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2.(2025·扬州)材料的疏水性:扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银”,莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部(如图①),这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图②所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角,图②中的∠PMN就是水滴的一个接触角.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图③中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角;(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而
【实践探索】实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数,进而求出接触角∠CAD的度数(如图④).
(3)请探索图④中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示),并说明理由.
【创新思考】(4)材料的疏水性除了用接触角以及图④中与△ABC相关的量描述外,还可以用什么量来描述?请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图②所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角,图②中的∠PMN就是水滴的一个接触角.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图③中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角;(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而
变强
.(填“变强”“不变”或“变弱”)【实践探索】实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数,进而求出接触角∠CAD的度数(如图④).
(3)请探索图④中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示),并说明理由.
【创新思考】(4)材料的疏水性除了用接触角以及图④中与△ABC相关的量描述外,还可以用什么量来描述?请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
答案
(1)解:如答图①所示,∠PMN为接触角.过程如下:
①在圆弧上取一点C,设界面与圆弧的交点为M,N,连接MC,NC;
②分别作MC,NC的中垂线,交于点O,则点O为圆弧的圆心;
③连接OM,过点M作MP⊥OM,则PM为⊙O的切线,故∠PMN即为所求.
(2)变强
(3)解:∠CAD=2∠BAC,理由如下:如答图②,连接OA,则OA=OB,
∴∠ABC=∠OAB.
∵AD为切线,
∴OA⊥AD,
∴∠OAB+∠BAD=90°.
∵BC⊥AC,
∴∠ABC+∠BAC=90°.
∵∠ABC=∠OAB,
∴∠BAD=∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC.
(4)解:
∵水滴弧的长度为l=nπr/180,
∴l/r = π/180 n,
∴可以根据l/r的大小,进行判断,l/r越大,水滴越趋近于球形,疏水性越强(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 要作出接触角，首先需明确接触角的定义：过三相接触点的气-液界线切线与固-液界线的夹角。首先利用“不在同一直线上的三点确定一个圆”，作圆弧上两条弦的垂直平分线找到圆心，再过接触点作对应半径的垂线得到切线，即可得到所求接触角。
(2) 结合题干中疏水性强的莲叶上水滴接近球形的特点，接触角越大说明水滴越难铺展，因此疏水性随接触角增大而变强。
(3) 推导两角关系时，先连接圆心和切点得到切线垂直半径的直角，再结合等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，利用等角的余角相等即可推出两角的数量关系。
(4) 可结合水滴的几何参数，选择与疏水性正相关的比值类量进行描述，合理即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 设固-液界线与圆弧的交点为$M$、$N$，在圆弧上任取异于$M$、$N$的一点$C$，连接$MC$、$NC$；
② 分别作线段$MC$、$NC$的垂直平分线，两条垂直平分线交于点$O$，点$O$即为圆弧所在圆的圆心；
③ 连接$OM$，过点$M$作$MP⊥ OM$，$MP$就是气-液界线在点$M$处的切线，此时$∠ PMN$就是所求接触角，作图如下：
(2) 接触角越大，水滴越难在材料表面铺展，疏水性越强，因此填$\boxed{变强}$。
(3) 数量关系：$\boldsymbol{∠ CAD=2∠ BAC}$，理由如下：
连接$OA$，$\because OA$、$OB$都是圆的半径，$\therefore OA=OB$，$\therefore ∠ ABC=∠ OAB$。
$\because AD$是气-液界线在点$A$处的切线，根据切线的性质，$OA⊥ AD$，$\therefore ∠ OAD=90°$，即$∠ OAB+∠ BAD=90°$。
又$\because BC⊥ AC$，$\therefore ∠ ACB=90°$，即$∠ ABC+∠ BAC=90°$。
根据等角的余角相等，可得$∠ BAD=∠ BAC$。
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD+∠ BAC=2∠ BAC$。
(4) 示例：可以用气-液界线的弧长$l$与底面圆半径$AC$的比值$\frac{l}{AC}$描述疏水性，$\frac{l}{AC}$越大，水滴越接近球形，疏水性越强（答案合理即可）。
【答案】
(1) 所求接触角为$∠ PMN$，作图见，步骤见解析；
(2) $\boxed{变强}$；
(3) $∠ CAD=2∠ BAC$，理由见解析；
(4) 示例：可用$\frac{BC}{AC}$的大小描述，$\frac{BC}{AC}$越大疏水性越强（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
1. 圆的切线性质与判定
2. 尺规作图
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题以生活中莲叶疏水的实际现象为背景，将几何知识和生活应用结合，既考查了基础作图、几何推理能力，也考查了开放性探究思维，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6
(1) 要作出接触角，首先需明确接触角的定义：过三相接触点的气-液界线切线与固-液界线的夹角。首先利用“不在同一直线上的三点确定一个圆”，作圆弧上两条弦的垂直平分线找到圆心，再过接触点作对应半径的垂线得到切线，即可得到所求接触角。
(2) 结合题干中疏水性强的莲叶上水滴接近球形的特点，接触角越大说明水滴越难铺展，因此疏水性随接触角增大而变强。
(3) 推导两角关系时，先连接圆心和切点得到切线垂直半径的直角，再结合等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，利用等角的余角相等即可推出两角的数量关系。
(4) 可结合水滴的几何参数，选择与疏水性正相关的比值类量进行描述，合理即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 设固-液界线与圆弧的交点为$M$、$N$，在圆弧上任取异于$M$、$N$的一点$C$，连接$MC$、$NC$；
② 分别作线段$MC$、$NC$的垂直平分线，两条垂直平分线交于点$O$，点$O$即为圆弧所在圆的圆心；
③ 连接$OM$，过点$M$作$MP⊥ OM$，$MP$就是气-液界线在点$M$处的切线，此时$∠ PMN$就是所求接触角，作图如下：
(2) 接触角越大，水滴越难在材料表面铺展，疏水性越强，因此填$\boxed{变强}$。
(3) 数量关系：$\boldsymbol{∠ CAD=2∠ BAC}$，理由如下：
连接$OA$，$\because OA$、$OB$都是圆的半径，$\therefore OA=OB$，$\therefore ∠ ABC=∠ OAB$。
$\because AD$是气-液界线在点$A$处的切线，根据切线的性质，$OA⊥ AD$，$\therefore ∠ OAD=90°$，即$∠ OAB+∠ BAD=90°$。
又$\because BC⊥ AC$，$\therefore ∠ ACB=90°$，即$∠ ABC+∠ BAC=90°$。
根据等角的余角相等，可得$∠ BAD=∠ BAC$。
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD+∠ BAC=2∠ BAC$。
(4) 示例：可以用气-液界线的弧长$l$与底面圆半径$AC$的比值$\frac{l}{AC}$描述疏水性，$\frac{l}{AC}$越大，水滴越接近球形，疏水性越强（答案合理即可）。
【答案】
(1) 所求接触角为$∠ PMN$，作图见
，步骤见解析；(2) $\boxed{变强}$；
(3) $∠ CAD=2∠ BAC$，理由见解析；
(4) 示例：可用$\frac{BC}{AC}$的大小描述，$\frac{BC}{AC}$越大疏水性越强（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
1. 圆的切线性质与判定
2. 尺规作图
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题以生活中莲叶疏水的实际现象为背景，将几何知识和生活应用结合，既考查了基础作图、几何推理能力，也考查了开放性探究思维，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6
