3. 学习了三角形全等的判定方法后可知,有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等,那么什么时候全等什么时候不全等呢?
小聪将命题用符号语言表示为:在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,并思考要想解决问题,应把$∠ B$分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究:

图7-1 图7-2
(1)第一种情况:如图7-1,当$∠ B$是直角时,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E=90°$,根据“HL”定理,可以知道$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$.
(2)第二种情况:如图7-2,当$∠ B$是锐角时,$BC=EF$,$∠ B=∠ E＜90°$,在射线$EM$上有点$D$,使$DF=AC$,在图7-2中画出符合条件的点$D$,根据作图可以判断$△ ABC$和$△ DEF$的关系是()
A. 不全等 B. 不一定全等 C. 全等
(3)第三种情况:如图7-3,当$∠ B$是钝角时,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E＞90°$,求证:$△ ABC≌△ DEF$.

图7-3

解：(2) 选B。
(3) 证明：
过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，
过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H。
∵∠ABC=∠DEF＞90°，
∴∠CBG=180°-∠ABC，∠FEH=180°-∠DEF，
∴∠CBG=∠FEH。
在△CBG和△FEH中，
$\{\begin{array}{l}∠G=∠H=90° \\∠CBG=∠FEH \\BC=EF\end{array} $
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，BG=EH。
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\{\begin{array}{l}AC=DF \\CG=FH\end{array} $
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴AG=DH。
∵AG=AB+BG，DH=DE+EH，BG=EH，
∴AB=DE。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE \\∠ABC=∠DEF \\BC=EF\end{array} $
∴△ABC≌△DEF(SAS)。

【分析】
第(2)问：已知∠B是锐角，BC=EF，∠B=∠E，要在射线EM上找D满足DF=AC，以F为圆心、AC长为半径画弧，会和射线EM交于2个不同的点，对应得到的△DEF一个与△ABC全等、另一个不全等，因此两个三角形关系为不一定全等。第(3)问：∠B为钝角时，已知AC=DF、BC=EF、∠B=∠E，但∠B不是AC和BC的夹角，不能直接用SAS证全等，因此考虑作高构造直角三角形，先证钝角补角所在的小直角三角形全等得到高相等，再用HL证含AC、DF的大直角三角形全等推出AB=DE，最后用SAS证原三角形全等。
【解析】
(2) 以点F为圆心、AC的长度为半径画弧，与射线EM交于两个不同的点，两点都满足DF=AC，其中一个点对应的△DEF与△ABC全等，另一个点对应的△DEF与△ABC不全等，因此△ABC和△DEF不一定全等，故选B。
(3) 证明：
过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE，交DE的延长线于点H。
∵∠ABC=∠DEF＞90°，
∴∠CBG=180°-∠ABC，∠FEH=180°-∠DEF，
∴∠CBG=∠FEH。
在△CBG和△FEH中，
$\{\begin{array}{l}∠G=∠H=90° \\∠CBG=∠FEH \\BC=EF\end{array} $
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，BG=EH。
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\{\begin{array}{l}AC=DF \\CG=FH\end{array} $
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴AG=DH。
∵AG=AB+BG，DH=DE+EH，且BG=EH，
∴AB=DE。
在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE \\∠ABC=∠DEF \\BC=EF\end{array} $
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
【答案】
(2) $\boxed{B}$
(3) $△ ABC≌△ DEF$，证明过程见解析。
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 直角三角形HL判定
3. 等角的补角相等
【点评】
本题围绕“两边及其中一边的对角对应相等的三角形是否全等”展开分类探究，考查分类讨论的数学思想，以及构造辅助线证明全等的能力，帮助大家明确SSA判定全等的适用条件，加深对全等判定定理的理解。
【难度系数】
0.6

1. 使两个直角三角形全等的条件是()

A.一锐角对应相等
B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等

D

【分析】
解题时首先明确直角三角形自带“直角对应相等”的隐含条件，结合全等三角形的判定规则（判定全等必须至少有一组对应边相等，仅角相等无法判定全等），再逐个分析选项：先排除仅涉及角相等的选项，再判断仅一条边相等的情况是否满足判定条件，最后验证斜边直角边的判定规则是否符合要求。
【解析】
直角三角形有一组直角对应相等的隐含条件，我们逐个分析选项：
A. 一锐角对应相等：加上公共的直角相等，只能得到三组角对应相等，没有对应边相等的条件，无法判定两个直角三角形全等，不符合要求；
B. 两锐角对应相等：同样是仅三组角对应相等，缺少边的条件，不能判定全等，不符合要求；
C. 一条边对应相等：仅一组边+一组直角相等，判定条件不足，无法确定全等，不符合要求；
D. 斜边和一条直角边对应相等：符合直角三角形全等的特殊判定定理HL，可以判定两个直角三角形全等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形的判定条件
【点评】
本题主要考查直角三角形全等的判定，需要区分普通三角形全等的通用判定规则和直角三角形的特殊判定规则，注意判定三角形全等必须要有对应边相等的条件，仅角相等无法判定全等。
【难度系数】
0.85