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1.下列从左边到右边的变形为因式分解的是(
A.$(3-x)(3+x)=9-x^2$
B.$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$
C.$(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)$
D.$2yz^2-2y^2z+z=2yz(z-y)+z$
B
).A.$(3-x)(3+x)=9-x^2$
B.$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$
C.$(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)$
D.$2yz^2-2y^2z+z=2yz(z-y)+z$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断变形是否为因式分解，首先需牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，满足两个判断要点：①变形的对象是多项式；②最终结果为多个整式的乘积，不含加减项。解题时我们用这两个要点逐一排查选项即可：首先排除属于整式乘法的选项，再排除结果不是纯乘积形式的选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A. 左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
B. 左边$m^3-n^3$是多项式，右边$(m-n)(m^2+mn+n^2)$是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
C. 左右两边均为整式乘积的形式，仅做了符号的恒等变形，没有将多项式分解为多个整式乘积的过程，不属于因式分解，故C错误；
D. 右边是$2yz(z-y)$与$z$的和，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的判断标准，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将恒等变形、未化成完全乘积形式的变形错认成因式分解。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否为因式分解，首先需牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，满足两个判断要点：①变形的对象是多项式；②最终结果为多个整式的乘积，不含加减项。解题时我们用这两个要点逐一排查选项即可：首先排除属于整式乘法的选项，再排除结果不是纯乘积形式的选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A. 左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
B. 左边$m^3-n^3$是多项式，右边$(m-n)(m^2+mn+n^2)$是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
C. 左右两边均为整式乘积的形式，仅做了符号的恒等变形，没有将多项式分解为多个整式乘积的过程，不属于因式分解，故C错误；
D. 右边是$2yz(z-y)$与$z$的和，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的判断标准，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将恒等变形、未化成完全乘积形式的变形错认成因式分解。
【难度系数】
0.8
2.多项式$18xy + 12x^2y - 6xyz$各项的公因式是(
A.$12yz$
B.$6xz$
C.$6xy$
D.$3yz$
C
).A.$12yz$
B.$6xz$
C.$6xy$
D.$3yz$
答案
2.C
解析
【分析】
要找多项式各项的公因式，需遵循两个核心规则：①先找各项系数绝对值的最大公约数；②再找所有项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，最后把得到的系数和字母相乘就是公因式。解题时可以先通过系数特征排除部分错误选项，再通过字母特征验证剩余选项，就能快速得出结果。
【解析】
解：该多项式的三项分别为$18xy$、$12x^2y$、$-6xyz$。
1. 确定公因式的系数：18、12、6的最大公约数是6，因此公因式的系数为6，可直接排除系数为12的A选项、系数为3的D选项；
2. 确定公因式含有的字母：观察三个项，只有第三项含有字母$z$，前两项均不含$z$，因此公因式不含$z$，排除含$z$的B选项；
3. 验证C选项：$18xy÷6xy=3$，$12x^2y÷6xy=2x$，$-6xyz÷6xy=-z$，三个项都能被$6xy$整除，符合公因式的定义。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式识别的基础题型，解题关键是熟练掌握确定公因式的两个步骤，注意公因式必须是每一项都含有的因式，仅在部分项中出现的字母不能列入公因式。
【难度系数】
0.9
要找多项式各项的公因式，需遵循两个核心规则：①先找各项系数绝对值的最大公约数；②再找所有项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，最后把得到的系数和字母相乘就是公因式。解题时可以先通过系数特征排除部分错误选项，再通过字母特征验证剩余选项，就能快速得出结果。
【解析】
解：该多项式的三项分别为$18xy$、$12x^2y$、$-6xyz$。
1. 确定公因式的系数：18、12、6的最大公约数是6，因此公因式的系数为6，可直接排除系数为12的A选项、系数为3的D选项；
2. 确定公因式含有的字母：观察三个项，只有第三项含有字母$z$，前两项均不含$z$，因此公因式不含$z$，排除含$z$的B选项；
3. 验证C选项：$18xy÷6xy=3$，$12x^2y÷6xy=2x$，$-6xyz÷6xy=-z$，三个项都能被$6xy$整除，符合公因式的定义。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式识别的基础题型，解题关键是熟练掌握确定公因式的两个步骤，注意公因式必须是每一项都含有的因式，仅在部分项中出现的字母不能列入公因式。
【难度系数】
0.9
3. $8m^2n - 2mn$ 分解因式的结果为(
A.$2mn(4m+1)$
B.$2m(4m-1)$
C.$mn(8m-2)$
D.$2mn(4m-1)$
D
).A.$2mn(4m+1)$
B.$2m(4m-1)$
C.$mn(8m-2)$
D.$2mn(4m-1)$
答案
3.D
解析
【分析】
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定规则是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，几部分相乘就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，把得到的结果作为另一个因式，和公因式写成乘积形式即可，最后对应选项判断，注意公因式要提尽，同时不要写错项的符号。
【解析】
解：对多项式$8m^2n - 2mn$分解因式：
1. 确定公因式：
系数部分：8和2的最大公约数是2；
字母部分：两项都含有字母m、n，m的最低次幂是1次，n的最低次幂是1次；
因此公因式为$2mn$。
2. 提取公因式：
$8m^2n - 2mn = 2mn · 4m - 2mn · 1 = 2mn(4m - 1)$
对照选项，结果与D选项一致。
【答案】D
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的提取规则，解题时注意公因式要提取彻底，提取后剩余的项不要漏写常数项、不要搞错符号，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式的确定规则是：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，几部分相乘就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项分别除以公因式，把得到的结果作为另一个因式，和公因式写成乘积形式即可，最后对应选项判断，注意公因式要提尽，同时不要写错项的符号。
【解析】
解：对多项式$8m^2n - 2mn$分解因式：
1. 确定公因式：
系数部分：8和2的最大公约数是2；
字母部分：两项都含有字母m、n，m的最低次幂是1次，n的最低次幂是1次；
因此公因式为$2mn$。
2. 提取公因式：
$8m^2n - 2mn = 2mn · 4m - 2mn · 1 = 2mn(4m - 1)$
对照选项，结果与D选项一致。
【答案】D
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的提取规则，解题时注意公因式要提取彻底，提取后剩余的项不要漏写常数项、不要搞错符号，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4.若$m-n=-1$，则$(m-n)^2 -2m +2n$的值是(
A.3
B.2
C.1
D.−1
A
).A.3
B.2
C.1
D.−1
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，已知条件给出了$m-n=-1$，因此可以对待求式的后两项提公因式$-2$，将待求式转化为只含$m-n$的形式，再用整体代入法代入计算即可，不需要单独求解m、n的值，能简化计算过程。
【解析】
首先对原式变形，对后两项提取公因式：
$\begin{aligned}(m-n)^2 -2m +2n&=(m-n)^2 -2(m -n)\end{aligned}$
将$m-n=-1$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-1)^2 -2×(-1)\\&=1 + 2\\&=3\end{aligned}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题关键是通过提公因式将待求式转化为含已知条件的结构，运用整体代入思想简化运算，是代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求代数式的结构，已知条件给出了$m-n=-1$，因此可以对待求式的后两项提公因式$-2$，将待求式转化为只含$m-n$的形式，再用整体代入法代入计算即可，不需要单独求解m、n的值，能简化计算过程。
【解析】
首先对原式变形，对后两项提取公因式：
$\begin{aligned}(m-n)^2 -2m +2n&=(m-n)^2 -2(m -n)\end{aligned}$
将$m-n=-1$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-1)^2 -2×(-1)\\&=1 + 2\\&=3\end{aligned}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题关键是通过提公因式将待求式转化为含已知条件的结构，运用整体代入思想简化运算，是代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.8
5.邻边长分别为$a$，$b$的长方形的周长为14，面积为10，则$a^2b + ab^2$的值为（
A.140
B.70
C.35
D.24
B
）.A.140
B.70
C.35
D.24
答案
5.B
解析
【分析】
首先结合长方形的周长和面积公式，求出$a+b$与$ab$的值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，可用提公因式法分解因式，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵邻边长为$a$、$b$的长方形周长为14，面积为10
∴根据长方形周长公式可得：$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$
根据长方形面积公式可得：$ab=10$
对所求代数式提公因式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$ab=10$、$a+b=7$代入上式得：
原式$=10×7=70$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式求值、长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题核心是将所求代数式因式分解后，利用整体代入的思想计算，避免单独求解$a$、$b$的取值，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.8
首先结合长方形的周长和面积公式，求出$a+b$与$ab$的值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，可用提公因式法分解因式，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入数值计算即可，无需单独求$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵邻边长为$a$、$b$的长方形周长为14，面积为10
∴根据长方形周长公式可得：$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$
根据长方形面积公式可得：$ab=10$
对所求代数式提公因式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$ab=10$、$a+b=7$代入上式得：
原式$=10×7=70$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式求值、长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题核心是将所求代数式因式分解后，利用整体代入的思想计算，避免单独求解$a$、$b$的取值，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.8
6.分解因式:2x+6xy=
$2x(1+3y)$
.答案
6.$2x(1+3y)$
解析
【分析】
本题属于因式分解的基础题型，观察多项式可知两项含有公因式，因此选用提公因式法求解，思考步骤如下：第一步确定公因式：先找系数的最大公约数，2和6的最大公约数是2；再找两项共有的字母，两项都含x，且x的最低次数为1，因此公因式为2x；第二步提取公因式，将多项式每一项除以公因式，所得的结果作为括号内的因式即可，注意原第一项提取公因式后剩余1，不可漏写。
【解析】
解：首先确定多项式$2x+6xy$各项的公因式为$2x$，
提取公因式$2x$可得：
$2x+6xy=2x×1 + 2x×3y=2x(1+3y)$
【答案】
$2x(1+3y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题时要注意准确找全公因式，提取公因式后不要漏写剩余的常数项1。
【难度系数】
0.9
本题属于因式分解的基础题型，观察多项式可知两项含有公因式，因此选用提公因式法求解，思考步骤如下：第一步确定公因式：先找系数的最大公约数，2和6的最大公约数是2；再找两项共有的字母，两项都含x，且x的最低次数为1，因此公因式为2x；第二步提取公因式，将多项式每一项除以公因式，所得的结果作为括号内的因式即可，注意原第一项提取公因式后剩余1，不可漏写。
【解析】
解：首先确定多项式$2x+6xy$各项的公因式为$2x$，
提取公因式$2x$可得：
$2x+6xy=2x×1 + 2x×3y=2x(1+3y)$
【答案】
$2x(1+3y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题时要注意准确找全公因式，提取公因式后不要漏写剩余的常数项1。
【难度系数】
0.9
7.计算$-5× 3^{4}+7× 3^{3}+(5× 3)^{2}=$
$9$
.答案
7.9
解析
【分析】
这是一道包含乘方、乘法和加减的混合运算题，可结合提公因式法简化计算，避免大数运算出错。解题思路如下：第一步先将各项的幂变形，统一为含有公因式$3^2$的形式；第二步提取公因式后先计算括号内的加减运算，最后计算乘法即可得到结果；也可按照有理数混合运算的常规顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减求解。
【解析】
方法一（提公因式法）：
先对各项变形：
$3^4 = 3^2 × 9$，$3^3 = 3^2 × 3$，$(5×3)^2 = 5^2 × 3^2 =25×3^2$
提取公因式$3^2$得：
$\begin{aligned}原式&=3^2×(-5×9 +7×3 +25)\\&=9×(-45 +21 +25)\\&=9×1\\&=9\end{aligned}$
方法二（常规运算顺序）：
先算乘方：
$3^4=81$，$3^3=27$，$(5×3)^2=15^2=225$
再算乘法：
$-5×81=-405$，$7×27=189$
最后算加减：
$-405+189+225=9$
【答案】
9
【知识点】
有理数混合运算，提公因式法，幂的运算
【点评】
本题既可以按照常规运算顺序求解，也可通过观察各项的特点，提取公因式简化计算，做题时注意各项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是一道包含乘方、乘法和加减的混合运算题，可结合提公因式法简化计算，避免大数运算出错。解题思路如下：第一步先将各项的幂变形，统一为含有公因式$3^2$的形式；第二步提取公因式后先计算括号内的加减运算，最后计算乘法即可得到结果；也可按照有理数混合运算的常规顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减求解。
【解析】
方法一（提公因式法）：
先对各项变形：
$3^4 = 3^2 × 9$，$3^3 = 3^2 × 3$，$(5×3)^2 = 5^2 × 3^2 =25×3^2$
提取公因式$3^2$得：
$\begin{aligned}原式&=3^2×(-5×9 +7×3 +25)\\&=9×(-45 +21 +25)\\&=9×1\\&=9\end{aligned}$
方法二（常规运算顺序）：
先算乘方：
$3^4=81$，$3^3=27$，$(5×3)^2=15^2=225$
再算乘法：
$-5×81=-405$，$7×27=189$
最后算加减：
$-405+189+225=9$
【答案】
9
【知识点】
有理数混合运算，提公因式法，幂的运算
【点评】
本题既可以按照常规运算顺序求解，也可通过观察各项的特点，提取公因式简化计算，做题时注意各项的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
8.分解因式.
(1) $ ax^2y - axy^2 $.
(2) $ -14abc -7ab +49ab^2c $.
(1) $ ax^2y - axy^2 $.
(2) $ -14abc -7ab +49ab^2c $.
答案
8.(1)$axy(x-y)$. (2)$-7ab(2c+1-7bc)$.
解析
【分析】
这两道题均是利用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者结合即为公因式；第二步若多项式首项符号为负，需将负号随公因式一同提取，此时括号内的每一项都要改变符号；第三步提取公因式后，整理剩余项，确保最终结果为整式乘积的形式即可。
【解析】
(1) 对多项式$ax^2y - axy^2$分析：
系数部分的公因式为$a$，相同字母有$x、y$，最低次幂均为1，因此公因式为$axy$。
提取公因式得：
$ax^2y - axy^2 = axy· x - axy· y = axy(x-y)$。
(2) 对多项式$-14abc -7ab +49ab^2c$分析：
各项系数绝对值的最大公约数为7，首项为负，因此系数部分公因式为$-7$，相同字母有$a、b$，最低次幂均为1，因此整体公因式为$-7ab$。
提取公因式，括号内各项变号得：
$-14abc -7ab +49ab^2c = -7ab·2c + (-7ab)·1 + (-7ab)·(-7bc) = -7ab(2c+1-7bc)$。
【答案】
(1)$axy(x-y)$；(2)$-7ab(2c+1-7bc)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础考查，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题时要注意公因式要找全，提取带负号的公因式时切记括号内各项都要变号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均是利用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者结合即为公因式；第二步若多项式首项符号为负，需将负号随公因式一同提取，此时括号内的每一项都要改变符号；第三步提取公因式后，整理剩余项，确保最终结果为整式乘积的形式即可。
【解析】
(1) 对多项式$ax^2y - axy^2$分析：
系数部分的公因式为$a$，相同字母有$x、y$，最低次幂均为1，因此公因式为$axy$。
提取公因式得：
$ax^2y - axy^2 = axy· x - axy· y = axy(x-y)$。
(2) 对多项式$-14abc -7ab +49ab^2c$分析：
各项系数绝对值的最大公约数为7，首项为负，因此系数部分公因式为$-7$，相同字母有$a、b$，最低次幂均为1，因此整体公因式为$-7ab$。
提取公因式，括号内各项变号得：
$-14abc -7ab +49ab^2c = -7ab·2c + (-7ab)·1 + (-7ab)·(-7bc) = -7ab(2c+1-7bc)$。
【答案】
(1)$axy(x-y)$；(2)$-7ab(2c+1-7bc)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础考查，核心是掌握提公因式法的操作步骤，解题时要注意公因式要找全，提取带负号的公因式时切记括号内各项都要变号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.8
