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一、选择题
1.下列对三角形的角平分线、中线和高的认识中,正确的是(
A.它们都是线段
B.角平分线是射线,其余是线段
C.高是直线,其余是线段
D.高是直线,角平分线是射线,中线是线段
1.下列对三角形的角平分线、中线和高的认识中,正确的是(
A
).A.它们都是线段
B.角平分线是射线,其余是线段
C.高是直线,其余是线段
D.高是直线,角平分线是射线,中线是线段
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要分别回忆三角形角平分线、中线、高的定义，明确三者的构成特点，再判断它们分别属于线段、射线还是直线，最终匹配正确选项。要注意区分三角形中的相关线和普通的角平分线、垂线的差异，避免概念混淆。
【解析】
我们分别明确三类线的定义：
1. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点与交点之间的线段，属于线段；
2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，属于线段；
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，属于线段。
由此可知，三角形的角平分线、中线、高都是线段，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形内的特殊线段和普通的射线、直线类的几何线，只要准确记忆三类线的定义就能快速解题，是三角形章节的必备基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先要分别回忆三角形角平分线、中线、高的定义，明确三者的构成特点，再判断它们分别属于线段、射线还是直线，最终匹配正确选项。要注意区分三角形中的相关线和普通的角平分线、垂线的差异，避免概念混淆。
【解析】
我们分别明确三类线的定义：
1. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点与交点之间的线段，属于线段；
2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，属于线段；
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，属于线段。
由此可知，三角形的角平分线、中线、高都是线段，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形内的特殊线段和普通的射线、直线类的几何线，只要准确记忆三类线的定义就能快速解题，是三角形章节的必备基础考点。
【难度系数】
0.9
2.下列各组数据分别是三根小木棒的长度:①3 cm,4 cm,5 cm;②8 cm,7 cm,15 cm;③13 cm,12 cm,20 cm;④5 cm,5 cm,11 cm.在不折断的情况下,用它们能摆成三角形的有(
A.一组
B.两组
C.三组
D.四组
B
).A.一组
B.两组
C.三组
D.四组
答案
2.B
解析
【分析】
要判断各组小木棒能否摆成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，只需验证每组中较短两根小木棒的长度之和是否大于最长的那根的长度即可，因为如果较短两边之和都大于最长边，其余任意两边之和必然大于第三边，接下来对四组数据逐一验证即可得出结果。
【解析】
判断能否构成三角形的依据是：三角形任意两边之和大于第三边，简便验证方法为：较短两边之和＞最长边。
①3cm、4cm、5cm：较短两边为3cm和4cm，3+4=7＞5，满足三边关系，可以摆成三角形；
②8cm、7cm、15cm：较短两边为7cm和8cm，7+8=15，等于最长边，此时三边共线，不能摆成三角形；
③13cm、12cm、20cm：较短两边为12cm和13cm，12+13=25＞20，满足三边关系，可以摆成三角形；
④5cm、5cm、11cm：较短两边为5cm和5cm，5+5=10＜11，不满足三边关系，不能摆成三角形。
综上，能摆成三角形的有①和③，共两组。
【答案】B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，采用较短两边之和与最长边比较的方法可快速得出结论，解题时需特别注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免出错。
【难度系数】
0.8
要判断各组小木棒能否摆成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，只需验证每组中较短两根小木棒的长度之和是否大于最长的那根的长度即可，因为如果较短两边之和都大于最长边，其余任意两边之和必然大于第三边，接下来对四组数据逐一验证即可得出结果。
【解析】
判断能否构成三角形的依据是：三角形任意两边之和大于第三边，简便验证方法为：较短两边之和＞最长边。
①3cm、4cm、5cm：较短两边为3cm和4cm，3+4=7＞5，满足三边关系，可以摆成三角形；
②8cm、7cm、15cm：较短两边为7cm和8cm，7+8=15，等于最长边，此时三边共线，不能摆成三角形；
③13cm、12cm、20cm：较短两边为12cm和13cm，12+13=25＞20，满足三边关系，可以摆成三角形；
④5cm、5cm、11cm：较短两边为5cm和5cm，5+5=10＜11，不满足三边关系，不能摆成三角形。
综上，能摆成三角形的有①和③，共两组。
【答案】B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，采用较短两边之和与最长边比较的方法可快速得出结论，解题时需特别注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免出错。
【难度系数】
0.8
3.一个三角形的三边长为2,9,x,则x的取值范围是(
A.$x＞11$
B.$7＜x＜11$
C.$x＞7$
D.$x＜11$
B
).A.$x＞11$
B.$7＜x＜11$
C.$x＞7$
D.$x＜11$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的基本性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长分别为2和9，要求第三边x的取值范围，只需结合三边性质列出关于x的不等式，计算不等式即可得到结果，注意要同时满足“大于两边之差”和“小于两边之和”两个条件，不能漏写。
【解析】
解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形两边长为2和9，因此第三边x需满足：
$9 - 2 ＜ x ＜ 9 + 2$
计算得：$7 ＜ x ＜ 11$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解与应用，掌握“第三边的取值范围大于已知两边的差、小于已知两边的和”这一规律即可快速求解，做题时注意不要漏记其中任意一个限制条件。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的基本性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边长分别为2和9，要求第三边x的取值范围，只需结合三边性质列出关于x的不等式，计算不等式即可得到结果，注意要同时满足“大于两边之差”和“小于两边之和”两个条件，不能漏写。
【解析】
解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形两边长为2和9，因此第三边x需满足：
$9 - 2 ＜ x ＜ 9 + 2$
计算得：$7 ＜ x ＜ 11$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解与应用，掌握“第三边的取值范围大于已知两边的差、小于已知两边的和”这一规律即可快速求解，做题时注意不要漏记其中任意一个限制条件。
【难度系数】
0.9
4.在$△ ABC$中，$∠ A=2∠ B=72°$,则$∠ C$等于（
A.$30°$
B.$36°$
C.$72°$
D.$108°$
C
）.A.$30°$
B.$36°$
C.$72°$
D.$108°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路：本题考查三角形内角和的应用，首先根据已知条件∠A=2∠B=72°，先求出∠B的度数，再根据三角形内角和为180°，用180°减去∠A和∠B的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：已知∠A=2∠B=72°，
所以∠B = 72°÷2 = 36°，
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，
因此∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 72° - 36° = 72°，
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的直接应用，解题关键是先根据已知的倍角关系求出∠B的度数，再代入内角和公式计算，只要计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
解题思路：本题考查三角形内角和的应用，首先根据已知条件∠A=2∠B=72°，先求出∠B的度数，再根据三角形内角和为180°，用180°减去∠A和∠B的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：已知∠A=2∠B=72°，
所以∠B = 72°÷2 = 36°，
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，
因此∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 72° - 36° = 72°，
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的直接应用，解题关键是先根据已知的倍角关系求出∠B的度数，再代入内角和公式计算，只要计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
5.三角形一边上的中线一定把原三角形分成两个(
A.形状相同的三角形
B.周长相等的三角形
C.直角三角形
D.面积相等的三角形
D
).A.形状相同的三角形
B.周长相等的三角形
C.直角三角形
D.面积相等的三角形
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，可将对边分成相等的两段。接下来结合各选项逐一分析：判断形状是否相同，需看三角形是否全等，只有特殊三角形才满足；判断周长是否相等，需对比两个小三角形的周长组成，只有原三角形另外两条边相等时才成立；直角三角形只有特殊情况才会出现；判断面积是否相等，可结合三角形面积公式，两个小三角形等底同高，面积必然相等，由此可得出正确选项。
【解析】
1. 明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，因此中线会把对边分成两条长度相等的线段。
2. 分析被中线分成的两个小三角形的底和高：两个小三角形的底是中线平分对边得到的等长线段，高都是原三角形该边上的公共高，即两个小三角形满足“等底同高”。
3. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，等底同高的三角形面积相等，因此两个小三角形面积相等。
4. 逐一排除错误选项：
A选项：只有原三角形为等腰三角形且中线为底边上的中线时，两个小三角形形状才相同，普通三角形不满足，错误；
B选项：两个小三角形的周长差等于原三角形另外两条邻边的差，只有邻边相等时周长才相等，普通情况不成立，错误；
C选项：仅特殊三角形的中线能分出直角三角形，普通三角形不满足，错误；
D选项：符合上述推导，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 三角形面积计算
3. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题围绕三角形中线的性质设计，解题时要结合面积公式分析共性结论，注意区分仅特殊三角形才满足的特殊性质，不要混淆通用结论和特殊情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，可将对边分成相等的两段。接下来结合各选项逐一分析：判断形状是否相同，需看三角形是否全等，只有特殊三角形才满足；判断周长是否相等，需对比两个小三角形的周长组成，只有原三角形另外两条边相等时才成立；直角三角形只有特殊情况才会出现；判断面积是否相等，可结合三角形面积公式，两个小三角形等底同高，面积必然相等，由此可得出正确选项。
【解析】
1. 明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，因此中线会把对边分成两条长度相等的线段。
2. 分析被中线分成的两个小三角形的底和高：两个小三角形的底是中线平分对边得到的等长线段，高都是原三角形该边上的公共高，即两个小三角形满足“等底同高”。
3. 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，等底同高的三角形面积相等，因此两个小三角形面积相等。
4. 逐一排除错误选项：
A选项：只有原三角形为等腰三角形且中线为底边上的中线时，两个小三角形形状才相同，普通三角形不满足，错误；
B选项：两个小三角形的周长差等于原三角形另外两条邻边的差，只有邻边相等时周长才相等，普通情况不成立，错误；
C选项：仅特殊三角形的中线能分出直角三角形，普通三角形不满足，错误；
D选项：符合上述推导，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 三角形面积计算
3. 等底同高三角形面积相等
【点评】
本题围绕三角形中线的性质设计，解题时要结合面积公式分析共性结论，注意区分仅特殊三角形才满足的特殊性质，不要混淆通用结论和特殊情况。
【难度系数】
0.8
6.已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为(
A.50°
B.60°
C.90°
D.50°或90°
D
).A.50°
B.60°
C.90°
D.50°或90°
答案
6.D
解析
【分析】
本题需要结合三角形高的位置的多样性分析，三角形的高可能在三角形内部，也可能在钝角三角形的外部，因此要分两种情况计算∠BAC的度数，避免漏解。首先明确两种场景：①高AD在△ABC内部，此时∠BAC为∠BAD和∠CAD的和；②高AD在△ABC外部，此时∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，分别计算结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$；
2. 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$；
综上，$∠ BAC$的度数为$50°$或$90°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高；分类讨论；角度计算
【点评】
本题易错点是忽略钝角三角形的高在外部的情况，仅计算高在内部的$90°$而漏解$50°$，解题时要结合三角形高的位置的多样性全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合三角形高的位置的多样性分析，三角形的高可能在三角形内部，也可能在钝角三角形的外部，因此要分两种情况计算∠BAC的度数，避免漏解。首先明确两种场景：①高AD在△ABC内部，此时∠BAC为∠BAD和∠CAD的和；②高AD在△ABC外部，此时∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，分别计算结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 70° + 20° = 90°$；
2. 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 70° - 20° = 50°$；
综上，$∠ BAC$的度数为$50°$或$90°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高；分类讨论；角度计算
【点评】
本题易错点是忽略钝角三角形的高在外部的情况，仅计算高在内部的$90°$而漏解$50°$，解题时要结合三角形高的位置的多样性全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7.如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转20°,使点B落在点B₁位置,点A落在点A₁位置,若AC⊥A₁B₁,则∠BAC的度数为(
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
第7题图 第8题图
C
).A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
第7题图 第8题图
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应角相等，旋转角相等。本题中旋转角是20°，可得∠ACA₁=20°，且∠BAC与旋转后的对应角∠B₁A₁C相等。再结合AC⊥A₁B₁的垂直条件，可在直角三角形中先求出∠B₁A₁C的度数，进而得到∠BAC的度数。
【解析】
∵△ABC绕点C顺时针旋转20°得到△A₁B₁C
∴旋转角∠ACA₁=20°，且对应角∠BAC=∠B₁A₁C
又
∵AC⊥A₁B₁，设AC与A₁B₁的交点为O，则∠A₁OC=90°
在Rt△A₁OC中，∠B₁A₁C + ∠ACA₁ = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠B₁A₁C = 90° - 20° = 70°
∴∠BAC = ∠B₁A₁C = 70°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握旋转的相关性质，找到旋转过程中相等的角，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，是几何角度计算类的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应角相等，旋转角相等。本题中旋转角是20°，可得∠ACA₁=20°，且∠BAC与旋转后的对应角∠B₁A₁C相等。再结合AC⊥A₁B₁的垂直条件，可在直角三角形中先求出∠B₁A₁C的度数，进而得到∠BAC的度数。
【解析】
∵△ABC绕点C顺时针旋转20°得到△A₁B₁C
∴旋转角∠ACA₁=20°，且对应角∠BAC=∠B₁A₁C
又
∵AC⊥A₁B₁，设AC与A₁B₁的交点为O，则∠A₁OC=90°
在Rt△A₁OC中，∠B₁A₁C + ∠ACA₁ = 90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠B₁A₁C = 90° - 20° = 70°
∴∠BAC = ∠B₁A₁C = 70°
故选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是熟练掌握旋转的相关性质，找到旋转过程中相等的角，结合直角三角形的角度关系即可快速求解，是几何角度计算类的常见考法。
【难度系数】
0.7
8.如图，在$△ ABC$中，$AB=3$，$BC=6$，$△ ABC$的两条高$AD$和$CE$的比值是（
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{1}{3}$
B
）.A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
8.B
解析
【分析】
要计算△ABC两条高AD和CE的比值，可利用三角形面积的不变性求解：同一个三角形的面积可以用不同的底和其对应的高来表示，两种表示方法得到的面积相等，据此建立等式，代入已知的边长，整理即可求出两条高的比值。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
以BC为底时，高为AD，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$；
以AB为底时，高为CE，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$。
两个式子表示同一个三角形的面积，因此二者相等：
$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AB × CE$
两边同时乘2消去$\frac{1}{2}$，得：$BC × AD = AB × CE$
将$AB=3$，$BC=6$代入上式：
$6 × AD = 3 × CE$
根据比例的基本性质变形得$\frac{AD}{CE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即AD和CE的比值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积公式；比例的基本性质
【点评】
本题考查利用三角形面积的不变性求线段的比值，解题的关键是准确找到每个底对应的高，通过面积相等建立两条高的数量关系，是对三角形面积公式的灵活应用。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC两条高AD和CE的比值，可利用三角形面积的不变性求解：同一个三角形的面积可以用不同的底和其对应的高来表示，两种表示方法得到的面积相等，据此建立等式，代入已知的边长，整理即可求出两条高的比值。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
以BC为底时，高为AD，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$；
以AB为底时，高为CE，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CE$。
两个式子表示同一个三角形的面积，因此二者相等：
$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AB × CE$
两边同时乘2消去$\frac{1}{2}$，得：$BC × AD = AB × CE$
将$AB=3$，$BC=6$代入上式：
$6 × AD = 3 × CE$
根据比例的基本性质变形得$\frac{AD}{CE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即AD和CE的比值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积公式；比例的基本性质
【点评】
本题考查利用三角形面积的不变性求线段的比值，解题的关键是准确找到每个底对应的高，通过面积相等建立两条高的数量关系，是对三角形面积公式的灵活应用。
【难度系数】
0.8
9.某日上午9时,一艘船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行,11时到达B处,若在A处测得灯塔C在北偏西$42°$,且$∠ ACB=\frac{3}{2}∠ BAC$,则在B处测得灯塔C应为(
A.北偏西$68°$
B.南偏西$75°$
C.北偏西$75°$
D.南偏西$68°$
B
).A.北偏西$68°$
B.南偏西$75°$
C.北偏西$75°$
D.南偏西$68°$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先明确已知角度关系：首先根据A处的方位角得出∠BAC的度数，再结合题目给出的∠ACB与∠BAC的数量关系求出∠ACB的大小，最后利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，结合正北航行的方位特征，就能推出B处测得灯塔C的方位角。
【解析】
1. 确定∠BAC的度数：在A处测得灯塔C在北偏西$42°$，船向正北航行，因此$∠ BAC=42°$。
2. 计算∠ACB的度数：由题意$∠ ACB=\frac{3}{2}∠ BAC$，代入得$∠ ACB=\frac{3}{2}×42°=63°$。
3. 计算∠ABC的度数：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-42°-63°=75°$。
4. 判断方位：船从A向正北航行到B，因此BA方向为B处的正南方向，$∠ ABC$是正南方向与BC的夹角，且C在航线西侧，因此在B处测得灯塔C为南偏西$75°$。
【答案】
B
【知识点】
方位角识别，三角形内角和定理，角度计算
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何基础应用，解题核心是准确将方位角转化为三角形内角，理清角度数量关系即可顺利求解，易错点是方位方向的判断。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知角度关系：首先根据A处的方位角得出∠BAC的度数，再结合题目给出的∠ACB与∠BAC的数量关系求出∠ACB的大小，最后利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，结合正北航行的方位特征，就能推出B处测得灯塔C的方位角。
【解析】
1. 确定∠BAC的度数：在A处测得灯塔C在北偏西$42°$，船向正北航行，因此$∠ BAC=42°$。
2. 计算∠ACB的度数：由题意$∠ ACB=\frac{3}{2}∠ BAC$，代入得$∠ ACB=\frac{3}{2}×42°=63°$。
3. 计算∠ABC的度数：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-42°-63°=75°$。
4. 判断方位：船从A向正北航行到B，因此BA方向为B处的正南方向，$∠ ABC$是正南方向与BC的夹角，且C在航线西侧，因此在B处测得灯塔C为南偏西$75°$。
【答案】
B
【知识点】
方位角识别，三角形内角和定理，角度计算
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何基础应用，解题核心是准确将方位角转化为三角形内角，理清角度数量关系即可顺利求解，易错点是方位方向的判断。
【难度系数】
0.7
