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1.(2025·宿迁泗阳县期末)若$\odot O$的半径为6,点P在$\odot O$内,则OP的长可能是 (
A.5
B.6
C.7
D.8
A
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要明确点与圆的三种位置关系对应的数量判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径；点在圆上时，距离等于半径；点在圆外时，距离大于半径。本题已知圆的半径和点在圆内的条件，只需筛选出小于半径的OP长度即可得到答案。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 点在圆内：$d＜r$；
2. 点在圆上：$d=r$；
3. 点在圆外：$d＞r$。
已知$\odot O$的半径$r=6$，点$P$在$\odot O$内，因此$OP＜6$。
对比选项：A选项$5＜6$符合要求；B选项$6=r$对应点在圆上，C选项$7＞6$、D选项$8＞6$均对应点在圆外，都不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对位置关系对应数量特征的记忆，掌握判定规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确点与圆的三种位置关系对应的数量判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径；点在圆上时，距离等于半径；点在圆外时，距离大于半径。本题已知圆的半径和点在圆内的条件，只需筛选出小于半径的OP长度即可得到答案。
【解析】
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
1. 点在圆内：$d＜r$；
2. 点在圆上：$d=r$；
3. 点在圆外：$d＞r$。
已知$\odot O$的半径$r=6$，点$P$在$\odot O$内，因此$OP＜6$。
对比选项：A选项$5＜6$符合要求；B选项$6=r$对应点在圆上，C选项$7＞6$、D选项$8＞6$均对应点在圆外，都不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对位置关系对应数量特征的记忆，掌握判定规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
2.(2025·山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是 (
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
D
)A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
2.D
解析
【分析】
阴影部分为圆环，面积等于外接圆面积减去内切圆面积，解题思路如下：首先根据正方形内切圆的半径求出正方形的边长，再利用正方形边长求出其外接圆的半径，最后代入圆环面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求正方形边长：已知正方形内切圆半径$r=2$，正方形的边长等于内切圆的直径，因此边长$a = 2r = 2×2 = 4$。
2. 求外接圆半径：正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外接圆半径$R = \frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影（圆环）面积：圆环面积公式为$S = π R^2 - π r^2$，代入数值计算：
$R^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$r^2=2^2=4$，
因此$S=π×(8-4)=4π$。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算；正方形与圆的位置关系；勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景考查几何图形面积计算，解题的关键是明确正方形内切圆、外接圆与正方形边长的对应关系，属于基础题型，计算时利用整体代换的思路可简化运算。
【难度系数】
0.8
阴影部分为圆环，面积等于外接圆面积减去内切圆面积，解题思路如下：首先根据正方形内切圆的半径求出正方形的边长，再利用正方形边长求出其外接圆的半径，最后代入圆环面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求正方形边长：已知正方形内切圆半径$r=2$，正方形的边长等于内切圆的直径，因此边长$a = 2r = 2×2 = 4$。
2. 求外接圆半径：正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此外接圆半径$R = \frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影（圆环）面积：圆环面积公式为$S = π R^2 - π r^2$，代入数值计算：
$R^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$r^2=2^2=4$，
因此$S=π×(8-4)=4π$。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算；正方形与圆的位置关系；勾股定理
【点评】
本题结合传统文化背景考查几何图形面积计算，解题的关键是明确正方形内切圆、外接圆与正方形边长的对应关系，属于基础题型，计算时利用整体代换的思路可简化运算。
【难度系数】
0.8
3.(2025·广安)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$90°$的扇形,若圆锥的母线长为5,则该圆锥的底面圆的半径为（
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
A
）A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：圆锥侧面展开图是圆心角为90°的扇形，圆锥母线长即扇形半径为5，要求底面圆半径。首先回忆圆锥与侧面展开图的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥母线长。据此确定解题思路：先利用弧长公式计算扇形的弧长，再根据弧长与底面圆周长相等建立方程，求解即可得到底面圆半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为r。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），代入n=90°，R=5，得：
$l=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2}$
2. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，底面圆周长为$2π r$，列等式：
$2π r=\frac{5π}{2}$
3. 求解r：约去等式两边的π，得$2r=\frac{5}{2}$，解得$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式、圆的周长公式
【点评】
本题属于圆锥计算的基础常考题，核心考点是圆锥与侧面展开扇形的等量关系，只要掌握“扇形弧长等于底面圆周长”这一关键结论，熟记对应公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：圆锥侧面展开图是圆心角为90°的扇形，圆锥母线长即扇形半径为5，要求底面圆半径。首先回忆圆锥与侧面展开图的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥母线长。据此确定解题思路：先利用弧长公式计算扇形的弧长，再根据弧长与底面圆周长相等建立方程，求解即可得到底面圆半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为r。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），代入n=90°，R=5，得：
$l=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2}$
2. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，底面圆周长为$2π r$，列等式：
$2π r=\frac{5π}{2}$
3. 求解r：约去等式两边的π，得$2r=\frac{5}{2}$，解得$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算公式、圆的周长公式
【点评】
本题属于圆锥计算的基础常考题，核心考点是圆锥与侧面展开扇形的等量关系，只要掌握“扇形弧长等于底面圆周长”这一关键结论，熟记对应公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.(2025·宿迁宿城区期中)如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点.以点C为圆心,CE长为半径画圆,P是$\odot C$上一动点,F是边AD上一动点,连接AP.若Q是AP的中点,连接BF,FQ,则$BF+FQ$的最小值为 (
A.$2\sqrt{5}-2$
B.$2\sqrt{10}-1$
C.6
D.$4\sqrt{2}-2$
B
)A.$2\sqrt{5}-2$
B.$2\sqrt{10}-1$
C.6
D.$4\sqrt{2}-2$
答案
4.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①确定动点Q的轨迹：已知P在⊙C上运动，Q是AP的中点，根据位似变换的性质，Q的轨迹也是圆，可先求出该圆的圆心和半径；②转化最短路径：F是AD上的动点，要求BF+FQ的最小值，首先对任意F，FQ的最小值为F到Q轨迹圆圆心的距离减去半径，因此问题转化为求AD上一点F，使得BF与F到Q轨迹圆圆心的距离之和最小；③利用轴对称求最短距离：作B关于AD的对称点，两点之间线段最短即可求出距离和的最小值，最后减去半径得到最终结果。
【解析】
设正方形ABCD顶点坐标为$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$。
1. 求⊙C参数：E是BC中点，$BC=4$，故$CE=2$，即⊙C半径为2，圆心$C(4,4)$。
2. 求Q的轨迹：Q是AP中点，将⊙C以A为位似中心、位似比$\frac{1}{2}$缩小，得到Q的轨迹圆：圆心为$(2,2)$，半径$r=2×\frac{1}{2}=1$。
3. 求$BF+FO'$的最小值（$O'$为Q的轨迹圆圆心$(2,2)$）：
作点B关于AD（y轴）的对称点$B'(-4,0)$，由轴对称性质得$BF=B'F$，因此$BF+FO'=B'F+FO'$。
根据两点之间线段最短，$B'F+FO'$的最小值为线段$B'O'$的长度，计算得：
$B'O'=\sqrt{(2+4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
4. 求$BF+FQ$的最小值：
对任意点F，$FQ≥ FO'-r=FO'-1$，当且仅当Q在$FO'$线段上时取等号，因此：
$BF+FQ≥ BF+FO'-1≥2\sqrt{10}-1$
即$BF+FQ$的最小值为$2\sqrt{10}-1$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，位似变换，圆的基本性质
【点评】
本题将正方形、圆、动点最值结合考查，解题的突破口是通过位似变换确定中点Q的运动轨迹，再将双动点最值问题转化为熟悉的轴对称最短路径模型，体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.5
解题思路可分为三步：①确定动点Q的轨迹：已知P在⊙C上运动，Q是AP的中点，根据位似变换的性质，Q的轨迹也是圆，可先求出该圆的圆心和半径；②转化最短路径：F是AD上的动点，要求BF+FQ的最小值，首先对任意F，FQ的最小值为F到Q轨迹圆圆心的距离减去半径，因此问题转化为求AD上一点F，使得BF与F到Q轨迹圆圆心的距离之和最小；③利用轴对称求最短距离：作B关于AD的对称点，两点之间线段最短即可求出距离和的最小值，最后减去半径得到最终结果。
【解析】
设正方形ABCD顶点坐标为$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,4)$，$D(0,4)$。
1. 求⊙C参数：E是BC中点，$BC=4$，故$CE=2$，即⊙C半径为2，圆心$C(4,4)$。
2. 求Q的轨迹：Q是AP中点，将⊙C以A为位似中心、位似比$\frac{1}{2}$缩小，得到Q的轨迹圆：圆心为$(2,2)$，半径$r=2×\frac{1}{2}=1$。
3. 求$BF+FO'$的最小值（$O'$为Q的轨迹圆圆心$(2,2)$）：
作点B关于AD（y轴）的对称点$B'(-4,0)$，由轴对称性质得$BF=B'F$，因此$BF+FO'=B'F+FO'$。
根据两点之间线段最短，$B'F+FO'$的最小值为线段$B'O'$的长度，计算得：
$B'O'=\sqrt{(2+4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
4. 求$BF+FQ$的最小值：
对任意点F，$FQ≥ FO'-r=FO'-1$，当且仅当Q在$FO'$线段上时取等号，因此：
$BF+FQ≥ BF+FO'-1≥2\sqrt{10}-1$
即$BF+FQ$的最小值为$2\sqrt{10}-1$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，位似变换，圆的基本性质
【点评】
本题将正方形、圆、动点最值结合考查，解题的突破口是通过位似变换确定中点Q的运动轨迹，再将双动点最值问题转化为熟悉的轴对称最短路径模型，体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.5
5.(2025·宜宾)如图，∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC=
50
°.答案
5.50
解析
【分析】
解题时先根据圆周角定理，找到同弧所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的数量关系，求出∠BOC的度数；再结合圆的半径相等，得到△OBC是等腰三角形，最后利用三角形内角和定理计算∠OBC的度数即可。
【解析】
∵ ∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC
∵ ∠BAC = 40°
∴ ∠BOC = 2×40° = 80°
∵ OB、OC都是⊙O的半径
∴ OB = OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 80°)÷2 = 50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质，将圆周角和圆心角的关系、等腰三角形角度计算结合起来求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先根据圆周角定理，找到同弧所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的数量关系，求出∠BOC的度数；再结合圆的半径相等，得到△OBC是等腰三角形，最后利用三角形内角和定理计算∠OBC的度数即可。
【解析】
∵ ∠BAC是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC
∵ ∠BAC = 40°
∴ ∠BOC = 2×40° = 80°
∵ OB、OC都是⊙O的半径
∴ OB = OC，即△OBC为等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 80°)÷2 = 50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质，将圆周角和圆心角的关系、等腰三角形角度计算结合起来求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.(2025·宿迁宿城区期中)如图,正六边形ABCDEF的边长为2 cm,P为这个正六边形内部的一个动点,则点P到这个正六边形各边的距离之和为
6√3
cm.答案
6.6√3
解析
【分析】
解题时可采用两种思路：①面积法：正六边形的面积等于点P连接各顶点分割出的6个三角形的面积之和，每个三角形的底为正六边形的边长，高为点P到对应边的距离，通过面积相等即可求出距离之和；②平行线性质法：正六边形有3组平行对边，点到一组平行对边的距离之和等于该组对边的间距，计算出单组对边间距后乘3即可得到结果。
【解析】
解法1：面积法
正六边形边长为2cm，可拆分为6个边长为2cm的等边三角形，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$，因此正六边形总面积$S=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$。
设点P到六条边的距离分别为$h_1、h_2、h_3、h_4、h_5、h_6$，连接PA、PB、PC、PD、PE、PF，正六边形面积等于6个小三角形的面积和：
$S=\frac{1}{2}× AB × h_1 + \frac{1}{2}× BC × h_2 + \dots + \frac{1}{2}× FA × h_6$
代入各边长为2cm，得：
$6\sqrt{3} = \frac{1}{2}×2×(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6)$
解得$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$。
解法2：平行线性质法
正六边形共有3组互相平行的对边，点在两条平行线之间时，到两条线的距离之和等于平行线间的固定距离。
正六边形的边心距（中心到边的距离）为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$，因此一组对边的间距为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$。
总距离和为$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质，面积法，平行线间的距离
【点评】
本题将动点距离求和问题转化为定值计算，核心是灵活运用正六边形的性质，结合面积法或平行线距离的定值特点简化计算，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时可采用两种思路：①面积法：正六边形的面积等于点P连接各顶点分割出的6个三角形的面积之和，每个三角形的底为正六边形的边长，高为点P到对应边的距离，通过面积相等即可求出距离之和；②平行线性质法：正六边形有3组平行对边，点到一组平行对边的距离之和等于该组对边的间距，计算出单组对边间距后乘3即可得到结果。
【解析】
解法1：面积法
正六边形边长为2cm，可拆分为6个边长为2cm的等边三角形，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$，因此正六边形总面积$S=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$。
设点P到六条边的距离分别为$h_1、h_2、h_3、h_4、h_5、h_6$，连接PA、PB、PC、PD、PE、PF，正六边形面积等于6个小三角形的面积和：
$S=\frac{1}{2}× AB × h_1 + \frac{1}{2}× BC × h_2 + \dots + \frac{1}{2}× FA × h_6$
代入各边长为2cm，得：
$6\sqrt{3} = \frac{1}{2}×2×(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6)$
解得$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$。
解法2：平行线性质法
正六边形共有3组互相平行的对边，点在两条平行线之间时，到两条线的距离之和等于平行线间的固定距离。
正六边形的边心距（中心到边的距离）为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$，因此一组对边的间距为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$。
总距离和为$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质，面积法，平行线间的距离
【点评】
本题将动点距离求和问题转化为定值计算，核心是灵活运用正六边形的性质，结合面积法或平行线距离的定值特点简化计算，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
7.(2025·宿迁宿城新区教学共同体期末)若圆弧所在圆的半径为12,所对的圆心角为$150°$,则这条弧的长为
10π
.答案
7.10π
解析
【分析】
本题考查弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的弧长计算公式，明确公式中各量的含义：n为弧所对圆心角的度数，r为弧所在圆的半径，l为弧长。再从题干中提取已知条件：圆心角$n=150°$，半径$r=12$，最后将已知量代入公式计算即可得到弧长。弧长公式本质是圆心角占周角的比例乘以圆的周长，理解这个推导逻辑能避免记错公式。
【解析】
解：角度制下的弧长公式为：
$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
由题意得$n=150$，$r=12$，代入公式：
$l=\frac{150×π×12}{180}$
约分计算：先约去150和180的最大公因数30，得$\frac{5×π×12}{6}$，再约去6得$5×π×2=10π$。
【答案】
$10π$
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的应用，解题关键是熟记公式，准确提取题干已知条件代入计算，计算时优先约分再求值可以降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的弧长计算公式，明确公式中各量的含义：n为弧所对圆心角的度数，r为弧所在圆的半径，l为弧长。再从题干中提取已知条件：圆心角$n=150°$，半径$r=12$，最后将已知量代入公式计算即可得到弧长。弧长公式本质是圆心角占周角的比例乘以圆的周长，理解这个推导逻辑能避免记错公式。
【解析】
解：角度制下的弧长公式为：
$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
由题意得$n=150$，$r=12$，代入公式：
$l=\frac{150×π×12}{180}$
约分计算：先约去150和180的最大公因数30，得$\frac{5×π×12}{6}$，再约去6得$5×π×2=10π$。
【答案】
$10π$
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的应用，解题关键是熟记公式，准确提取题干已知条件代入计算，计算时优先约分再求值可以降低出错概率。
【难度系数】
0.9
