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21.如图，某中学校园内有一个长为$(4a+b)\ \mathrm{m}$、宽为$(3a+b)\ \mathrm{m}$的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为$(a+b)\ \mathrm{m}$的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化.求绿化的面积.（用含$a,b$的代数式表示）
答案
21.由题意得，绿化面积$=(3a+b)(4a+b)-(a+b)^{2}$
$=12a^{2}+3ab+4ab+b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}$
$=11a^{2}+5ab$.
故绿化的面积为$(11a^{2}+5ab)\ \mathrm{m^{2}}$.
$=12a^{2}+3ab+4ab+b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}$
$=11a^{2}+5ab$.
故绿化的面积为$(11a^{2}+5ab)\ \mathrm{m^{2}}$.
解析
【分析】
要求阴影部分的绿化面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解：首先明确整体是长为$(4a+b)$、宽为$(3a+b)$的长方形，空白部分是边长为$(a+b)$的正方形；先分别计算出大长方形的面积和中间正方形的面积，再将二者作差，最后根据整式的运算法则展开、合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，绿化面积 = 大长方形面积 - 中间正方形面积，即：
$\begin{aligned}\mathrm{绿化面积}&=(4a+b)(3a+b)-(a+b)^2\\&=12a^2+3ab+4ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=12a^2+7ab+b^2 - a^2 -2ab -b^2\\&=11a^2+5ab\end{aligned}$
【答案】
$(11a^2+5ab)\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
多项式乘多项式；完全平方公式；整式的化简
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的运算，解题的关键是熟练运用“整体减空白”的间接面积求解法，同时要注意多项式相乘不要漏乘、去括号时注意符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的绿化面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解：首先明确整体是长为$(4a+b)$、宽为$(3a+b)$的长方形，空白部分是边长为$(a+b)$的正方形；先分别计算出大长方形的面积和中间正方形的面积，再将二者作差，最后根据整式的运算法则展开、合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
解：根据题意，绿化面积 = 大长方形面积 - 中间正方形面积，即：
$\begin{aligned}\mathrm{绿化面积}&=(4a+b)(3a+b)-(a+b)^2\\&=12a^2+3ab+4ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=12a^2+7ab+b^2 - a^2 -2ab -b^2\\&=11a^2+5ab\end{aligned}$
【答案】
$(11a^2+5ab)\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
多项式乘多项式；完全平方公式；整式的化简
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式的运算，解题的关键是熟练运用“整体减空白”的间接面积求解法，同时要注意多项式相乘不要漏乘、去括号时注意符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
22.用几个小的长方形、正方形拼成一个大正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，可以得到一个等式，利用这个等式可以求一些不规则图形的面积.
(1)如图①所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状、大小完全相同的长方形拼成的.用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是
(2)如图②，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为$(a+b+c)$的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为
(3)利用(2)中的结论解决以下问题：已知$a+b+c=5$，$ab+bc+ac=2$，求$a^2+b^2+c^2$的值.
(1)如图①所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状、大小完全相同的长方形拼成的.用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
.(2)如图②，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为$(a+b+c)$的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)^2$
.(3)利用(2)中的结论解决以下问题：已知$a+b+c=5$，$ab+bc+ac=2$，求$a^2+b^2+c^2$的值.
答案
22.(1)$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$.
(2)依题意得，$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^{2}$.
(3)由(2)可知，$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-(2ab+2bc+2ac)$，
即$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)$，
又$\because a+b+c=5,ab+bc+ac=2$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=5^{2}-2×2=21$.
(2)依题意得，$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^{2}$.
(3)由(2)可知，$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-(2ab+2bc+2ac)$，
即$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)$，
又$\because a+b+c=5,ab+bc+ac=2$，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=5^{2}-2×2=21$.
解析
【分析】
(1) 计算阴影面积可从两个角度思考：一是直接将两个阴影正方形面积相加，得到$a^2+b^2$；二是用边长为$(a+b)$的大正方形总面积减去2个空白长方形的面积（每个长方形面积为$ab$），两种方法计算的阴影面积相等，即可得到对应等式。
(2) 计算边长为$(a+b+c)$的大正方形面积也有两种思路：一是直接用正方形面积公式得$(a+b+c)^2$；二是将分割后的9个小图形面积求和，包含3个小正方形（面积分别为$a^2、b^2、c^2$）和6个长方形（2个$ab$、2个$bc$、2个$ac$），两种方法计算的总面积相等，即可推导出结论。
(3) 对(2)得到的等式变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等号一侧，再把已知的$a+b+c=5$、$ab+bc+ac=2$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分直接求和得面积：$S_{\mathrm{阴}}=a^2+b^2$；
用大正方形减空白面积得：$S_{\mathrm{阴}}=(a+b)^2-2ab$，
因此可得等式：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
(2) 方法1：根据正方形面积公式，大正方形面积$S=(a+b+c)^2$；
方法2：分割图形求和得：$S=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，
因此可得等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
(3) 由(2)的等式变形得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，
将$a+b+c=5$，$ab+bc+ac=2$代入上式：
$a^2+b^2+c^2=5^2-2×2=25-4=21$。
【答案】
(1)$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
(2)$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
(3)$21$
【知识点】
完全平方公式的几何背景，面积法推导恒等式，代数式求值
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，通过几何图形面积的不同表示方法推导代数恒等式，再利用恒等式代入求解，解题核心是掌握面积法的分析思路，能熟练对代数式进行变形。
【难度系数】
0.7
(1) 计算阴影面积可从两个角度思考：一是直接将两个阴影正方形面积相加，得到$a^2+b^2$；二是用边长为$(a+b)$的大正方形总面积减去2个空白长方形的面积（每个长方形面积为$ab$），两种方法计算的阴影面积相等，即可得到对应等式。
(2) 计算边长为$(a+b+c)$的大正方形面积也有两种思路：一是直接用正方形面积公式得$(a+b+c)^2$；二是将分割后的9个小图形面积求和，包含3个小正方形（面积分别为$a^2、b^2、c^2$）和6个长方形（2个$ab$、2个$bc$、2个$ac$），两种方法计算的总面积相等，即可推导出结论。
(3) 对(2)得到的等式变形，将$a^2+b^2+c^2$单独放在等号一侧，再把已知的$a+b+c=5$、$ab+bc+ac=2$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分直接求和得面积：$S_{\mathrm{阴}}=a^2+b^2$；
用大正方形减空白面积得：$S_{\mathrm{阴}}=(a+b)^2-2ab$，
因此可得等式：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
(2) 方法1：根据正方形面积公式，大正方形面积$S=(a+b+c)^2$；
方法2：分割图形求和得：$S=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，
因此可得等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
(3) 由(2)的等式变形得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，
将$a+b+c=5$，$ab+bc+ac=2$代入上式：
$a^2+b^2+c^2=5^2-2×2=25-4=21$。
【答案】
(1)$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
(2)$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
(3)$21$
【知识点】
完全平方公式的几何背景，面积法推导恒等式，代数式求值
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，通过几何图形面积的不同表示方法推导代数恒等式，再利用恒等式代入求解，解题核心是掌握面积法的分析思路，能熟练对代数式进行变形。
【难度系数】
0.7
