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1. 脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一. 请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题.
任务1:设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x,依题意列方程得
任务2:现有长80 cm,宽75 cm的长方形纸板,将四角各裁掉一个正方形(如图①),折成无盖长方体纸盒(如图②).为了放下适当数量的脆蜜金桔,需要设计底面积为3300 cm²的纸盒,计算此时纸盒的高;
任务3:为了增加包装盒的种类,打算将任务2中的纸板通过图③的方式裁剪,得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图④),求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
任务1:设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x,依题意列方程得
13(1+x)²=15.6
;任务2:现有长80 cm,宽75 cm的长方形纸板,将四角各裁掉一个正方形(如图①),折成无盖长方体纸盒(如图②).为了放下适当数量的脆蜜金桔,需要设计底面积为3300 cm²的纸盒,计算此时纸盒的高;
任务3:为了增加包装盒的种类,打算将任务2中的纸板通过图③的方式裁剪,得到底面为正六边形的无盖纸盒(如图④),求出此时纸盒的高.(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
答案
任务1:13(1+x)²=15.6
任务2:解:设裁掉正方形的边长为m cm,
由题意,得(75-2m)×(80-2m)=3300,
解得m₁=10,m₂=135/2(不符合题意,舍去).
答:此时纸盒的高为10 cm.
任务3:解:如答图,设底面正六边形为ABCDEF,连接AC,FD,BE,AC和BE交于点G,FD和BE交于点H,BE所在直线交长方形纸板的边于点M,N.设底面正六边形的边长为a cm,纸盒的高为b cm.
∵正六边形的每条边相等,每个内角都为120°,
∴△ABC为等腰三角形,∠ABC=120°,
∴∠BAC=∠BCA=30°,由正六边形的性质可得BE平分∠ABC,
∴∠ABE=60°,
∴∠AGB=90°,
∴在直角三角形ABG中,BG=1/2 a,AG=√3/2 a,同理可得在直角三角形FHE中,HE=1/2 a.
∵CG=AG=√3/2 a,b+AG+GC+b=75,
∴2b+√3 a=75①.
∵左侧小三角形顶点B的角度为360°-120°-90°-90°=60°,
∴左侧小三角形是边长为b的等边三角形.
根据图形上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直,
∴BM为等边三角形的高,
∴BM=√3/2 b,
同理可得,EN=BM=√3/2 b.
易知四边形AGHF为矩形,
∴GH=AF=a.
∵MN=MB+BG+GH+HE+EN=80,
∴2a+√3 b=80②.
联立①②式可得b=150-80√3.
答:纸盒的高为(150-80√3)cm.
解析
【分析】
任务1属于年平均增长率问题，遵循“初始量×(1+增长率)²=增长后最终量”的基本模型，已知初始产量、最终产量，代入即可列方程；
任务2是无盖长方体的几何应用问题，纸盒的高就是裁掉的小正方形的边长，折成纸盒后底面的长、宽分别为原纸板长、宽减去2倍的正方形边长，结合底面积公式列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际的解即可；
任务3结合正六边形性质计算，先利用正六边形内角为120°、各边相等的特点，结合直角三角形边角关系，分别找出长方形纸板长、宽与正六边形边长、纸盒高的等量关系，列二元一次方程组求解即可得到纸盒高度。
【解析】
任务1
设年平均增长率为x，初始产量为13，两年后产量为15.6，根据增长率公式列方程：$13(1+x)^2=15.6$。
任务2
设裁掉的正方形边长即纸盒的高为$m\ \mathrm{cm}$，
则无盖纸盒底面长为$(80-2m)\ \mathrm{cm}$，宽为$(75-2m)\ \mathrm{cm}$，
由底面积为$3300\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$(75-2m)(80-2m)=3300$
整理求解得$m_1=10$，$m_2=\frac{135}{2}$，
当$m=\frac{135}{2}$时，$2m=135＞75$，不符合实际，舍去，故纸盒高为$10\ \mathrm{cm}$。
任务3
设底面正六边形边长为$a\ \mathrm{cm}$，纸盒高为$b\ \mathrm{cm}$，
正六边形每个内角为$120°$，可得$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ABC=120°$，则$∠ BAC=30°$，
由正六边形性质得$BE$平分$∠ ABC$，即$∠ ABE=60°$，故$∠ AGB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$BG=\frac{1}{2}a$，$AG=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，同理$HE=\frac{1}{2}a$，
上下方向总长度满足$2b+AG+GC=75$，即$2b+\sqrt{3}a=75$ ①；
左侧裁剪的小三角形内角为$360°-120°-90°-90°=60°$，是边长为$b$的等边三角形，其高$BM=\frac{\sqrt{3}}{2}b$，同理$EN=\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
四边形$AGHF$为矩形，故$GH=AF=a$，
水平方向总长度满足$BM+BG+GH+HE+EN=80$，整理得$2a+\sqrt{3}b=80$ ②；
联立①②求解，将$a=\frac{75-2b}{\sqrt{3}}$代入②，解得$b=150-80\sqrt{3}$，即纸盒高为$(150-80\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{13(1+x)^2=15.6}$
任务2：纸盒的高为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
任务3：
纸盒的高为$\boldsymbol{(150-80\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元二次方程应用，正六边形性质，二元一次方程组应用
【点评】
本题结合实际生产包装场景出题，综合考察了方程的实际应用与几何图形性质，需要学生具备读图提取等量关系的能力，求解时还要注意结合实际情况对解进行取舍，贴合生活场景的同时兼顾了知识点的综合考察。
【难度系数】
0.5
任务1属于年平均增长率问题，遵循“初始量×(1+增长率)²=增长后最终量”的基本模型，已知初始产量、最终产量，代入即可列方程；
任务2是无盖长方体的几何应用问题，纸盒的高就是裁掉的小正方形的边长，折成纸盒后底面的长、宽分别为原纸板长、宽减去2倍的正方形边长，结合底面积公式列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际的解即可；
任务3结合正六边形性质计算，先利用正六边形内角为120°、各边相等的特点，结合直角三角形边角关系，分别找出长方形纸板长、宽与正六边形边长、纸盒高的等量关系，列二元一次方程组求解即可得到纸盒高度。
【解析】
任务1
设年平均增长率为x，初始产量为13，两年后产量为15.6，根据增长率公式列方程：$13(1+x)^2=15.6$。
任务2
设裁掉的正方形边长即纸盒的高为$m\ \mathrm{cm}$，
则无盖纸盒底面长为$(80-2m)\ \mathrm{cm}$，宽为$(75-2m)\ \mathrm{cm}$，
由底面积为$3300\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$(75-2m)(80-2m)=3300$
整理求解得$m_1=10$，$m_2=\frac{135}{2}$，
当$m=\frac{135}{2}$时，$2m=135＞75$，不符合实际，舍去，故纸盒高为$10\ \mathrm{cm}$。
任务3
设底面正六边形边长为$a\ \mathrm{cm}$，纸盒高为$b\ \mathrm{cm}$，
正六边形每个内角为$120°$，可得$△ ABC$为等腰三角形，$∠ ABC=120°$，则$∠ BAC=30°$，
由正六边形性质得$BE$平分$∠ ABC$，即$∠ ABE=60°$，故$∠ AGB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$BG=\frac{1}{2}a$，$AG=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，同理$HE=\frac{1}{2}a$，
上下方向总长度满足$2b+AG+GC=75$，即$2b+\sqrt{3}a=75$ ①；
左侧裁剪的小三角形内角为$360°-120°-90°-90°=60°$，是边长为$b$的等边三角形，其高$BM=\frac{\sqrt{3}}{2}b$，同理$EN=\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
四边形$AGHF$为矩形，故$GH=AF=a$，
水平方向总长度满足$BM+BG+GH+HE+EN=80$，整理得$2a+\sqrt{3}b=80$ ②；
联立①②求解，将$a=\frac{75-2b}{\sqrt{3}}$代入②，解得$b=150-80\sqrt{3}$，即纸盒高为$(150-80\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{13(1+x)^2=15.6}$
任务2：纸盒的高为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
任务3：
纸盒的高为$\boldsymbol{(150-80\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一元二次方程应用，正六边形性质，二元一次方程组应用
【点评】
本题结合实际生产包装场景出题，综合考察了方程的实际应用与几何图形性质，需要学生具备读图提取等量关系的能力，求解时还要注意结合实际情况对解进行取舍，贴合生活场景的同时兼顾了知识点的综合考察。
【难度系数】
0.5
