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8. 先化简，再求值：
(1) $9x + 6x^2 - 3(x - \frac{2}{3}x^2)$，其中 $x=-2$。
(2) $\frac{1}{2}a - (2a - \frac{2}{3}b^2) + (-\frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2)$，其中 $a=-\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$。
(1) $9x + 6x^2 - 3(x - \frac{2}{3}x^2)$，其中 $x=-2$。
(2) $\frac{1}{2}a - (2a - \frac{2}{3}b^2) + (-\frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2)$，其中 $a=-\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$。
答案
(1)原式$=9x+6x^2-3x+2x^2=8x^2+6x$，
当$x=-2$时，原式$=8×(-2)^2+6×(-2)=20$.
(2)原式$=\dfrac{1}{2}a-2a+\dfrac{2}{3}b^2-\dfrac{3}{2}a+\dfrac{1}{3}b^2=b^2-3a$，
当$a=-\dfrac{1}{4},b=\dfrac{1}{2}$时，原式$=(\dfrac{1}{2})^2-3×(-\dfrac{1}{4})=1$.
当$x=-2$时，原式$=8×(-2)^2+6×(-2)=20$.
(2)原式$=\dfrac{1}{2}a-2a+\dfrac{2}{3}b^2-\dfrac{3}{2}a+\dfrac{1}{3}b^2=b^2-3a$，
当$a=-\dfrac{1}{4},b=\dfrac{1}{2}$时，原式$=(\dfrac{1}{2})^2-3×(-\dfrac{1}{4})=1$.
解析
【分析】
解决整式化简求值问题分两步思考：第一步先化简整式，首先按照去括号法则去掉括号，要注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，括号前有系数的要把系数乘到括号内的每一项；再合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步把给定的字母取值代入最简整式，按有理数运算规则计算结果即可，先化简再代入能降低计算量、减少出错概率。
(1)题处理括号时，括号前是-3，去括号要给括号内的x和$-\frac{2}{3}x^2$都乘-3，再合并同类项后代入求值；(2)题依次去掉所有括号，留意每个括号前的符号，再分别合并a的同类项和$b^2$的同类项，最后代入数值计算。
【解析】
(1) 去括号：
原式$=9x + 6x^2 - 3x + 2x^2$
合并同类项：
原式$=8x^2 + 6x$
将$x=-2$代入化简后的式子：
原式$=8×(-2)^2 + 6×(-2) = 8×4 - 12 = 32 - 12 = 20$
(2) 去括号：
原式$=\frac{1}{2}a - 2a + \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2$
合并同类项：
原式$=b^2 - 3a$
将$a=-\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=(\frac{1}{2})^2 - 3×(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) $\boxed{1}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考查去括号的符号处理能力和同类项合并的准确性，代入求值时要注意有理数运算顺序，先算乘方再算乘除，最后算加减，养成先化简再求值的习惯能有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.7
解决整式化简求值问题分两步思考：第一步先化简整式，首先按照去括号法则去掉括号，要注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，括号前有系数的要把系数乘到括号内的每一项；再合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步把给定的字母取值代入最简整式，按有理数运算规则计算结果即可，先化简再代入能降低计算量、减少出错概率。
(1)题处理括号时，括号前是-3，去括号要给括号内的x和$-\frac{2}{3}x^2$都乘-3，再合并同类项后代入求值；(2)题依次去掉所有括号，留意每个括号前的符号，再分别合并a的同类项和$b^2$的同类项，最后代入数值计算。
【解析】
(1) 去括号：
原式$=9x + 6x^2 - 3x + 2x^2$
合并同类项：
原式$=8x^2 + 6x$
将$x=-2$代入化简后的式子：
原式$=8×(-2)^2 + 6×(-2) = 8×4 - 12 = 32 - 12 = 20$
(2) 去括号：
原式$=\frac{1}{2}a - 2a + \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{3}b^2$
合并同类项：
原式$=b^2 - 3a$
将$a=-\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=(\frac{1}{2})^2 - 3×(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) $\boxed{1}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考查去括号的符号处理能力和同类项合并的准确性，代入求值时要注意有理数运算顺序，先算乘方再算乘除，最后算加减，养成先化简再求值的习惯能有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.7
9. 客车上原有乘客$(2a - b)$人，中途有一半乘客下车，又有若干人上车，结果车上共有乘客$(8a - 5b)$人，求上车的乘客有多少人. 当$a = 10$，$b = 8$时，上车的乘客有多少人？
答案
解:由题意得，上车乘客的人数为
$(8a-5b)-\dfrac{1}{2}(2a-b)$
$=8a-5b-a+\dfrac{1}{2}b$
$=7a-\dfrac{9}{2}b$.
当$a=10,b=8$时，
原式$=7×10-\dfrac{9}{2}×8=34$.
答:上车的乘客有$(7a-\dfrac{9}{2}b)$人，当$a=10,b=8$时，上车的乘客有34人.
$(8a-5b)-\dfrac{1}{2}(2a-b)$
$=8a-5b-a+\dfrac{1}{2}b$
$=7a-\dfrac{9}{2}b$.
当$a=10,b=8$时，
原式$=7×10-\dfrac{9}{2}×8=34$.
答:上车的乘客有$(7a-\dfrac{9}{2}b)$人，当$a=10,b=8$时，上车的乘客有34人.
解析
【分析】
解题时首先明确核心数量关系：上车乘客人数 = 现在车上总乘客数 - 中途下车后剩余的乘客数。第一步先计算中途一半乘客下车后剩余的人数：原有乘客$(2a - b)$人，一半下车后剩余人数为原有乘客的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}(2a - b)$；第二步用最终总人数$(8a - 5b)$减去剩余人数，得到上车人数的代数式；第三步按照去括号、合并同类项的法则化简代数式；最后将$a、b$的取值代入化简后的式子计算，即可得到上车乘客的具体人数。
【解析】
解：根据题意列式得：
$\begin{aligned}&(8a - 5b) - \frac{1}{2}(2a - b)\\=&8a - 5b - a + \frac{1}{2}b \quad \mathrm{（去括号，运用分配律，注意符号变化）}\\=&7a - \frac{9}{2}b\end{aligned}$
当$a=10$，$b=8$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=7×10 - \frac{9}{2}×8\\=&70 - 36\\=&34\end{aligned}$
【答案】
上车的乘客有$(7a - \dfrac{9}{2}b)$人；当$a=10,b=8$时，上车的乘客有34人。
【知识点】
列代数式，去括号法则，代数式求值
【点评】
本题考查整式加减在实际问题中的应用，解题关键是找准数量关系正确列出代数式，去括号时要注意不要漏乘括号内的项，同时关注符号变化，代值计算时遵循运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心数量关系：上车乘客人数 = 现在车上总乘客数 - 中途下车后剩余的乘客数。第一步先计算中途一半乘客下车后剩余的人数：原有乘客$(2a - b)$人，一半下车后剩余人数为原有乘客的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}(2a - b)$；第二步用最终总人数$(8a - 5b)$减去剩余人数，得到上车人数的代数式；第三步按照去括号、合并同类项的法则化简代数式；最后将$a、b$的取值代入化简后的式子计算，即可得到上车乘客的具体人数。
【解析】
解：根据题意列式得：
$\begin{aligned}&(8a - 5b) - \frac{1}{2}(2a - b)\\=&8a - 5b - a + \frac{1}{2}b \quad \mathrm{（去括号，运用分配律，注意符号变化）}\\=&7a - \frac{9}{2}b\end{aligned}$
当$a=10$，$b=8$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=7×10 - \frac{9}{2}×8\\=&70 - 36\\=&34\end{aligned}$
【答案】
上车的乘客有$(7a - \dfrac{9}{2}b)$人；当$a=10,b=8$时，上车的乘客有34人。
【知识点】
列代数式，去括号法则，代数式求值
【点评】
本题考查整式加减在实际问题中的应用，解题关键是找准数量关系正确列出代数式，去括号时要注意不要漏乘括号内的项，同时关注符号变化，代值计算时遵循运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.8
10. 下列各式中,去括号正确的是 （
A.$-5a-(2c+3b)=-5a-2c+3b$
B.$x-2(y-z)=x-2y-2z$
C.$3x+(-7y+z)=3x-7y-z$
D.$3x-[3a-(b+c)]=3x-3a+b+c$
D
）A.$-5a-(2c+3b)=-5a-2c+3b$
B.$x-2(y-z)=x-2y-2z$
C.$3x+(-7y+z)=3x-7y-z$
D.$3x-[3a-(b+c)]=3x-3a+b+c$
答案
D
解析
【分析】
本题考查去括号法则的应用，解题思路如下：首先牢记去括号的核心规则：1. 若括号前是“+”号，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不改变；2. 若括号前是“-”号，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要改变；若括号前有数字系数，需要先用乘法分配律将系数乘遍括号内的每一项，再去括号。我们逐一验证四个选项的正误即可选出正确答案。
【解析】
我们根据去括号法则逐个分析选项：
A选项：$-5a-(2c+3b)$，括号前为负号，去括号后括号内各项要变号，得$-5a-2c-3b$，与选项中的$-5a-2c+3b$不符，A错误。
B选项：$x-2(y-z)$，先将系数2乘遍括号内每一项，结合括号前为负号，得$x-2y+2z$，与选项中的$x-2y-2z$不符，B错误。
C选项：$3x+(-7y+z)$，括号前为正号，去括号后各项不变号，得$3x-7y+z$，与选项中的$3x-7y-z$不符，C错误。
D选项：$3x-[3a-(b+c)]$，先去中括号（括号前为负号），得$3x-3a+(b+c)$，再去小括号（括号前为正号），最终得$3x-3a+b+c$，与选项一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.去括号法则 2.乘法分配律
【点评】
本题是去括号法则的基础应用题型，解题时需注意两个易错点：一是括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号，避免只变第一项的符号；二是括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项，不要漏乘。
【难度系数】
0.8
本题考查去括号法则的应用，解题思路如下：首先牢记去括号的核心规则：1. 若括号前是“+”号，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不改变；2. 若括号前是“-”号，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要改变；若括号前有数字系数，需要先用乘法分配律将系数乘遍括号内的每一项，再去括号。我们逐一验证四个选项的正误即可选出正确答案。
【解析】
我们根据去括号法则逐个分析选项：
A选项：$-5a-(2c+3b)$，括号前为负号，去括号后括号内各项要变号，得$-5a-2c-3b$，与选项中的$-5a-2c+3b$不符，A错误。
B选项：$x-2(y-z)$，先将系数2乘遍括号内每一项，结合括号前为负号，得$x-2y+2z$，与选项中的$x-2y-2z$不符，B错误。
C选项：$3x+(-7y+z)$，括号前为正号，去括号后各项不变号，得$3x-7y+z$，与选项中的$3x-7y-z$不符，C错误。
D选项：$3x-[3a-(b+c)]$，先去中括号（括号前为负号），得$3x-3a+(b+c)$，再去小括号（括号前为正号），最终得$3x-3a+b+c$，与选项一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.去括号法则 2.乘法分配律
【点评】
本题是去括号法则的基础应用题型，解题时需注意两个易错点：一是括号前为负号时，去括号后括号内所有项都要变号，避免只变第一项的符号；二是括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项，不要漏乘。
【难度系数】
0.8
11.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍，拼第三个图形共需要7根火柴棍……依此规律，拼第n个图形共需要
$2n+1$
根火柴棍。答案
$2n+1$
【解析】观察发现规律：第一个图形需要3根火柴棍:$3=1×2+1$；
第二个图形需要5根火柴棍:$5=2×2+1$；
第三个图形需要7根火柴棍:$7=3×2+1$，
所以第$n$个图形需要$(2n+1)$根火柴棍.
【解析】观察发现规律：第一个图形需要3根火柴棍:$3=1×2+1$；
第二个图形需要5根火柴棍:$5=2×2+1$；
第三个图形需要7根火柴棍:$7=3×2+1$，
所以第$n$个图形需要$(2n+1)$根火柴棍.
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题时先整理已知的前几个图形的火柴棍数量，对比图形序号和对应火柴棍数量的关系：观察可发现，每增加1个三角形，火柴棍的数量就增加2根，结合第1个图形的火柴棍数量，就能推导出第n个图形的火柴棍数量表达式。
【解析】
解：观察已知图形的火柴棍数量可得：
拼第1个图形时，火柴棍根数为3，满足$3=2×1+1$；
拼第2个图形时，火柴棍根数为5，满足$5=2×2+1$；
拼第3个图形时，火柴棍根数为7，满足$7=2×3+1$；
按照该规律推导，拼第n个图形时，需要的火柴棍根数为$2× n +1$，即$(2n+1)$根。
【答案】
$2n+1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究基础题，解题关键是观察相邻图形的火柴棍数量的增量规律，再结合序号归纳出通用的代数式，掌握从特殊到一般的归纳方法就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
这是图形规律探究类题目，解题时先整理已知的前几个图形的火柴棍数量，对比图形序号和对应火柴棍数量的关系：观察可发现，每增加1个三角形，火柴棍的数量就增加2根，结合第1个图形的火柴棍数量，就能推导出第n个图形的火柴棍数量表达式。
【解析】
解：观察已知图形的火柴棍数量可得：
拼第1个图形时，火柴棍根数为3，满足$3=2×1+1$；
拼第2个图形时，火柴棍根数为5，满足$5=2×2+1$；
拼第3个图形时，火柴棍根数为7，满足$7=2×3+1$；
按照该规律推导，拼第n个图形时，需要的火柴棍根数为$2× n +1$，即$(2n+1)$根。
【答案】
$2n+1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究基础题，解题关键是观察相邻图形的火柴棍数量的增量规律，再结合序号归纳出通用的代数式，掌握从特殊到一般的归纳方法就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
12. 先化简，再求值：
$2(2a+b)^2 - 3(2a+b) + 8(2a+b)^2 - 6(2a+b)$，其中 $a=-2, b=\dfrac{1}{5}$。
$2(2a+b)^2 - 3(2a+b) + 8(2a+b)^2 - 6(2a+b)$，其中 $a=-2, b=\dfrac{1}{5}$。
答案
解:原式$=(2+8)(2a+b)^2+(-3-6)(2a+b)=10(2a+b)^2-9(2a+b)$.
当$a=-2,b=\dfrac{1}{5}$时，
原式$=10×[2×(-2)+\dfrac{1}{5}]^2-9×[2×(-2)+\dfrac{1}{5}]$
$=10×\dfrac{361}{25}-9×(-\dfrac{19}{5})$
$=\dfrac{722}{5}+\dfrac{171}{5}$
$=\dfrac{893}{5}$.
当$a=-2,b=\dfrac{1}{5}$时，
原式$=10×[2×(-2)+\dfrac{1}{5}]^2-9×[2×(-2)+\dfrac{1}{5}]$
$=10×\dfrac{361}{25}-9×(-\dfrac{19}{5})$
$=\dfrac{722}{5}+\dfrac{171}{5}$
$=\dfrac{893}{5}$.
解析
【分析】
观察算式可以发现，式子中都含有整体项$(2a+b)^2$和$(2a+b)$，我们可以把$2a+b$看作一个整体，先合并同类项简化原式，再代入$a$、$b$的值计算，这种方法比直接展开$(2a+b)^2$计算更简便，也能降低计算出错的概率。解题时第一步先合并同类项，第二步先计算$2a+b$的数值，第三步将数值代入化简后的式子按运算顺序计算即可。
【解析】
解：先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2+8)(2a+b)^2+(-3-6)(2a+b)\\&=10(2a+b)^2-9(2a+b)\end{aligned}$
当$a=-2,b=\dfrac{1}{5}$时，先计算$2a+b$的值：
$2a+b=2×(-2)+\dfrac{1}{5}=-\dfrac{19}{5}$
将$2a+b=-\dfrac{19}{5}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=10×(-\dfrac{19}{5})^2-9×(-\dfrac{19}{5})\\&=10×\dfrac{361}{25}+\dfrac{171}{5}\\&=\dfrac{722}{5}+\dfrac{171}{5}\\&=\dfrac{893}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{893}{5}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值；整体代入法
【点评】
本题重点考查整式的化简求值运算，将$2a+b$看作整体合并同类项可简化计算流程，解题过程中要注意负数乘方、乘法运算的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
观察算式可以发现，式子中都含有整体项$(2a+b)^2$和$(2a+b)$，我们可以把$2a+b$看作一个整体，先合并同类项简化原式，再代入$a$、$b$的值计算，这种方法比直接展开$(2a+b)^2$计算更简便，也能降低计算出错的概率。解题时第一步先合并同类项，第二步先计算$2a+b$的数值，第三步将数值代入化简后的式子按运算顺序计算即可。
【解析】
解：先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2+8)(2a+b)^2+(-3-6)(2a+b)\\&=10(2a+b)^2-9(2a+b)\end{aligned}$
当$a=-2,b=\dfrac{1}{5}$时，先计算$2a+b$的值：
$2a+b=2×(-2)+\dfrac{1}{5}=-\dfrac{19}{5}$
将$2a+b=-\dfrac{19}{5}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=10×(-\dfrac{19}{5})^2-9×(-\dfrac{19}{5})\\&=10×\dfrac{361}{25}+\dfrac{171}{5}\\&=\dfrac{722}{5}+\dfrac{171}{5}\\&=\dfrac{893}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{893}{5}$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值；整体代入法
【点评】
本题重点考查整式的化简求值运算，将$2a+b$看作整体合并同类项可简化计算流程，解题过程中要注意负数乘方、乘法运算的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
13. 数学老师布置了一道题：“先化简，再求值：$(-x^3 + 3x^2y - y^3) - (x^3 - 2xy^2 + y^3) + (2x^3 - 3x^2y - 2xy^2)$，其中$x=2025$，$y=-\dfrac{1}{2}$。”小东同学将“$x=2025$”错抄成“$x=2015$”，但他求得的结果也是正确的，你能说明这是为什么吗？
答案
解:$(-x^3+3x^2y-y^3)-(x^3-2xy^2+y^3)+(2x^3-3x^2y-2xy^2)$
$=-x^3+3x^2y-y^3-x^3+2xy^2-y^3+2x^3-3x^2y-2xy^2$
$=-2y^3$，
化简后式子中不含字母$x$，即原多项式的值与$x$的取值无关.
$=-x^3+3x^2y-y^3-x^3+2xy^2-y^3+2x^3-3x^2y-2xy^2$
$=-2y^3$，
化简后式子中不含字母$x$，即原多项式的值与$x$的取值无关.
解析
【分析】
当抄错x的取值但计算结果仍正确时，说明原式化简后的结果不含x，即原式的值与x的取值无关。解题时先按照去括号法则去掉原式的括号，再合并同类项，观察化简后的结果是否含有x即可判断原因。
【解析】
先对原式去括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号：
$(-x^3 + 3x^2y - y^3) - (x^3 - 2xy^2 + y^3) + (2x^3 - 3x^2y - 2xy^2)$
$=-x^3 + 3x^2y - y^3 - x^3 + 2xy^2 - y^3 + 2x^3 - 3x^2y - 2xy^2$
再合并同类项：
$(-x^3 - x^3 + 2x^3) + (3x^2y - 3x^2y) + (2xy^2 - 2xy^2) + (-y^3 - y^3)$
$=0 + 0 + 0 - 2y^3$
$=-2y^3$
可见化简后的式子中不含字母x，说明原多项式的取值与x无关。
【答案】
化简后原式为$-2y^3$，不含字母$x$，即原多项式的值与$x$的取值无关，因此小东虽然错抄了$x$的值，只要$y$取值正确，求得的结果就是正确的。
【知识点】
去括号法则；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式化简的典型题型，核心是通过化简判断代数式与某个变量的相关性，运算时要重点注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项的规则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
当抄错x的取值但计算结果仍正确时，说明原式化简后的结果不含x，即原式的值与x的取值无关。解题时先按照去括号法则去掉原式的括号，再合并同类项，观察化简后的结果是否含有x即可判断原因。
【解析】
先对原式去括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号：
$(-x^3 + 3x^2y - y^3) - (x^3 - 2xy^2 + y^3) + (2x^3 - 3x^2y - 2xy^2)$
$=-x^3 + 3x^2y - y^3 - x^3 + 2xy^2 - y^3 + 2x^3 - 3x^2y - 2xy^2$
再合并同类项：
$(-x^3 - x^3 + 2x^3) + (3x^2y - 3x^2y) + (2xy^2 - 2xy^2) + (-y^3 - y^3)$
$=0 + 0 + 0 - 2y^3$
$=-2y^3$
可见化简后的式子中不含字母x，说明原多项式的取值与x无关。
【答案】
化简后原式为$-2y^3$，不含字母$x$，即原多项式的值与$x$的取值无关，因此小东虽然错抄了$x$的值，只要$y$取值正确，求得的结果就是正确的。
【知识点】
去括号法则；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式化简的典型题型，核心是通过化简判断代数式与某个变量的相关性，运算时要重点注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项的规则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
