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9.(2025·南京建邺区二模)如图，圆锥的母线AB长为6，底面直径BC长为4，M为AB的中点.将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中点M，C之间的距离为（
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$
D
）A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
9.D
解析
【分析】要计算侧面展开图中点M、C的距离，需先将圆锥侧面展开为扇形，按以下思路求解：① 圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，据此先算出扇形的总圆心角；② BC是底面直径，因此底面劣弧BC的长度是底面周长的一半，对应算出展开图中∠BAC的度数；③ 过M作AC的垂线构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理即可求出MC的长度。
【解析】
解：1. 计算底面周长：已知底面直径BC=4，因此底面半径$r=2$，底面周长$C=2π r=4π$。
2. 求展开扇形的总圆心角：设扇形圆心角为$n°$，母线长AB=6即扇形半径为6，由扇形弧长等于底面周长，得：
$\frac{nπ × 6}{180}=4π$
约去$π$解得$n=120$，即展开扇形的总圆心角为$120°$。
3. 求展开图中$∠ BAC$的度数：
∵BC是底面直径，
∴底面劣弧BC的长度为$\frac{1}{2}C=2π$，设该弧对应的圆心角为$m°$，则：
$\frac{mπ × 6}{180}=2π$
解得$m=60$，即$∠ BAC=60°$。
4. 计算MC的长度：
过点M作$MD⊥ AC$于点D，
∵M是AB中点，AB=6，
∴$AM=3$，
在$Rt△ AMD$中，$∠ A=60°$，$AM=3$：
$AD=AM· \cos60°=3×\frac{1}{2}=1.5$，
$MD=AM· \sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又$AC=AB=6$，
∴$CD=AC-AD=6-1.5=4.5$，
在$Rt△ MDC$中，由勾股定理：
$MC^2=MD^2+CD^2=(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{9}{2})^2=\frac{27}{4}+\frac{81}{4}=27$
∴$MC=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】D
【知识点】圆锥的侧面展开图，弧长计算，解直角三角形
【点评】本题考查圆锥展开图的相关计算，核心是掌握圆锥与展开扇形的对应关系：底面周长等于扇形弧长，母线长等于扇形半径，将立体几何中的距离问题转化为平面直角三角形的计算问题即可求解。
【难度系数】0.6
【解析】
解：1. 计算底面周长：已知底面直径BC=4，因此底面半径$r=2$，底面周长$C=2π r=4π$。
2. 求展开扇形的总圆心角：设扇形圆心角为$n°$，母线长AB=6即扇形半径为6，由扇形弧长等于底面周长，得：
$\frac{nπ × 6}{180}=4π$
约去$π$解得$n=120$，即展开扇形的总圆心角为$120°$。
3. 求展开图中$∠ BAC$的度数：
∵BC是底面直径，
∴底面劣弧BC的长度为$\frac{1}{2}C=2π$，设该弧对应的圆心角为$m°$，则：
$\frac{mπ × 6}{180}=2π$
解得$m=60$，即$∠ BAC=60°$。
4. 计算MC的长度：
过点M作$MD⊥ AC$于点D，
∵M是AB中点，AB=6，
∴$AM=3$，
在$Rt△ AMD$中，$∠ A=60°$，$AM=3$：
$AD=AM· \cos60°=3×\frac{1}{2}=1.5$，
$MD=AM· \sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又$AC=AB=6$，
∴$CD=AC-AD=6-1.5=4.5$，
在$Rt△ MDC$中，由勾股定理：
$MC^2=MD^2+CD^2=(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{9}{2})^2=\frac{27}{4}+\frac{81}{4}=27$
∴$MC=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】D
【知识点】圆锥的侧面展开图，弧长计算，解直角三角形
【点评】本题考查圆锥展开图的相关计算，核心是掌握圆锥与展开扇形的对应关系：底面周长等于扇形弧长，母线长等于扇形半径，将立体几何中的距离问题转化为平面直角三角形的计算问题即可求解。
【难度系数】0.6
10.(2025·宿迁泗洪县一模)若圆锥的底面半径长为6,侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为
12
.答案
10.12
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与原圆锥的对应关系：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长。已知侧面展开图是半圆，我们可以先分别表示出底面周长和半圆的弧长，再根据二者相等的等量关系列方程求解母线长。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面周长：
已知底面半径$ r=6 $，根据圆的周长公式$ C=2π r $，可得底面周长为：
$ C=2π × 6 = 12π $
2. 计算侧面展开图（半圆）的弧长：
侧面展开图是半圆，其半径等于圆锥的母线长$ l $，根据弧长公式，半圆的弧长为：
$ l_{\mathrm{弧}} = \frac{1}{2} × 2π l = π l $
3. 列方程求解：
根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$ π l = 12π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $
【答案】
12
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥计算的基础常考题，解题关键是牢记圆锥底面周长与侧面展开图弧长相等的对应关系，掌握该等量关系即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与原圆锥的对应关系：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长。已知侧面展开图是半圆，我们可以先分别表示出底面周长和半圆的弧长，再根据二者相等的等量关系列方程求解母线长。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面周长：
已知底面半径$ r=6 $，根据圆的周长公式$ C=2π r $，可得底面周长为：
$ C=2π × 6 = 12π $
2. 计算侧面展开图（半圆）的弧长：
侧面展开图是半圆，其半径等于圆锥的母线长$ l $，根据弧长公式，半圆的弧长为：
$ l_{\mathrm{弧}} = \frac{1}{2} × 2π l = π l $
3. 列方程求解：
根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$ π l = 12π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $
【答案】
12
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥计算的基础常考题，解题关键是牢记圆锥底面周长与侧面展开图弧长相等的对应关系，掌握该等量关系即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
11.(2025·镇江模拟)如图,从一个半径为1的圆形铁皮中剪出一个圆心角为$90°$的扇形,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则此圆锥的底面圆的半径是
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
.答案
11.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长”这一核心关系求解。第一步先求剪下扇形的半径：根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可得BC是圆形铁皮的直径，再结合等腰直角三角形的性质求出扇形的半径AB的长度；第二步用弧长公式计算扇形的弧长；第三步根据弧长等于圆锥底面周长，列方程求出底面圆的半径。
【解析】
1. 求扇形的半径
连接BC，
∵∠BAC=90°，由90°圆周角对应的弦为直径，可知BC是⊙O的直径。
已知⊙O半径为1，
∴BC=2×1=2。
∵AB=AC，在Rt△ABC中由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=4$，解得$AB=\sqrt{2}$（舍去负值），即扇形的半径$R=\sqrt{2}$。
2. 计算扇形的弧长
扇形圆心角$n=90°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得弧BC的长度：
$l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
3. 求圆锥底面圆的半径
设圆锥底面圆的半径为r，
∵圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，
两边约去π得$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
圆周角定理，弧长公式，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题关键是理清圆形铁皮半径、扇形半径、圆锥底面半径之间的对应关系，牢记圆锥底面周长和展开扇形弧长相等的性质，需要结合勾股定理、圆周角定理完成前置计算，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长”这一核心关系求解。第一步先求剪下扇形的半径：根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可得BC是圆形铁皮的直径，再结合等腰直角三角形的性质求出扇形的半径AB的长度；第二步用弧长公式计算扇形的弧长；第三步根据弧长等于圆锥底面周长，列方程求出底面圆的半径。
【解析】
1. 求扇形的半径
连接BC，
∵∠BAC=90°，由90°圆周角对应的弦为直径，可知BC是⊙O的直径。
已知⊙O半径为1，
∴BC=2×1=2。
∵AB=AC，在Rt△ABC中由勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=4$，解得$AB=\sqrt{2}$（舍去负值），即扇形的半径$R=\sqrt{2}$。
2. 计算扇形的弧长
扇形圆心角$n=90°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得弧BC的长度：
$l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$
3. 求圆锥底面圆的半径
设圆锥底面圆的半径为r，
∵圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴$2π r=\frac{\sqrt{2}π}{2}$，
两边约去π得$2r=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
圆周角定理，弧长公式，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆锥相关计算的典型题型，解题关键是理清圆形铁皮半径、扇形半径、圆锥底面半径之间的对应关系，牢记圆锥底面周长和展开扇形弧长相等的性质，需要结合勾股定理、圆周角定理完成前置计算，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.如图，圆锥的底面半径是2，母线长是6.
(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
(2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.
(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
(2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.
答案
12.解:(1)圆锥的高为$\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}.$
设$∠ ABC=n°$,则$2π × 2=\frac{nπ × 6}{180},$
解得$n=120$,故$∠ ABC=120°.$
(2)如答图,连接$AC$,$AC$的长即为这根绳子的最短长度.过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$,则$∠ ABD=60°.$
由$AB=6$,可得$BD=3$,
所以$AD=3\sqrt{3},AC=2AD=6\sqrt{3}$,
即这根绳子的最短长度是$6\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 求圆锥的高：圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，直接用勾股定理代入已知的母线长和底面半径即可求解；求侧面展开图的∠ABC：圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式列方程就能求出圆心角∠ABC的度数。
(2) 求绕侧面一圈的最短绳长：将圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间线段最短”，绳子的最短长度就是展开图中A点与其对应点C的线段长度；△ABC是等腰三角形，过B作AC的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
(1) 圆锥的母线长为6，底面半径为2，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
圆锥的高$=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
设$∠ABC=n°$，圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，根据弧长公式可得：
$2π×2=\frac{nπ×6}{180}$，
解得$n=120$，即$∠ABC=120°$。
(2) 将圆锥侧面展开为扇形，根据两点之间线段最短，绳子绕侧面一圈的最短长度为展开图中A点与对应点C的线段AC的长度。
如答图，过点B作$BD⊥AC$于点D，因为$AB=BC=6$，△ABC为等腰三角形，根据三线合一，BD平分∠ABC，所以$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=60°$。
在Rt△ABD中，$AB=6$，所以$BD=AB·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$，
所以$AC=2AD=6\sqrt{3}$，即绳子的最短长度为$6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 圆锥的高为$4\sqrt{2}$，$∠ABC=120°$；
(2) 这根绳子的最短长度是$6\sqrt{3}$。
【知识点】
圆锥的相关计算，弧长公式，最短路径问题
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的性质及计算，需要明确圆锥底面周长与展开扇形弧长、母线与扇形半径的对应关系，最短路径问题要掌握将立体图形转化为平面图形求解的思路，是圆锥类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求圆锥的高：圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，直接用勾股定理代入已知的母线长和底面半径即可求解；求侧面展开图的∠ABC：圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式列方程就能求出圆心角∠ABC的度数。
(2) 求绕侧面一圈的最短绳长：将圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间线段最短”，绳子的最短长度就是展开图中A点与其对应点C的线段长度；△ABC是等腰三角形，过B作AC的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
(1) 圆锥的母线长为6，底面半径为2，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
圆锥的高$=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
设$∠ABC=n°$，圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，根据弧长公式可得：
$2π×2=\frac{nπ×6}{180}$，
解得$n=120$，即$∠ABC=120°$。
(2) 将圆锥侧面展开为扇形，根据两点之间线段最短，绳子绕侧面一圈的最短长度为展开图中A点与对应点C的线段AC的长度。
如答图，过点B作$BD⊥AC$于点D，因为$AB=BC=6$，△ABC为等腰三角形，根据三线合一，BD平分∠ABC，所以$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=60°$。
在Rt△ABD中，$AB=6$，所以$BD=AB·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$，
所以$AC=2AD=6\sqrt{3}$，即绳子的最短长度为$6\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 圆锥的高为$4\sqrt{2}$，$∠ABC=120°$；
(2) 这根绳子的最短长度是$6\sqrt{3}$。
【知识点】
圆锥的相关计算，弧长公式，最短路径问题
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的性质及计算，需要明确圆锥底面周长与展开扇形弧长、母线与扇形半径的对应关系，最短路径问题要掌握将立体图形转化为平面图形求解的思路，是圆锥类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
13.某种冰激凌(如图①)的外包装可以视为圆锥(如图②)，它的底面圆的直径ED与母线AD长之比为1：2.制作这种外包装需要用如图③所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合.(接头部分忽略不计)
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积.(结果保留π)
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积.(结果保留π)
答案
13.解:(1)设$∠ BAC=n°$.由题意,得$π · DE=\frac{nπ · AD}{180},$
$AD=2DE,\therefore n=90$,即$∠ BAC=90°.$
(2)$\because AB=AC,AD⊥ BC,∠ BAC=90°,$
$\therefore BD=CD,∠ BAD=45°,\therefore BD=CD=AD.$
$\because AD=2DE=10\ \mathrm{cm},\therefore BC=20\ \mathrm{cm},$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2} × 20 × 10-\frac{90π · 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2.$
$AD=2DE,\therefore n=90$,即$∠ BAC=90°.$
(2)$\because AB=AC,AD⊥ BC,∠ BAC=90°,$
$\therefore BD=CD,∠ BAD=45°,\therefore BD=CD=AD.$
$\because AD=2DE=10\ \mathrm{cm},\therefore BC=20\ \mathrm{cm},$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2} × 20 × 10-\frac{90π · 10^2}{360}=(100-25π)\mathrm{cm}^2.$
解析
【分析】
(1) 要求∠BAC的度数，核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。已知底面直径ED与母线AD的比为1:2，可设∠BAC为n°，结合扇形弧长公式和圆周长公式列等式，代入ED和AD的数量关系即可求解。
(2) 阴影部分为不规则图形，可用割补法转化为规则图形面积的差，即阴影面积=等腰△ABC的面积-扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出AD的长，再结合∠BAC=90°、AD⊥BC的条件求出BC的长度，分别计算△ABC和扇形AEF的面积，作差即可得到结果。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=n°$。
根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得：
$π · DE = \frac{nπ · AD}{180}$
由题意知$AD=2DE$，代入上式得：
$π · DE = \frac{nπ · 2DE}{180}$
两边同时约去$π · DE$，解得$n=90$，即$∠ BAC=90°$。
(2) $\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore BD=CD$，$∠ B=∠ C=45°$，
$\therefore BD=CD=AD$。
$\because ED=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=BD+CD=2AD=20\ \mathrm{cm}$。
分别计算规则图形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$
$S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{90π · AD^2}{360}=\frac{90π×10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm}^2$
因此阴影面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=100-25π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) $\boxed{(100-25π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥展开图性质；扇形公式应用；割补法求面积
【点评】
本题结合生活实际模型考查立体图形与平面图形的转化计算，解题关键是抓住圆锥底面周长和展开扇形弧长的等量关系，求不规则图形面积时，通常转化为规则图形面积的和差计算即可解决。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠BAC的度数，核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。已知底面直径ED与母线AD的比为1:2，可设∠BAC为n°，结合扇形弧长公式和圆周长公式列等式，代入ED和AD的数量关系即可求解。
(2) 阴影部分为不规则图形，可用割补法转化为规则图形面积的差，即阴影面积=等腰△ABC的面积-扇形AEF的面积。先根据ED的长度求出AD的长，再结合∠BAC=90°、AD⊥BC的条件求出BC的长度，分别计算△ABC和扇形AEF的面积，作差即可得到结果。
【解析】
(1) 设$∠ BAC=n°$。
根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得：
$π · DE = \frac{nπ · AD}{180}$
由题意知$AD=2DE$，代入上式得：
$π · DE = \frac{nπ · 2DE}{180}$
两边同时约去$π · DE$，解得$n=90$，即$∠ BAC=90°$。
(2) $\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore BD=CD$，$∠ B=∠ C=45°$，
$\therefore BD=CD=AD$。
$\because ED=5\ \mathrm{cm}$，$\therefore AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=BD+CD=2AD=20\ \mathrm{cm}$。
分别计算规则图形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$
$S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{90π · AD^2}{360}=\frac{90π×10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm}^2$
因此阴影面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=100-25π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $∠ BAC=90°$
(2) $\boxed{(100-25π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆锥展开图性质；扇形公式应用；割补法求面积
【点评】
本题结合生活实际模型考查立体图形与平面图形的转化计算，解题关键是抓住圆锥底面周长和展开扇形弧长的等量关系，求不规则图形面积时，通常转化为规则图形面积的和差计算即可解决。
【难度系数】
0.7
