2.5 × h$
解得 $h = 1.2$
∵ $1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$2.5^2 = 6.25$
∴ $1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$
∴ 这个三角形是直角三角形，最长边为2.5。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 1.5 × 2 = \frac{1}{2} × 2.5 × h$
解得 $h = 1.2$
10.（★★★）如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°,AB=6,AC=BD=4,CD=2,则图中阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{5}-4}$
解析
解：
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，由勾股定理得：
$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 4^2 + 2^2 = 20$
在△ABC中，$AC=4$，$AB=6$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 4^2 + 20 = 36$，$AB^2 = 6^2 = 36$
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 4 × \sqrt{20} = 4\sqrt{5}$
$S_{△ BDC} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$
$\therefore$ 阴影部分的面积 $= S_{△ ABC} - S_{△ BDC} = 4\sqrt{5} - 4$
最终
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，由勾股定理得：
$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 4^2 + 2^2 = 20$
在△ABC中，$AC=4$，$AB=6$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 4^2 + 20 = 36$，$AB^2 = 6^2 = 36$
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 4 × \sqrt{20} = 4\sqrt{5}$
$S_{△ BDC} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$
$\therefore$ 阴影部分的面积 $= S_{△ ABC} - S_{△ BDC} = 4\sqrt{5} - 4$
最终
11. (★★★)如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$于点$D$,若$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,则线段$AD$的长度是.
答案
$\boldsymbol{\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}(或2.4\ \mathrm{cm})}$
解析
解：
在△ABC中，
∵ AB=4 cm，AC=3 cm，BC=5 cm，
∴ AB² + AC² = 4² + 3² = 25，BC² = 5² = 25，
∴ AB² + AC² = BC²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AD$，
代入数值得：$4×3=5× AD$，
解得 $AD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}=2.4\ \mathrm{cm}$。
最终
在△ABC中，
∵ AB=4 cm，AC=3 cm，BC=5 cm，
∴ AB² + AC² = 4² + 3² = 25，BC² = 5² = 25，
∴ AB² + AC² = BC²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AD$，
代入数值得：$4×3=5× AD$，
解得 $AD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}=2.4\ \mathrm{cm}$。
最终
