3*. 如图8,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
求证:(1)△ABD≌△ACD;(2)BE=CE.

证明：
(1) ∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
(2) 由(1)得△ABD≌△ACD，
∴ ∠BAD = ∠CAD，即∠BAE = ∠CAE。
在△ABE和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAE = ∠CAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACE（SAS），
∴ BE = CE。

【分析】
(1) 求证△ABD≌△ACD时，先梳理已知条件：已知AB=AC，点D是BC中点可推出BD=CD，再加上两三角形的公共边AD，恰好满足SSS全等判定的三个条件，直接套用判定定理即可完成证明。
(2) 求证BE=CE时，通常证明两条线段所在的三角形全等：观察可得BE、CE分别属于△ABE和△ACE，已知AB=AC、公共边AE，还缺少一组夹角相等；由(1)的全等结论可推出∠BAE=∠CAE，满足SAS全等判定条件，证得△ABE≌△ACE后，根据全等三角形对应边相等即可得到BE=CE。
【解析】
证明：
(1)
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
(2) 由(1)得△ABD≌△ACD，
∴ ∠BAD = ∠CAD，即∠BAE = ∠CAE。
在△ABE和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAE = ∠CAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACE（SAS），
∴ BE = CE。
【答案】
证明：
(1)
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。
(2) 由(1)得△ABD≌△ACD，
∴ ∠BAD = ∠CAD，即∠BAE = ∠CAE。
在△ABE和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAE = ∠CAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACE（SAS），
∴ BE = CE。
【知识点】
SSS判定全等，SAS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题时既可以从已知条件出发逐步推导结论，也可以从待证结论反推所需条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85

1. 根据下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是()

A.斜边和一锐角对应相等
B.斜边和一条直角边对应相等
C.两条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等

D

【分析】
解题思路：首先回忆直角三角形全等的判定规则，包括适用于所有三角形的SSS、SAS、ASA、AAS，以及直角三角形特有的HL判定定理，明确判定三角形全等必须有至少一组对应边相等的条件，再逐一分析每个选项是否符合判定要求即可得出答案。
【解析】
直角三角形全等的判定既可以使用普通三角形的4种全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），也可以使用专属的HL（斜边、直角边）判定定理，且判定全等必须包含至少一组对应边相等的条件，我们逐一分析选项：
1. 选项A：斜边和一锐角对应相等，同时两个直角三角形的直角均为90°也对应相等，符合AAS（角角边）判定规则，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
2. 选项B：斜边和一条直角边对应相等，符合直角三角形专属的HL判定规则，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
3. 选项C：两条直角边对应相等，且两条直角边的夹角是直角（90°）对应相等，符合SAS（边角边）判定规则，可判定两个直角三角形全等，不符合题意；
4. 选项D：仅两个锐角对应相等，没有任何一组对应边相等的条件，两个三角形可以形状相同但大小不同，比如两个大小不同的等腰直角三角形，锐角都是45°但明显不全等，因此不能判定两个直角三角形全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形判定定理
【点评】
本题考查全等判定的基础应用，需要注意无论是普通三角形还是直角三角形，判定全等时必须包含对应边相等的条件，仅角相等只能保证三角形形状相同，无法保证大小相等，因此不能判定全等，属于对基础定理理解的考查，熟练掌握各判定定理的适用条件即可快速作答。
【难度系数】
0.85

2. 如图1,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是()

A.AB=AC
B.∠BAC=90°
C.BD=AC
D.∠B=45°

A

【分析】
首先明确已知条件：AD是△ABC的高，可得∠ADB=∠ADC=90°，且AD是两个三角形的公共边，此时要判定△ABD≌△ACD，只需再补充一个符合全等判定定理的条件即可，我们逐个分析选项是否满足全等判定要求就能得出答案。
【解析】
已知AD是BC边上的高，因此$∠ ADB=∠ ADC=90°$，且$AD=AD$（公共边）。
对各选项逐一分析：
选项A：若$AB=AC$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\begin{cases} AB=AC \\ AD=AD \end{cases}$，根据直角三角形全等的HL判定定理，可得$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$，符合要求；
选项B：若$∠ BAC=90°$，仅能说明$△ ABC$是直角三角形，无法得到两组三角形的对应边或对应角相等，不能判定全等，排除；
选项C：若$BD=AC$，BD是$\mathrm{Rt}△ ABD$的直角边，AC是$\mathrm{Rt}△ ACD$的斜边，不属于全等判定的对应边，无法判定全等，排除；
选项D：若$∠ B=45°$，仅能推出$\mathrm{Rt}△ ABD$是等腰直角三角形，$AD=BD$，无法得到$△ ACD$的对应边、角相等，不能判定全等，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等判定（HL），三角形全等的判定
【点评】
本题考查三角形全等的判定，解题时先梳理题目已给出的公共条件，再结合全等判定定理逐一验证选项，要注意判定全等时边、角的对应关系，避免混淆对应元素。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 如图2，AB=AD，AD⊥DC，BC⊥AB，AC和BD相交于点E，图中有对全等三角形，它们分别是.

解：
∵ AD⊥DC，BC⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠ABC = 90°。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\begin{cases} AD = AB \\ AC = AC \end{cases}$
∴ Rt△ADC ≌ Rt△ABC（HL），可得DC=BC，∠DAC=∠BAC。
在△ADE和△ABE中，
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠DAE = ∠BAE \\ AE = AE \end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ABE（SAS），可得DE=BE。
在△CDE和△CBE中，
$\begin{cases} DC = BC \\ DE = BE \\ CE = CE \end{cases}$
∴ △CDE ≌ △CBE（SSS）。
综上，图中有$\boldsymbol{3}$对全等三角形，它们分别是$\boldsymbol{△ ADC ≌ △ ABC}$，$\boldsymbol{△ ADE ≌ △ ABE}$，$\boldsymbol{△ CDE ≌ △ CBE}$。

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AD⊥DC、BC⊥AB得到两个直角，结合已知AB=AD和公共边AC，可先用HL判定两个大直角三角形全等，得到对应边DC=BC、对应角∠DAC=∠BAC；再利用得到的边角相等条件，结合公共边AE，用SAS证明△ADE和△ABE全等，得到DE=BE；最后结合已得的DC=BC、DE=BE和公共边CE，用SSS证明△CDE和△CBE全等，最后统计全等三角形的对数即可。
【解析】
∵ AD⊥DC，BC⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠ABC = 90°。
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
$\begin{cases} AD = AB \\ AC = AC \end{cases}$
∴ Rt△ADC ≌ Rt△ABC（HL），可得DC=BC，∠DAC=∠BAC。
在△ADE和△ABE中，
$\begin{cases} AD = AB \\ ∠DAE = ∠BAE \\ AE = AE \end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ABE（SAS），可得DE=BE。
在△CDE和△CBE中，
$\begin{cases} DC = BC \\ DE = BE \\ CE = CE \end{cases}$
∴ △CDE ≌ △CBE（SSS）。
【答案】
3；$\boldsymbol{△ ADC ≌ △ ABC}$，$\boldsymbol{△ ADE ≌ △ ABE}$，$\boldsymbol{△ CDE ≌ △ CBE}$
【知识点】
三角形全等判定，HL判定定理，全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，需要从已知条件出发逐步推导，先证明基础的全等三角形，再利用其性质获取后续证明所需的边角条件，解题时需注意不要漏查全等三角形，正确选用对应判定定理即可。
【难度系数】
0.7

2. 如图3,在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中,AB为斜边,$∠ C=∠ D=90°$,请补充一个条件:,使$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD$.

解：$AC=BD$（答案不唯一，也可填$BC=AD$、$∠ CAB=∠ DBA$、$∠ CBA=∠ DAB$等）

【分析】
解决这道题首先梳理已知条件：两个三角形均为直角三角形，∠C=∠D=90°，AB为公共斜边，因此已有一组角相等和一组公共斜边相等。接下来结合三角形全等的判定定理思考：对于直角三角形，除一般的全等判定方法外，还有特殊的HL判定法。若补充直角边相等，可通过HL判定全等；若补充一组锐角相等，可通过AAS判定全等，因此符合要求的条件不唯一。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中，$∠ C=∠ D=90°$，AB为公共斜边，因此$AB=BA$。
1. 若补充$AC=BD$：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中
$\begin{cases}AB=BA \\AC=BD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$
2. 若补充$∠ CAB=∠ DBA$：
在$△ ABC$和$△ BAD$中
$\begin{cases}∠ C=∠ D \\∠ CAB=∠ DBA \\AB=BA\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ BAD(\mathrm{AAS})$
同理，补充$BC=AD$（HL判定）、$∠ CBA=∠ DAB$（AAS判定）也可证明两三角形全等。
【答案】
$AC=BD$（答案不唯一，也可填$BC=AD$、$∠ CAB=∠ DBA$、$∠ CBA=∠ DAB$等）
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等的HL判定；公共边的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对全等三角形判定定理的灵活应用，解题时只需结合已知的边角相等条件，匹配对应的判定定理补充合适的条件即可。
【难度系数】
0.8

3. 如图4，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有（填序号即可）。

解：
在△AEB和△AFC中，
$\{\begin{array}{l}∠E=∠F \\∠B=∠C \\AE=AF\end{array} $
∴△AEB≌△AFC(AAS)，
∴∠EAB=∠FAC，AC=AB，
∴∠EAB - ∠CAB = ∠FAC - ∠CAB，
即∠EAM=∠FAN，结论③正确。
在△AEM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l}∠E=∠F \\AE=AF \\∠EAM=∠FAN\end{array} $
∴△AEM≌△AFN(ASA)，
∴EM=FN，AM=AN，结论①正确。
∵AC=AB，AM=AN，
∴AC - AM = AB - AN，即CM=BN。
在△ACN和△ABM中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠B \\∠CAN=∠BAM \\AN=AM\end{array} $
∴△ACN≌△ABM(AAS)，结论④正确。
由题中已知条件无法推出CD=DN，结论②错误。
综上，正确的是①③④。

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先观察到∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可先证明△AEB≌△AFC，得到对应角、对应边相等的结论；再利用得到的结论逐一验证四个结论：首先通过角的和差关系判断结论③是否成立，再以③的结论为条件证明△AEM≌△AFN，判断结论①是否成立；接着结合之前得到的边相等的结论，证明△ACN≌△ABM判断结论④是否成立；最后看结论②是否有对应的推导依据，无法推导则不成立。
【解析】
在△AEB和△AFC中，
$\{\begin{array}{l}∠E=∠F \\∠B=∠C \\AE=AF\end{array} $
∴△AEB≌△AFC(AAS)，
∴∠EAB=∠FAC，AC=AB，
∴∠EAB - ∠CAB = ∠FAC - ∠CAB，
即∠EAM=∠FAN，结论③正确。
在△AEM和△AFN中，
$\{\begin{array}{l}∠E=∠F \\AE=AF \\∠EAM=∠FAN\end{array} $
∴△AEM≌△AFN(ASA)，
∴EM=FN，AM=AN，结论①正确。
∵AC=AB，AM=AN，
∴AC - AM = AB - AN，即CM=BN。
在△ACN和△ABM中，
$\{\begin{array}{l}∠C=∠B \\∠CAN=∠BAM \\AN=AM\end{array} $
∴△ACN≌△ABM(AAS)，结论④正确。
由题中已知条件无法推出CD=DN，结论②错误。
【答案】
①③④
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，需要逐层推导全等三角形，利用全等的性质得到对应边、对应角相等的结论，逐一验证每个待判断的结论，推导过程要注意公共角、边的和差等隐含条件的使用，没有明确依据的结论不能随意判定为正确。
【难度系数】
0.6