8.(2025·宿迁宿豫区二模)如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，且$∠ BAC=56°$.若D是$\odot O$上的一个动点(不与点A，C重合)，则$∠ ADC$的度数为.

8.34°或146°

9.(2025·宿迁沭阳县一模)如图,在矩形ABCD中,AB=4√3,BC=4,动点E,F分别从点A,C同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动,过点E,F作直线l,过点A作直线l的垂线,垂足为G,连接DG,则DG的最大值为.

9.2+2√3

三、解答题(共46分)
10.(15分)(2025·安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证:OC//AD；
(2)若AD=2，BC=2√3，求AB的长.

10.(1)证明:$\because OC=OB,\therefore ∠OBC=∠OCB,$
$\therefore ∠AOC=∠OBC+∠OCB=2∠ABC.$
$\because ∠DAB+2∠ABC=180°,$
$\therefore ∠DAB+∠AOC=180°,∴OC// AD.$
(2)解:如答图,连接BD,交OC于点E.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ADB=90°$,即$AD⊥BD.$
$\because OC// AD,\therefore OC⊥BD,\therefore E$为BD的中点.
又$\because O$是AB的中点,$\therefore OE$是$△ ABD$的中位线,
$\therefore OE=\frac{1}{2}AD=1.$
设半圆的半径为r,则$CE=r-1.$
由勾股定理,知$OB^2-OE^2=BE^2=BC^2-CE^2,$
即$r^2-1=(2\sqrt{3})^2-(r-1)^2,$
解得$r_1=3,r_2=-2$(舍去),$\therefore AB=2r=6.$

11.(15分)在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1)如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F.求证：$∠1=∠2$.
(2)在图②中作$\odot M$，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切.
(尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)

11.(1)证明:如答图①,连接OF.
$\because AC$是$\odot O$的切线,$\therefore OF⊥AC.$
$\because ∠C=90°,\therefore OF// BC,\therefore ∠1=∠OFB.$
$\because OF=OB,\therefore ∠OFB=∠2,\therefore ∠1=∠2.$
(2)解:如答图②,$\odot M$为所求.

12.(16分)(2025·宿迁)如图,点A在$\odot O$上,点B在$\odot O$外,线段OB与$\odot O$交于点C,过点C作$\odot O$的切线交直线AB于点D,且$AD=CD$.
(1)判断直线AB与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠ B=30°,CD=4$,求图中阴影部分的面积.

12.解:(1)直线AB与$\odot O$相切.理由:如答图,连接OA,OD,

$\because$直线CD与$\odot O$相切,$\therefore OC⊥CD,\therefore ∠OCD=90°.$
在$△ OAD$和$△ OCD$中,$\begin{cases} OA=OC,\\ OD=OD,\\ AD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ OAD≌△ OCD(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠OAD=∠OCD=90°,\therefore OA⊥AD.$
又$\because$点A在$\odot O$上,$\therefore$直线AB与$\odot O$相切.
(2)由(1)得$△ OAD≌△ OCD,∠OAD=∠OCD=90°,$
$\therefore ∠AOD=∠COD,S_{△ OAD}=S_{△ OCD}.$
$\because ∠B=30°,\therefore ∠AOC=60°,$
$\therefore ∠AOD=∠COD=30°,\therefore OD=2CD=8,$
$\therefore OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3},$
$\therefore S_{△ OAD}=S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3},$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OAD}+S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π.$