登录
18.小丽在用等长的木棒设计图案探索规律：
| 图案标号 | ① | ② | ③ | ④ |
| 所需木棒根数 | | | | |
(1)先填表，再请你帮她用含n的代数式表示第n个图案所需木棒的根数。
(2)如果要摆出第50个图案，所需木棒的根数是多少？
(3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图案用了100根木棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图案？如果不可能，请说明理由。
| 图案标号 | ① | ② | ③ | ④ |
| 所需木棒根数 | | | | |
(1)先填表，再请你帮她用含n的代数式表示第n个图案所需木棒的根数。
(2)如果要摆出第50个图案，所需木棒的根数是多少？
(3)小丽说她按这种方式搭出来的一个图案用了100根木棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图案？如果不可能，请说明理由。
答案
解：
(1) 填表依次为：6，11，16，21。
观察可知，每增加1个图案，木棒根数增加5，因此第$ n $个图案所需木棒的根数为 $ 5n+1 $。
(2) 当$ n=50 $时，
$ 5n+1 = 5×50 +1 = 251 $
答：摆出第50个图案，所需木棒的根数是251。
(3) 不可能，理由如下：
令$ 5n+1=100 $，
解得 $ n=19.8 $。
因为图案标号$ n $必须是正整数，19.8不是正整数，因此不存在这样的图案，不可能用100根木棒搭出符合要求的图案。
(1) 填表依次为：6，11，16，21。
观察可知，每增加1个图案，木棒根数增加5，因此第$ n $个图案所需木棒的根数为 $ 5n+1 $。
(2) 当$ n=50 $时，
$ 5n+1 = 5×50 +1 = 251 $
答：摆出第50个图案，所需木棒的根数是251。
(3) 不可能，理由如下：
令$ 5n+1=100 $，
解得 $ n=19.8 $。
因为图案标号$ n $必须是正整数，19.8不是正整数，因此不存在这样的图案，不可能用100根木棒搭出符合要求的图案。
解析
【分析】
解决本题首先从计数前几个图案的木棒数量入手，先准确数出前3个图案的木棒数，计算第4个的数量；再观察相邻图案木棒数量的变化，发现每次增加5根的规律，结合首项数值推导出第n个图案的木棒根数的代数式；第二问属于代数式求值，将n=50代入推导的代数式计算即可得到结果；第三问先假设存在，列方程求解，再根据图案序号必须是正整数的要求判断解是否合理，即可得出结论。
【解析】
(1) 逐一计数：
图案①的木棒根数为6；
图案②比图案①多5根，为$6+5=11$；
图案③比图案②多5根，为$11+5=16$；
图案④比图案③多5根，为$16+5=21$；
观察规律：第1个图案：$6=5×1+1$，第2个图案：$11=5×2+1$，第3个图案：$16=5×3+1$，因此第n个图案所需木棒的根数为$5n+1$。
(2) 当$n=50$时，代入$5n+1$得：
$5×50 +1 = 251$（根）
(3) 假设存在用100根木棒搭出的图案，令$5n+1=100$，
解方程得：$5n=99$，$n=19.8$。
由于图案标号$n$必须为正整数，19.8不是正整数，因此不存在这样的图案，不可能用100根木棒搭出符合要求的图案。
【答案】
(1) 表中依次填：6，11，16，21；第$n$个图案所需木棒根数为$\boldsymbol{5n+1}$
(2) 摆出第50个图案所需木棒的根数是251根
(3) 不可能，解得$n=19.8$，不是正整数，不存在符合要求的图案
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察找到图形数量的变化规律，推导通项公式，再结合代数式和方程的知识解决实际问题，有助于培养观察归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从计数前几个图案的木棒数量入手，先准确数出前3个图案的木棒数，计算第4个的数量；再观察相邻图案木棒数量的变化，发现每次增加5根的规律，结合首项数值推导出第n个图案的木棒根数的代数式；第二问属于代数式求值，将n=50代入推导的代数式计算即可得到结果；第三问先假设存在，列方程求解，再根据图案序号必须是正整数的要求判断解是否合理，即可得出结论。
【解析】
(1) 逐一计数：
图案①的木棒根数为6；
图案②比图案①多5根，为$6+5=11$；
图案③比图案②多5根，为$11+5=16$；
图案④比图案③多5根，为$16+5=21$；
观察规律：第1个图案：$6=5×1+1$，第2个图案：$11=5×2+1$，第3个图案：$16=5×3+1$，因此第n个图案所需木棒的根数为$5n+1$。
(2) 当$n=50$时，代入$5n+1$得：
$5×50 +1 = 251$（根）
(3) 假设存在用100根木棒搭出的图案，令$5n+1=100$，
解方程得：$5n=99$，$n=19.8$。
由于图案标号$n$必须为正整数，19.8不是正整数，因此不存在这样的图案，不可能用100根木棒搭出符合要求的图案。
【答案】
(1) 表中依次填：6，11，16，21；第$n$个图案所需木棒根数为$\boldsymbol{5n+1}$
(2) 摆出第50个图案所需木棒的根数是251根
(3) 不可能，解得$n=19.8$，不是正整数，不存在符合要求的图案
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察找到图形数量的变化规律，推导通项公式，再结合代数式和方程的知识解决实际问题，有助于培养观察归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
19.某商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优惠凭证,不能顶替货款),花300元购买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的八折购物。
(1)顾客购买多少元的商品时,买卡与不买卡花钱一样多?试讨论在什么情况下购物更合算。
(2)小张要买一台标价为3 500元的冰箱,应如何购买更合算?小张能节省多少钱?
(3)在(2)的条件下,小张按合算的方案把这台冰箱买下,如果该商场还能获利25%,那么这台冰箱的进价是多少元?
(1)顾客购买多少元的商品时,买卡与不买卡花钱一样多?试讨论在什么情况下购物更合算。
(2)小张要买一台标价为3 500元的冰箱,应如何购买更合算?小张能节省多少钱?
(3)在(2)的条件下,小张按合算的方案把这台冰箱买下,如果该商场还能获利25%,那么这台冰箱的进价是多少元?
答案
解：(1) 设顾客购买$x$元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多。
根据题意列方程：
$300 + 0.8x = x$
移项得：$x - 0.8x = 300$
$0.2x = 300$
解得：$x = 1500$
结论：顾客购买1500元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多；当所购商品标价大于1500元时，买卡购物更合算；当所购商品标价小于1500元时，不买卡购物更合算。
(2) 买卡购买冰箱的总花费为：
$300 + 3500×0.8 = 3100 \mathrm{（元）}$
不买卡购买冰箱花费为3500元，
因为$3100＜3500$，所以买卡购买更合算。
节省的金额为：
$3500 - 3100 = 400 \mathrm{（元）}$
答：小张买优惠购物卡后凭卡购买冰箱更合算，能节省400元。
(3) 设这台冰箱的进价为$y$元。
根据题意列方程：
$300 + 3500×0.8 - y = 25\%y$
整理得：$3100 = 1.25y$
解得：$y = 2480$
答：这台冰箱的进价是2480元。
根据题意列方程：
$300 + 0.8x = x$
移项得：$x - 0.8x = 300$
$0.2x = 300$
解得：$x = 1500$
结论：顾客购买1500元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多；当所购商品标价大于1500元时，买卡购物更合算；当所购商品标价小于1500元时，不买卡购物更合算。
(2) 买卡购买冰箱的总花费为：
$300 + 3500×0.8 = 3100 \mathrm{（元）}$
不买卡购买冰箱花费为3500元，
因为$3100＜3500$，所以买卡购买更合算。
节省的金额为：
$3500 - 3100 = 400 \mathrm{（元）}$
答：小张买优惠购物卡后凭卡购买冰箱更合算，能节省400元。
(3) 设这台冰箱的进价为$y$元。
根据题意列方程：
$300 + 3500×0.8 - y = 25\%y$
整理得：$3100 = 1.25y$
解得：$y = 2480$
答：这台冰箱的进价是2480元。
解析
【分析】
要解决这道题我们可以分三步思考：
1. 针对第(1)问，要找买卡和不买卡花费相等的临界值，可设购物总标价为x元，不买卡花费就是x元，买卡花费为“购卡费300元+八折购物款”即(300+0.8x)元，令两者相等列一元一次方程求解，再分消费金额大于、等于、小于临界值三种情况讨论哪种方案更合算。
2. 针对第(2)问，将冰箱标价3500元分别代入两种消费方案的花费公式，计算出结果后对比大小，费用更低的方案更合算，两者的差值就是节省的金额。
3. 针对第(3)问，设冰箱进价为y元，商场获利25%，说明实际售价 = 进价×(1+25%)，这里的实际售价就是小张按合算方案的花费，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 设顾客购买$x$元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多。
根据题意列方程：
$300 + 0.8x = x$
移项得：$x - 0.8x = 300$
合并同类项得：$0.2x = 300$
解得：$x = 1500$
结论：顾客购买1500元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多；当所购商品标价大于1500元时，买卡购物更合算；当所购商品标价小于1500元时，不买卡购物更合算。
(2) 买卡购买冰箱的总花费为：
$300 + 3500×0.8 = 3100$（元）
不买卡购买冰箱花费为3500元，
因为$3100＜3500$，所以买卡购买更合算。
节省的金额为：
$3500 - 3100 = 400$（元）
(3) 设这台冰箱的进价为$y$元。
根据题意列方程：
$300 + 3500×0.8 = (1+25\%)y$
整理得：$3100 = 1.25y$
解得：$y = 2480$
【答案】
(1) 购买1500元商品时两种方式花费相同；消费大于1500元时买卡更合算，消费小于1500元时不买卡更合算。
(2) 买优惠购物卡后凭卡购买更合算，能节省400元。
(3) 这台冰箱的进价是2480元。
【知识点】
一元一次方程应用，方案选择，利润计算
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景命题，既考查了一元一次方程的列法与解法，也要求学生具备分类讨论、对比择优的逻辑思维，能帮助学生理解数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题我们可以分三步思考：
1. 针对第(1)问，要找买卡和不买卡花费相等的临界值，可设购物总标价为x元，不买卡花费就是x元，买卡花费为“购卡费300元+八折购物款”即(300+0.8x)元，令两者相等列一元一次方程求解，再分消费金额大于、等于、小于临界值三种情况讨论哪种方案更合算。
2. 针对第(2)问，将冰箱标价3500元分别代入两种消费方案的花费公式，计算出结果后对比大小，费用更低的方案更合算，两者的差值就是节省的金额。
3. 针对第(3)问，设冰箱进价为y元，商场获利25%，说明实际售价 = 进价×(1+25%)，这里的实际售价就是小张按合算方案的花费，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 设顾客购买$x$元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多。
根据题意列方程：
$300 + 0.8x = x$
移项得：$x - 0.8x = 300$
合并同类项得：$0.2x = 300$
解得：$x = 1500$
结论：顾客购买1500元的商品时，买卡与不买卡花钱一样多；当所购商品标价大于1500元时，买卡购物更合算；当所购商品标价小于1500元时，不买卡购物更合算。
(2) 买卡购买冰箱的总花费为：
$300 + 3500×0.8 = 3100$（元）
不买卡购买冰箱花费为3500元，
因为$3100＜3500$，所以买卡购买更合算。
节省的金额为：
$3500 - 3100 = 400$（元）
(3) 设这台冰箱的进价为$y$元。
根据题意列方程：
$300 + 3500×0.8 = (1+25\%)y$
整理得：$3100 = 1.25y$
解得：$y = 2480$
【答案】
(1) 购买1500元商品时两种方式花费相同；消费大于1500元时买卡更合算，消费小于1500元时不买卡更合算。
(2) 买优惠购物卡后凭卡购买更合算，能节省400元。
(3) 这台冰箱的进价是2480元。
【知识点】
一元一次方程应用，方案选择，利润计算
【点评】
本题结合生活中常见的商场促销场景命题，既考查了一元一次方程的列法与解法，也要求学生具备分类讨论、对比择优的逻辑思维，能帮助学生理解数学在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
