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三、解答题
1. 如图5，在$△ ABC$与$△ EDF$中，$∠ B=∠ D=90°$，$AC=EF$，$B,F,C,D$在同一直线上，$BF=CD$. 求证：$AB=ED$.
1. 如图5，在$△ ABC$与$△ EDF$中，$∠ B=∠ D=90°$，$AC=EF$，$B,F,C,D$在同一直线上，$BF=CD$. 求证：$AB=ED$.
答案
证明：
∵ BF=CD，
∴ BF+FC = CD+FC，
即 BC=DF。
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ △ABC和△EDF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
$\{\begin{array}{l}AC=EF \\BC=DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△EDF（HL），
∴ AB=ED。
∵ BF=CD，
∴ BF+FC = CD+FC，
即 BC=DF。
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ △ABC和△EDF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
$\{\begin{array}{l}AC=EF \\BC=DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△EDF（HL），
∴ AB=ED。
解析
【分析】
要证明AB=ED，可通过证明两条线段所在的△ABC与△EDF全等来推导。首先观察已知条件：两个三角形均为直角三角形，且斜边AC=EF，此时只需再证明一组直角边相等即可使用HL定理判定全等。已知BF=CD，结合点B、F、C、D在同一直线上，给两条相等线段同时加上公共部分FC，即可得到直角边BC=DF，满足HL的判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵ BF=CD，
∴ BF+FC = CD+FC，
即 BC=DF。
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ △ABC和△EDF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
$\{\begin{array}{l}AC=EF \\BC=DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△EDF（HL），
∴ AB=ED。
【答案】
AB=ED
【知识点】
HL判定定理、线段和差、全等三角形性质
【点评】
本题是三角形全等证明的基础题型，解题关键是利用线段和差关系得到全等所需的等边，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明AB=ED，可通过证明两条线段所在的△ABC与△EDF全等来推导。首先观察已知条件：两个三角形均为直角三角形，且斜边AC=EF，此时只需再证明一组直角边相等即可使用HL定理判定全等。已知BF=CD，结合点B、F、C、D在同一直线上，给两条相等线段同时加上公共部分FC，即可得到直角边BC=DF，满足HL的判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：
∵ BF=CD，
∴ BF+FC = CD+FC，
即 BC=DF。
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ △ABC和△EDF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
$\{\begin{array}{l}AC=EF \\BC=DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△EDF（HL），
∴ AB=ED。
【答案】
AB=ED
【知识点】
HL判定定理、线段和差、全等三角形性质
【点评】
本题是三角形全等证明的基础题型，解题关键是利用线段和差关系得到全等所需的等边，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 如图6，AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE，求证：BC=BE. 
图6
图6答案
证明：
∵ AD, AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴ ∠D = ∠F = 90°，
∴ △ADC、△AFE、△ADB、△AFB都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AC = AE\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL），
∴ DC = FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ADB ≌ Rt△AFB（HL），
∴ DB = FB。
∵ DB - DC = BC，FB - FE = BE，
∴ BC = BE。
∵ AD, AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴ ∠D = ∠F = 90°，
∴ △ADC、△AFE、△ADB、△AFB都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AC = AE\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL），
∴ DC = FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ADB ≌ Rt△AFB（HL），
∴ DB = FB。
∵ DB - DC = BC，FB - FE = BE，
∴ BC = BE。
解析
【分析】
要证明BC=BE，观察图形可得BC=DB-DC，BE=FB-FE，因此只需证明DB=FB、DC=FE即可。已知AD、AF是两个钝角三角形的高，可得到4个直角三角形，结合题中给出的AD=AF、AC=AE的条件，先利用HL定理证明Rt△ADC≌Rt△AFE，即可得到DC=FE；再利用公共边AB=AB，通过HL定理证明Rt△ADB≌Rt△AFB，即可得到DB=FB，最后通过线段差的关系即可推出BC=BE。
【解析】
证明：
∵ AD, AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴ ∠D = ∠F = 90°，
∴ △ADC、△AFE、△ADB、△AFB都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AC = AE\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL），
∴ DC = FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ADB ≌ Rt△AFB（HL），
∴ DB = FB。
∵ DB - DC = BC，FB - FE = BE，
∴ BC = BE。
【答案】
证明：
∵ AD, AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴ ∠D = ∠F = 90°，
∴ △ADC、△AFE、△ADB、△AFB都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AC = AE\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL），
∴ DC = FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ADB ≌ Rt△AFB（HL），
∴ DB = FB。
∵ DB - DC = BC，FB - FE = BE，
∴ BC = BE。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，线段和差运算
【点评】
本题属于利用全等证明线段相等的基础题型，需要结合图形分析待证线段与已知边的关系，通过两次证明直角三角形全等得到对应边相等，再借助线段差的关系推导结论，解题时要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7
要证明BC=BE，观察图形可得BC=DB-DC，BE=FB-FE，因此只需证明DB=FB、DC=FE即可。已知AD、AF是两个钝角三角形的高，可得到4个直角三角形，结合题中给出的AD=AF、AC=AE的条件，先利用HL定理证明Rt△ADC≌Rt△AFE，即可得到DC=FE；再利用公共边AB=AB，通过HL定理证明Rt△ADB≌Rt△AFB，即可得到DB=FB，最后通过线段差的关系即可推出BC=BE。
【解析】
证明：
∵ AD, AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴ ∠D = ∠F = 90°，
∴ △ADC、△AFE、△ADB、△AFB都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AC = AE\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL），
∴ DC = FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ADB ≌ Rt△AFB（HL），
∴ DB = FB。
∵ DB - DC = BC，FB - FE = BE，
∴ BC = BE。
【答案】
证明：
∵ AD, AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴ ∠D = ∠F = 90°，
∴ △ADC、△AFE、△ADB、△AFB都是直角三角形。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AC = AE\end{array} $
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL），
∴ DC = FE。
在Rt△ADB和Rt△AFB中，
$\{\begin{array}{l}AD = AF \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ADB ≌ Rt△AFB（HL），
∴ DB = FB。
∵ DB - DC = BC，FB - FE = BE，
∴ BC = BE。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，线段和差运算
【点评】
本题属于利用全等证明线段相等的基础题型，需要结合图形分析待证线段与已知边的关系，通过两次证明直角三角形全等得到对应边相等，再借助线段差的关系推导结论，解题时要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7
