12. (★★★)如果三角形的三边$a,b,c$满足$(a+2b-60)^2 + |b-18| + \sqrt{30 - c}=0$，那么此三角形的形状是。

直角三角形

解：
∵ $(a+2b-60)^2 ≥ 0$，$|b-18| ≥ 0$，$\sqrt{30-c} ≥ 0$，且三者的和为0
∴ 可得：
$\begin{cases}a + 2b - 60 = 0 \\b - 18 = 0 \\30 - c = 0\end{cases}$
解得：$b=18$，$c=30$，$a=60-2×18=24$
计算三边平方：
$a^2=24^2=576$，$b^2=18^2=324$，$c^2=30^2=900$
可得 $a^2 + b^2 = 576 + 324 = 900 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形。

13.(★★)如图,已知等腰三角形ABC的周长是16,底边上的高AD=4.求这个三角形各边的长.

解：设BD = x，
∵ △ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，
∴ AB = AC，BD = DC = x，
∵ △ABC的周长为16，
∴ AB + AC + BC = 16，即2AB + 2x = 16，
∴ AB = 8 - x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2 = BD^2 + AD^2$，
代入AD=4，AB=8-x，BD=x，得：
$(8 - x)^2 = x^2 + 4^2$，
展开整理得：$64 - 16x + x^2 = x^2 + 16$，
解得$x = 3$。
∴ AB = AC = 8 - 3 = 5，BC = 2x = 6。
答：这个三角形的三边长分别为AB=AC=5，BC=6。

14. (★★)如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,AD=2√3,CD=3,BC=5,求∠ADC的度数.

解：
连接BD。
∵ AB⊥AD，
∴ ∠A = 90°，△ABD为直角三角形。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$，
∴ $BD = 4$。
在Rt△ABD中，$AB=2=\frac{1}{2}BD$，
∴ $∠ ADB = 30°$。
在△BCD中，$BD=4$，$CD=3$，$BC=5$，
∵ $BD^2 + CD^2 = 16 + 9 = 25$，$BC^2 = 25$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
由勾股定理的逆定理可得：△BCD是直角三角形，$∠ BDC = 90°$。
∴ $∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC = 30° + 90° = 120°$。
答：$∠ ADC$的度数为$120°$。

15. (★★★)如图,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1 cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动,如果同时出发,问过3秒时,△BPQ的面积为多少?

解：
设AB=3k cm，BC=4k cm，CA=5k cm，
∵△ABC周长为36 cm，
∴3k + 4k + 5k = 36，
解得k=3，
∴AB=9 cm，BC=12 cm，AC=15 cm。
∵AB² + BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225，AC²=15²=225，
∴AB² + BC² = AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°。
出发3秒后：
AP = 1×3 = 3 cm，
∴BP = AB - AP = 9 - 3 = 6 cm，
BQ = 2×3 = 6 cm，
∴$S_{△ BPQ} = \frac{1}{2} × BP × BQ = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18 \ (\mathrm{cm}^2)$。
答：过3秒时，△BPQ的面积为18 cm²。