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20.某中学全校学生进行一分钟跳绳测试,为了解全校学生测试的情况,随机抽取了一部分学生进行测试,把测得的成绩分成四组,即A(190～220次)、B(160～189次)、C(130～159次)、D(130次以下),并绘制出不完整的统计图,如图所示。
根据题目信息,回答下列问题。
(1)被抽取的学生有人,并补全条形统计图。
(2)被抽取的学生成绩在A组的对应的扇形圆心角的大小是。
(3)在随机抽取的学生中,成绩在C组的学生比成绩在A组的学生多多少人?
根据题目信息,回答下列问题。
(1)被抽取的学生有人,并补全条形统计图。
(2)被抽取的学生成绩在A组的对应的扇形圆心角的大小是。
(3)在随机抽取的学生中,成绩在C组的学生比成绩在A组的学生多多少人?
答案
解：
(1) 被抽取的学生总数为：$18 ÷ 30\% = 60$
C组的人数为：$60 - 6 - 12 - 18 = 24$
补全条形统计图：在横轴C对应的位置，绘制纵轴高度为24的长方形。
答案：$\boldsymbol{60}$
(2) 成绩在A组对应的扇形圆心角为：$\frac{6}{60} × 360° = 36°$
答案：$\boldsymbol{36°}$
(3) $24 - 6 = 18$（人）
答：成绩在C组的学生比成绩在A组的学生多18人。
(1) 被抽取的学生总数为：$18 ÷ 30\% = 60$
C组的人数为：$60 - 6 - 12 - 18 = 24$
补全条形统计图：在横轴C对应的位置，绘制纵轴高度为24的长方形。
答案：$\boldsymbol{60}$
(2) 成绩在A组对应的扇形圆心角为：$\frac{6}{60} × 360° = 36°$
答案：$\boldsymbol{36°}$
(3) $24 - 6 = 18$（人）
答：成绩在C组的学生比成绩在A组的学生多18人。
解析
【分析】
解题时需结合扇形统计图和条形统计图的已知信息推导：首先扇形统计图显示D组人数占被抽取总人数的30%，条形统计图给出D组实际人数为18人，根据“总人数=对应部分人数÷该部分占总人数的百分比”即可算出被抽取的总人数；再用总人数减去A、B、D三组的人数得到C组人数，就能补全条形统计图。第二问求A组对应扇形圆心角，用“A组人数占总人数的比例×360°”计算即可。第三问直接用C组人数减去A组人数就能得到差值。
【解析】
(1) 已知D组有18人，占被抽取学生总数的30%，因此被抽取的学生总人数为：
$18÷30\% = 60$（人）
C组的人数为总人数减去A、B、D三组人数：
$60 - 6 - 12 - 18 = 24$（人）
补全条形统计图：在横轴C组对应的位置，绘制高度对应纵轴24的长方形即可。
(2) A组有6人，占总人数的比例为$\frac{6}{60}$，因此对应扇形圆心角为：
$\frac{6}{60}×360° = 36°$
(3) C组人数为24人，A组人数为6人，两者的人数差为：
$24 - 6 = 18$（人）
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$，补全条形统计图（C组对应条形高度为24）；
(2) $\boldsymbol{36°}$；
(3) 成绩在C组的学生比成绩在A组的学生多$\boldsymbol{18}$人。
【知识点】
扇形统计图；条形统计图；统计图表综合计算
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查两种统计图的特征和关联运用，解题的关键是找到两种统计图中相互对应的部分量和占比，先求出总人数，再依次推导其余未知量，熟练掌握统计图相关计算规则就能轻松作答。
【难度系数】
0.7
解题时需结合扇形统计图和条形统计图的已知信息推导：首先扇形统计图显示D组人数占被抽取总人数的30%，条形统计图给出D组实际人数为18人，根据“总人数=对应部分人数÷该部分占总人数的百分比”即可算出被抽取的总人数；再用总人数减去A、B、D三组的人数得到C组人数，就能补全条形统计图。第二问求A组对应扇形圆心角，用“A组人数占总人数的比例×360°”计算即可。第三问直接用C组人数减去A组人数就能得到差值。
【解析】
(1) 已知D组有18人，占被抽取学生总数的30%，因此被抽取的学生总人数为：
$18÷30\% = 60$（人）
C组的人数为总人数减去A、B、D三组人数：
$60 - 6 - 12 - 18 = 24$（人）
补全条形统计图：在横轴C组对应的位置，绘制高度对应纵轴24的长方形即可。
(2) A组有6人，占总人数的比例为$\frac{6}{60}$，因此对应扇形圆心角为：
$\frac{6}{60}×360° = 36°$
(3) C组人数为24人，A组人数为6人，两者的人数差为：
$24 - 6 = 18$（人）
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$，补全条形统计图（C组对应条形高度为24）；
(2) $\boldsymbol{36°}$；
(3) 成绩在C组的学生比成绩在A组的学生多$\boldsymbol{18}$人。
【知识点】
扇形统计图；条形统计图；统计图表综合计算
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查两种统计图的特征和关联运用，解题的关键是找到两种统计图中相互对应的部分量和占比，先求出总人数，再依次推导其余未知量，熟练掌握统计图相关计算规则就能轻松作答。
【难度系数】
0.7
21. 提升题 数学实践课上，同学们利用硬纸板设计了一个失物招领盒子，并用它来收纳大家捡到的物品。盒子的表面展开图(单位:cm)如图所示。回答下列问题:
(1)该盒子的几何体名称：，与盒子表面“暖”字相对面上的字为。
(2)已知AF = a cm，AC = 2AB = 2b cm。
①AB=cm，BE=cm；(用含a,b的代数式表示)
②若a=80，b=20，求该失物招领盒子的体积。
22. 提升题 如图，已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°。
(1)如图①，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数。
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°(0＜n＜180，且n不等于60)，∠FOA=3∠AOD。
①如图②，当∠DOE在∠AOC内部时，试探究∠FOE和∠EOC的数量关系，并说明理由。
②如图③，当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并说明理由。
(1)该盒子的几何体名称：，与盒子表面“暖”字相对面上的字为。
(2)已知AF = a cm，AC = 2AB = 2b cm。
①AB=cm，BE=cm；(用含a,b的代数式表示)
②若a=80，b=20，求该失物招领盒子的体积。
22. 提升题 如图，已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°，∠DOE=80°。
(1)如图①，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数。
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°(0＜n＜180，且n不等于60)，∠FOA=3∠AOD。
①如图②，当∠DOE在∠AOC内部时，试探究∠FOE和∠EOC的数量关系，并说明理由。
②如图③，当∠DOE的两边在射线OC的两侧时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论，并说明理由。
答案
21. 解答
(1) 该盒子的几何体名称：长方体，与盒子表面“暖”字相对面上的字为 我。
(2) ①
已知 $AC=2AB=2b\ \mathrm{cm}$，因此 $AB=b\ \mathrm{cm}$。
由展开图可知 $AF=AB+BE+EF$，且 $EF=AB=b\ \mathrm{cm}$，因此 $BE=AF-AB-EF=a-2b\ \mathrm{cm}$。
故 $AB=\boldsymbol{b}\ \mathrm{cm}$，$BE=\boldsymbol{a-2b}\ \mathrm{cm}$。
②
当 $a=80$，$b=20$ 时：
$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=2b=40\ \mathrm{cm}$，$BE=a-2b=80-40=40\ \mathrm{cm}$。
长方体体积 $V=AB· AC· BE=20×40×40=32000\ \mathrm{cm}^3$。
答：该失物招领盒子的体积为 $32000\ \mathrm{立方厘米}$。
---
22. 解答
(1)
解：$\because OD$ 平分 $∠ AOC$，$∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=80°-60°=20°$
又 $\because ∠ AOC+∠ COB=180°$
$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°$
$\therefore ∠ EOB=∠ COB-∠ COE=60°-20°=40°$
(2) ①
$∠ FOE=2∠ EOC$，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ AOC-∠ AOE=120°-(x+80°)=40°-x$
$\because ∠ FOE=∠ AOE-∠ FOA=(x+80°)-3x=80°-2x$
$\therefore ∠ FOE=2(40°-x)=2∠ EOC$
②
①中的结论不成立，正确结论为 $∠ FOE=2∠ EOC$ 仍然成立，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=120°-x$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ DOE-∠ COD=80°-(120°-x)=x-40°$
又 $\because ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ FOE=∠ FOA-∠ AOE=3x-(x+80°)=2x-80°$
$\therefore ∠ FOE=2(x-40°)=2∠ EOC$
故结论 $∠ FOE=2∠ EOC$ 仍然成立。
(1) 该盒子的几何体名称：长方体，与盒子表面“暖”字相对面上的字为 我。
(2) ①
已知 $AC=2AB=2b\ \mathrm{cm}$，因此 $AB=b\ \mathrm{cm}$。
由展开图可知 $AF=AB+BE+EF$，且 $EF=AB=b\ \mathrm{cm}$，因此 $BE=AF-AB-EF=a-2b\ \mathrm{cm}$。
故 $AB=\boldsymbol{b}\ \mathrm{cm}$，$BE=\boldsymbol{a-2b}\ \mathrm{cm}$。
②
当 $a=80$，$b=20$ 时：
$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=2b=40\ \mathrm{cm}$，$BE=a-2b=80-40=40\ \mathrm{cm}$。
长方体体积 $V=AB· AC· BE=20×40×40=32000\ \mathrm{cm}^3$。
答：该失物招领盒子的体积为 $32000\ \mathrm{立方厘米}$。
---
22. 解答
(1)
解：$\because OD$ 平分 $∠ AOC$，$∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=80°-60°=20°$
又 $\because ∠ AOC+∠ COB=180°$
$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°$
$\therefore ∠ EOB=∠ COB-∠ COE=60°-20°=40°$
(2) ①
$∠ FOE=2∠ EOC$，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ AOC-∠ AOE=120°-(x+80°)=40°-x$
$\because ∠ FOE=∠ AOE-∠ FOA=(x+80°)-3x=80°-2x$
$\therefore ∠ FOE=2(40°-x)=2∠ EOC$
②
①中的结论不成立，正确结论为 $∠ FOE=2∠ EOC$ 仍然成立，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=120°-x$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ DOE-∠ COD=80°-(120°-x)=x-40°$
又 $\because ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ FOE=∠ FOA-∠ AOE=3x-(x+80°)=2x-80°$
$\therefore ∠ FOE=2(x-40°)=2∠ EOC$
故结论 $∠ FOE=2∠ EOC$ 仍然成立。
解析
21题
【分析】
(1) 观察展开图特征，6个面均为矩形，对应几何体为长方体；长方体展开图中相对面不相邻，中间间隔1个面，可据此判断“暖”的相对面。
(2) ①根据已知线段等量关系直接推导AB的长度，再结合展开图中AF的线段组成（AB+BE+EF，且EF=AB），即可求出BE的代数式。②代入a、b的数值得到长方体的长、宽、高，再用长方体体积公式计算即可。
【解析】
(1) 该展开图符合长方体展开图的特征，对应几何体是长方体；结合相对面不相邻的规律，可知“暖”相对的字是“我”。
(2) ①已知$AC=2AB=2b\ \mathrm{cm}$，化简得$AB=b\ \mathrm{cm}$；由展开图可知$AF=AB+BE+EF$，且$EF=AB=b\ \mathrm{cm}$，因此$BE=AF-AB-EF=a-b-b=(a-2b)\ \mathrm{cm}$。
②当$a=80$，$b=20$时：
$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=2b=40\ \mathrm{cm}$，$BE=a-2b=80-40=40\ \mathrm{cm}$
长方体体积$V=AB·AC·BE=20×40×40=32000\ \mathrm{cm}^3$
答：该失物招领盒子的体积为32000立方厘米。
【答案】
(1) 长方体；我
(2) ①$b$；$a-2b$ ②$32000\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体展开图，代数式求值，长方体体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何体展开图的相关知识，需要掌握长方体展开图的特征、线段关系推导以及体积计算公式，注重对识图能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
---
22题
【分析】
(1) 先根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，结合∠DOE的度数求出∠COE的度数，再根据平角为180°算出∠COB的度数，最后用∠COB减去∠COE即可得到∠EOB的度数。
(2) ①设∠AOD为参数x，用含x的式子分别表示出∠FOA、∠AOE、∠EOC、∠FOE，即可推导二者的数量关系。②同样设∠AOD为x，根据OD位置的变化调整角的和差关系，再推导两个角的数量关系，判断原有结论是否成立。
【解析】
(1) 解：$\because OD$ 平分 $∠ AOC$，$∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=80°-60°=20°$
又 $\because ∠ AOC+∠ COB=180°$
$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°$
$\therefore ∠ EOB=∠ COB-∠ COE=60°-20°=40°$
(2) ①$∠ FOE=2∠ EOC$，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ AOC-∠ AOE=120°-(x+80°)=40°-x$
$\because ∠ FOE=∠ AOE-∠ FOA=(x+80°)-3x=80°-2x$
$\therefore ∠ FOE=2(40°-x)=2∠ EOC$
②结论仍然成立，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=120°-x$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ DOE-∠ COD=80°-(120°-x)=x-40°$
又 $\because ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ FOE=∠ FOA-∠ AOE=3x-(x+80°)=2x-80°$
$\therefore ∠ FOE=2(x-40°)=2∠ EOC$，故结论仍然成立。
【答案】
(1) $∠EOB=40°$
(2) ①$∠FOE=2∠EOC$；②结论仍然成立，$∠FOE=2∠EOC$
【知识点】
角平分线性质，角度和差计算，角的数量关系探究
【点评】
本题考查了角的相关计算与探究，需要熟练掌握角平分线的性质、平角的定义，通过设参数的方法可以简化角的关系推导，分类讨论时要注意角的位置变化带来的和差关系改变。
【难度系数】
0.4
【分析】
(1) 观察展开图特征，6个面均为矩形，对应几何体为长方体；长方体展开图中相对面不相邻，中间间隔1个面，可据此判断“暖”的相对面。
(2) ①根据已知线段等量关系直接推导AB的长度，再结合展开图中AF的线段组成（AB+BE+EF，且EF=AB），即可求出BE的代数式。②代入a、b的数值得到长方体的长、宽、高，再用长方体体积公式计算即可。
【解析】
(1) 该展开图符合长方体展开图的特征，对应几何体是长方体；结合相对面不相邻的规律，可知“暖”相对的字是“我”。
(2) ①已知$AC=2AB=2b\ \mathrm{cm}$，化简得$AB=b\ \mathrm{cm}$；由展开图可知$AF=AB+BE+EF$，且$EF=AB=b\ \mathrm{cm}$，因此$BE=AF-AB-EF=a-b-b=(a-2b)\ \mathrm{cm}$。
②当$a=80$，$b=20$时：
$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=2b=40\ \mathrm{cm}$，$BE=a-2b=80-40=40\ \mathrm{cm}$
长方体体积$V=AB·AC·BE=20×40×40=32000\ \mathrm{cm}^3$
答：该失物招领盒子的体积为32000立方厘米。
【答案】
(1) 长方体；我
(2) ①$b$；$a-2b$ ②$32000\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体展开图，代数式求值，长方体体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何体展开图的相关知识，需要掌握长方体展开图的特征、线段关系推导以及体积计算公式，注重对识图能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
---
22题
【分析】
(1) 先根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，结合∠DOE的度数求出∠COE的度数，再根据平角为180°算出∠COB的度数，最后用∠COB减去∠COE即可得到∠EOB的度数。
(2) ①设∠AOD为参数x，用含x的式子分别表示出∠FOA、∠AOE、∠EOC、∠FOE，即可推导二者的数量关系。②同样设∠AOD为x，根据OD位置的变化调整角的和差关系，再推导两个角的数量关系，判断原有结论是否成立。
【解析】
(1) 解：$\because OD$ 平分 $∠ AOC$，$∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=80°-60°=20°$
又 $\because ∠ AOC+∠ COB=180°$
$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°$
$\therefore ∠ EOB=∠ COB-∠ COE=60°-20°=40°$
(2) ①$∠ FOE=2∠ EOC$，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ AOC-∠ AOE=120°-(x+80°)=40°-x$
$\because ∠ FOE=∠ AOE-∠ FOA=(x+80°)-3x=80°-2x$
$\therefore ∠ FOE=2(40°-x)=2∠ EOC$
②结论仍然成立，理由如下：
设 $∠ AOD=x$，则 $∠ FOA=3∠ AOD=3x$。
$\because ∠ AOC=120°$
$\therefore ∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=120°-x$
$\because ∠ DOE=80°$
$\therefore ∠ EOC=∠ DOE-∠ COD=80°-(120°-x)=x-40°$
又 $\because ∠ AOE=∠ AOD+∠ DOE=x+80°$
$\therefore ∠ FOE=∠ FOA-∠ AOE=3x-(x+80°)=2x-80°$
$\therefore ∠ FOE=2(x-40°)=2∠ EOC$，故结论仍然成立。
【答案】
(1) $∠EOB=40°$
(2) ①$∠FOE=2∠EOC$；②结论仍然成立，$∠FOE=2∠EOC$
【知识点】
角平分线性质，角度和差计算，角的数量关系探究
【点评】
本题考查了角的相关计算与探究，需要熟练掌握角平分线的性质、平角的定义，通过设参数的方法可以简化角的关系推导，分类讨论时要注意角的位置变化带来的和差关系改变。
【难度系数】
0.4
