23.【探究发现】(1)$(a-1)(a+1)=$.
(2)$(a-1)(a^2+a+1)=$.
(3)$(a-1)(a^3+a^2+a+1)=$.
【猜想归纳】(4)$(a-1)(a^{100}+a^{99}+a^{98}+\dots+a^2+a+1)=$.
【问题解决】利用上述规律解决下列问题.
(5)计算$2^{150}+2^{149}+2^{148}+\dots+2^2+2+1$.
(6)若$a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0$,求$a$的值.

23.(1)$a^{2}-1$
(2)$a^{3}-1$
(3)$a^{4}-1$
(4)$a^{101}-1$
(5)原式$=(2-1)×(2^{150}+2^{149}+2^{148}+\dots+2^{2}+2+1)=2^{151}-1$.
(6)$\because a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1=0$，
$\therefore (a-1)(a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)=0$.
$\therefore a^{8}-1=0$.
解得$a=-1$或$a=1$(舍).
$\therefore a$的值是$-1$.

【分析】
解题思路可分为三步：首先完成前3道基础整式乘法运算：直接利用多项式乘多项式法则展开，合并同类项后得到结果；其次观察前3问的运算结果归纳通用规律：$(a-1)$与$(a^n+a^{n-1}+\dots+a+1)$相乘，结果为$a^{n+1}-1$，将规律直接套用解决第(4)问；最后利用归纳的规律解决拓展问题：第(5)问给的求和式符合规律中第二个因式的形式，可乘$(2-1)$（数值为1，不改变原式结果）构造规律形式直接计算；第(6)问给的等式左边也符合第二个因式的形式，两边同乘$(a-1)$转化为方程求解，最后要验证解是否符合原式，排除增根。
【解析】
(1) 根据多项式乘法或平方差公式计算：
$(a-1)(a+1)=a^2 - 1$
(2) 按多项式乘多项式法则展开合并：
$(a-1)(a^2+a+1)=a(a^2+a+1)-1×(a^2+a+1)=a^3+a^2+a - a^2 -a -1=a^3 -1$
(3) 同理展开合并计算：
$(a-1)(a^3+a^2+a+1)=a(a^3+a^2+a+1)-1×(a^3+a^2+a+1)=a^4+a^3+a^2+a -a^3 -a^2 -a -1=a^4 -1$
(4) 观察前3问运算规律可得：
$(a-1)(a^{100}+a^{99}+a^{98}+\dots+a^2+a+1)=a^{101}-1$
(5) 构造规律适用的形式，给原式乘数值为1的$(2-1)$：
原式$=(2-1)×(2^{150}+2^{149}+2^{148}+\dots+2^2+2+1)=2^{151}-1$
(6) 已知$a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0$，两边同乘$(a-1)$得：
$(a-1)(a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)=0$，即$a^8-1=0$，解得$a^8=1$。
当$a=1$时，代入原等式左边得$1+1+1+1+1+1+1+1=8≠0$，不符合题意舍去；
当$a=-1$时，代入原等式左边得$(-1)^7+(-1)^6+\dots+(-1)+1=0$，符合题意。
故$a=-1$。
【答案】
(1)$a^2-1$；(2)$a^3-1$；(3)$a^4-1$；(4)$a^{101}-1$；(5)$2^{151}-1$；(6)$a=-1$
【知识点】
多项式乘法运算，规律归纳推理，代数式化简求值
【点评】
本题属于整式运算类的规律探究题，由浅入深设置问题，既考察了基础的多项式乘法运算能力，也考察了归纳总结能力和规律迁移应用能力，求解第(6)问时要注意验证解是否满足原方程，避免出现增根。
【难度系数】
0.7

24.把图①的长方形看成一个基本图形,用若干相同的基本图形进行拼图(重合处无缝隙).
(1)如图②,将四个基本图形进行拼图,得到正方形ABCD和正方形EFGH,计算图中阴影部分的面积(用含a,b的代数式表示),并写出一个等式.
(2)如图③,将四个基本图形进行拼图,得到四边形MNPQ,求阴影部分的面积(用含a,b的代数式表示).
(3)如图④,将图③的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位长度,再向上运动2b个单位长度后得到一个长方形图形,若AB=b,BC把图中阴影部分分割成两部分,这两部分的面积分别记为S₁,S₂,若m=S₁−S₂,求证m与x无关.

24.(1)$\because$在图②中，四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore$正方形$ABCD$的面积为$S_{\mathrm{正方形}}=(a+b)^{2}$.
$\because$四个基本图形的面积为$4ab$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^{2}-4ab$；
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore EH=EF=a-b$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=EH^{2}=(a-b)^{2}$.
$\therefore (a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}$.
(2)$\because NP=a+b,MN=a+b$，
$\therefore$四边形$MNPQ$是正方形，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=MN^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab$，
即$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^{2}-4ab=a^{2}-2ab+b^{2}$.
(3)如图分割，根据图形可知，$AF=a+x-2b$，

$m = S_1 - S_2$
$= 2b · 2b + bx - (a - 2b + x)b - 3b · b$
$= 4b^{2}+bx-(ab-2b^{2}+bx)-3b^{2}$
$= 4b^{2}+bx-ab+2b^{2}-bx-3b^{2}$
$= 3b^{2}-ab$，
$\therefore m$与$x$无关.

【分析】
(1) 求图②阴影面积可采用两种思路：一是用边长为$(a+b)$的大正方形$ABCD$的面积减去4个基本长方形的总面积；二是直接计算中间小正方形$EFGH$的面积，其边长为$a-b$，两种方法求得的面积相等，即可推导出对应的代数恒等式。
(2) 先判断四边形$MNPQ$是边长为$(a+b)$的正方形，阴影面积等于大正方形面积减去4个基本长方形的面积，化简即可得到结果。
(3) 要证明$m=S_1-S_2$与$x$无关，先根据平移后图形的边长关系，用含$x、a、b$的式子分别表示$S_1$和$S_2$，再计算两者的差，若化简后$x$项完全抵消，即可说明$m$与$x$无关。
【解析】
(1) $\because$在图②中，四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore$正方形$ABCD$的面积为$S_{\mathrm{正方形}}=(a+b)^{2}$.
$\because$四个基本图形的面积为$4ab$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^{2}-4ab$；
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore EH=EF=a-b$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=EH^{2}=(a-b)^{2}$.
$\therefore (a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}$.
(2) $\because NP=a+b,MN=a+b$，
$\therefore$四边形$MNPQ$是正方形，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=MN^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab$，
即$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^{2}-4ab=a^{2}-2ab+b^{2}$.
(3) 如图分割，根据图形可知，$AF=a+x-2b$，

$m = S_1 - S_2$
$= 2b · 2b + bx - (a - 2b + x)b - 3b · b$
$= 4b^{2}+bx-(ab-2b^{2}+bx)-3b^{2}$
$= 4b^{2}+bx-ab+2b^{2}-bx-3b^{2}$
$= 3b^{2}-ab$，
$\therefore m$与$x$无关.
【答案】
(1) 阴影面积为$(a-b)^2$（或$(a+b)^2-4ab$），等式为$\boldsymbol{(a+b)^2-4ab=(a-b)^2}$；
(2) 阴影面积为$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$（或$(a-b)^2$）；
(3) 证明成立，$m=3b^2-ab$，与$x$无关。
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积，整式化简
【点评】
本题以图形拼图为载体，将几何面积计算与代数运算相结合，既考查了完全平方公式的几何意义，也锻炼了数形结合分析问题的能力。第三问的动态平移问题，需要准确识别图形边长的数量关系，通过整式化简验证变量无关性，是典型的代数几何综合题。
【难度系数】
0.65