8.如图，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，∠A=70°，∠BDC=150°.求∠P的度数.

8.
∵BP 平分∠ABD,
∴设∠ABP=∠DBP=x.
又
∵CP 平分∠ACD,
∴设∠ACP=∠DCP=y，
则∠P=∠ABP+∠ACP+∠A=x+y+70°，
∠BDC=x+y+∠P=150°.
∴2x+2y+70°=150°.
∴x+y=40°.
∴∠P=40°+70°=110°.

【分析】
解题时首先结合角平分线的性质，将被角平分线平分的两组相等的角分别设为未知数x和y，简化角度的表示；接着观察图形，可得到两个角度等量关系：∠P可以表示为∠A加上两个小角x、y的和，∠BDC可以表示为∠P加上两个小角x、y的和；最后将已知的∠A和∠BDC的度数代入两个关系式，联立消去x+y即可求出∠P的度数。
【解析】
∵BP平分∠ABD，
∴设∠ABP=∠DBP=x。
∵CP平分∠ACD，
∴设∠ACP=∠DCP=y。
根据凹四边形（飞镖模型）的角度关系可得：
∠P=∠ABP+∠ACP+∠A=x+y+70° ①，
∠BDC=∠DBP+∠DCP+∠P=x+y+∠P=150° ②，
将①代入②可得：x+y + (x+y+70°)=150°，
整理得2(x+y)=80°，即x+y=40°，
将x+y=40°代入①，得∠P=40°+70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
角平分线的定义、角度和差计算、飞镖模型导角
【点评】
本题是角平分线与几何导角结合的典型题目，解题核心是通过设元表示相等的角，结合图形中的角度等量关系建立式子求解，熟练掌握常见的导角模型可以快速梳理角度关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

9.如图，∠BAC的平分线与∠BDC的平分线交于点P，∠C＞∠B.求证∠P=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B).

9.
∵AP 平分∠BAC,DP 平分∠BDC，
∴设∠PAB=∠PAC=x,∠PDB=∠PDC=y，
延长 PD 交 AB 于点 N,则有
y=∠B+∠BND=x+∠B+∠P,①
y+∠P=x+∠C,②
由②−①,得 2∠P=∠C−∠B，
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B).

【分析】
解题时首先观察已知条件：存在两条角平分线，因此可以先设参数表示两组相等的角，减少未知量的个数；接下来要建立∠P、∠B、∠C之间的联系，我们可以利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，通过延长PD构造外角，得到两个包含参数、∠P、∠B、∠C的等式，最后将两个等式相减消去参数，就能推导出要证明的结论。
【解析】
证明：
∵AP平分∠BAC，DP平分∠BDC，
∴设∠PAB=∠PAC=x，∠PDB=∠PDC=y。
延长PD交AB于点N，
根据三角形外角的性质可得：
∠PDC=∠B+∠BND，且∠BND=∠P+∠PAB=∠P+x，
因此有$y = ∠ B + x + ∠ P$ ①；
同理可得$∠ PDC + ∠ P = ∠ PAC + ∠ C$，即$y + ∠ P = x + ∠ C$ ②；
用②式减去①式，得：
$(y + ∠ P) - y = (x + ∠ C) - (∠ B + x + ∠ P)$
整理得$2∠ P = ∠ C - ∠ B$，
∴$∠ P=\frac{1}{2}(∠ C−∠ B)$。
【答案】
$∠ P=\frac{1}{2}(∠ C−∠ B)$，得证。
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，等式的性质
【点评】
本题属于典型的导角类基础题，解题核心是通过设参数表示等角简化计算，结合三角形外角性质建立角的等量关系，再通过消元得到所求角的数量关系，该方法在角的关系推导类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6

10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB＞∠ ABC$，$O$是$△ ABC$的三条内角平分线的交点，$AO$的延长线交$BC$于点$D$，在$AD$的延长线上有一点$E$，过点$E$作$EF⊥ BC$，垂足为$F$.
(1)已知$∠ BAC=100°$.
①直接写出$∠ BOC$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.
②若$∠ DEF=10°$，求$∠ BOE$的度数.
(2)设$∠ ABC=α$，$∠ ACB=β$($α,β$均为锐角)，求$∠ E$的度数(用含$α,β$的式子表示).

10.(1)①140
②依题意,在Rt△FDE 中,由三角形内角和定理可得,
∠FDE=∠ADC=90°−∠DEF=80°.
又∠BAC=100°,则∠BAD=50°,
∴∠ABC=30°,∠ABO=∠CBO=15°.
∴∠BOE=∠BAD+∠ABO=65°.
(2)依题意,$∠ABO=∠CBO=\frac{1}{2}α,∠BCO=∠ACO=\frac{1}{2}β$,
在△ABC 中,由三角形内角和定理可得,
∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−α−β,
∴∠BAD=90°−$\frac{1}{2}α−\frac{1}{2}β$.
由三角形外角定理可得,$∠BDE=∠BAD+∠ABC=90°−\frac{1}{2}α−\frac{1}{2}β+α=90°+\frac{1}{2}α−\frac{1}{2}β$.
在Rt△DEF 中,由三角形内角和定理可得,
∠E=90°−∠BDE=$\frac{1}{2}β−\frac{1}{2}α$.

【分析】
(1)①求∠BOC：O是△ABC内角平分线交点，可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC、∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，先根据△ABC内角和算出∠ABC+∠ACB的度数，再求∠OBC+∠OCB的度数，最后用△BOC内角和180°即可求出∠BOC。
(1)②求∠BOE：先在Rt△DEF中，利用直角三角形两锐角互余求出∠EDF即∠ADC的度数；再由AO是角平分线得∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，结合∠ADC是△ABD的外角求出∠ABC的度数，进而得到∠ABO的度数；最后∠BOE是△ABO的外角，等于∠BAD+∠ABO即可求解。
(2)求∠E：先根据角平分线性质表示出各角的一半，再用三角形内角和求出∠BAC，进而得到∠BAD；利用外角性质表示出∠BDE，最后在Rt△DEF中用直角三角形两锐角互余，90°减去∠BDE化简即可得到∠E的表达式。
【解析】
(1)①
∵O是△ABC三条内角平分线的交点
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∵∠BAC=100°，△ABC内角和为180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=40°
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-40°=140°
②
∵EF⊥BC，
∴∠EFD=90°
在Rt△DEF中，∠DEF+∠EDF=90°
已知∠DEF=10°，
∴∠EDF=∠ADC=90°-10°=80°
∵AO平分∠BAC，∠BAC=100°
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABC
∴∠ABC=∠ADC-∠BAD=80°-50°=30°
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=15°
∵∠BOE是△ABO的外角，
∴∠BOE=∠BAD+∠ABO=50°+15°=65°
(2)
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ABC=α，∠ACB=β
∴∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$α，∠BCO=∠ACO=$\frac{1}{2}$β
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-α-β)=90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β
∵∠BDE是△ABD的外角，
∴∠BDE=∠BAD+∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β +α=90°+$\frac{1}{2}$α -$\frac{1}{2}$β
∵EF⊥BC，
∴∠EFD=90°，在Rt△DEF中，∠E+∠BDE=90°
∴∠E=90°-∠BDE=90°-(90°+$\frac{1}{2}$α -$\frac{1}{2}$β)=$\frac{1}{2}$β -$\frac{1}{2}$α
【答案】
(1)①$\boxed{140}$；②$\boxed{65°}$；(2)$\boxed{∠E=\frac{1}{2}β-\frac{1}{2}α}$（或$\frac{1}{2}(β-α)$）
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的三角形角度计算题型，综合运用角平分线性质、三角形内角和、外角性质以及直角三角形两锐角互余的性质导角，解题时结合图形找准角之间的数量关系，逐步推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7