登录
1.(2025·宿迁宿豫区期中)如图,PA,PB是$\odot O$的切线,切点分别为A,B.若$∠ P=60°$,$△ PAB$的周长为9,则$\odot O$的直径为 (
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
C
)A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先从切线长的条件切入：①根据切线长定理可得PA=PB，结合∠P=60°可判定△PAB为等边三角形，结合周长可求出切线长PA的长度；②连接OA、OP，利用切线的性质得OA⊥PA，再由切线长定理可知OP平分∠APB，得到Rt△OAP中∠APO=30°，最后通过解直角三角形求出半径OA，即可得到圆的直径。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴PA=PB
又
∵∠P=60°
∴△PAB是等边三角形
∵△PAB的周长为9
∴$PA=9÷3=3$
连接OA、OP
∵PA是$\odot O$的切线
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴OP平分∠APB
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$
在Rt△OAP中，$\tan∠ APO=\frac{OA}{PA}$
∴$OA=PA·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
∴$\odot O$的直径为$2OA=2\sqrt{3}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，核心是利用切线相关性质得到线段和角度的关系，结合特殊三角形的性质求解，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时首先从切线长的条件切入：①根据切线长定理可得PA=PB，结合∠P=60°可判定△PAB为等边三角形，结合周长可求出切线长PA的长度；②连接OA、OP，利用切线的性质得OA⊥PA，再由切线长定理可知OP平分∠APB，得到Rt△OAP中∠APO=30°，最后通过解直角三角形求出半径OA，即可得到圆的直径。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴PA=PB
又
∵∠P=60°
∴△PAB是等边三角形
∵△PAB的周长为9
∴$PA=9÷3=3$
连接OA、OP
∵PA是$\odot O$的切线
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴OP平分∠APB
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$
在Rt△OAP中，$\tan∠ APO=\frac{OA}{PA}$
∴$OA=PA·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
∴$\odot O$的直径为$2OA=2\sqrt{3}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，核心是利用切线相关性质得到线段和角度的关系，结合特殊三角形的性质求解，解题的关键是合理作出辅助线构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
2.(2025·自贡)PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,点C在$\odot O$上,不与点A,B重合.若$∠ P=80°$,则$∠ ACB$的度数为 (
A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
D
)A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB构造直角，再利用四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数。接下来注意点C在圆周上的位置有两种可能：在优弧AB上或在劣弧AB上，需结合圆周角定理分两种情况计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
①若点C在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②若点C在劣弧AB上，此时优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，易错点是忽略点C的位置有两种情况，仅算出其中一个角度导致错选。解题时要注意仔细审题，明确无特殊说明时点在圆周上的位置存在多种可能，熟练运用切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB构造直角，再利用四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数。接下来注意点C在圆周上的位置有两种可能：在优弧AB上或在劣弧AB上，需结合圆周角定理分两种情况计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
①若点C在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②若点C在劣弧AB上，此时优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，易错点是忽略点C的位置有两种情况，仅算出其中一个角度导致错选。解题时要注意仔细审题，明确无特殊说明时点在圆周上的位置存在多种可能，熟练运用切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.6
3.(2025·宿迁泗洪县期中)如图，PA，PB，DE分别切$\odot O$于点A，B，C，如果PA=10 cm，则△PDE的周长为
20
cm.答案
3.20
解析
【分析】
本题考查切线长定理的应用，解题思路如下：首先观察图形可知存在多组圆外一点引圆的两条切线的情况，优先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。据此可得到三组相等的线段：PA=PB，AD=CD，BE=CE。接下来将△PDE的周长拆分，通过等量替换转化为PA与PB的和，代入已知PA的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴由切线长定理可得：$PB=PA=10\mathrm{cm}$。
又
∵DE切$\odot O$于点C，DA、DC是从D点引$\odot O$的两条切线，EB、EC是从E点引$\odot O$的两条切线，
∴$DC=DA$，$EC=EB$。
△PDE的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PDE}&=PD + DE + PE\\&=PD + DC + CE + PE\\&=PD + DA + PE + EB\\&=(PD+DA)+(PE+EB)\\&=PA + PB\\&=10 + 10\\&=20(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是利用切线长相等的性质，将三角形的周长转化为两条已知切线长的和，解题时注意线段的等量替换技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查切线长定理的应用，解题思路如下：首先观察图形可知存在多组圆外一点引圆的两条切线的情况，优先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。据此可得到三组相等的线段：PA=PB，AD=CD，BE=CE。接下来将△PDE的周长拆分，通过等量替换转化为PA与PB的和，代入已知PA的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴由切线长定理可得：$PB=PA=10\mathrm{cm}$。
又
∵DE切$\odot O$于点C，DA、DC是从D点引$\odot O$的两条切线，EB、EC是从E点引$\odot O$的两条切线，
∴$DC=DA$，$EC=EB$。
△PDE的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PDE}&=PD + DE + PE\\&=PD + DC + CE + PE\\&=PD + DA + PE + EB\\&=(PD+DA)+(PE+EB)\\&=PA + PB\\&=10 + 10\\&=20(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是利用切线长相等的性质，将三角形的周长转化为两条已知切线长的和，解题时注意线段的等量替换技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.(2025·南京鼓楼区期中)如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别为P，C，D.若AB=5，AC=3，则BD的长为
2
.答案
4.2
解析
【分析】
本题可根据切线长定理解题，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先确定从点A引出的两条切线为AC、AP，可得AC与AP长度相等；再确定从点B引出的两条切线为BP、BD，可得BP与BD长度相等。结合AB=AP+BP的线段和关系，代入已知长度即可求出BD的长。
【解析】
∵ AC、AP是$\odot O$的切线，切点分别为C、P，根据切线长定理，
∴ $AC = AP = 3$，
∵ BP、BD是$\odot O$的切线，切点分别为P、D，根据切线长定理，
∴ $BD = BP$，
又
∵ $AB = AP + BP = 5$，
∴ $BP = AB - AP = 5 - 3 = 2$，
∴ $BD = BP = 2$。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是找准同一点向圆引出的两条切线，利用切线长相等的性质做等量代换，结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
本题可根据切线长定理解题，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先确定从点A引出的两条切线为AC、AP，可得AC与AP长度相等；再确定从点B引出的两条切线为BP、BD，可得BP与BD长度相等。结合AB=AP+BP的线段和关系，代入已知长度即可求出BD的长。
【解析】
∵ AC、AP是$\odot O$的切线，切点分别为C、P，根据切线长定理，
∴ $AC = AP = 3$，
∵ BP、BD是$\odot O$的切线，切点分别为P、D，根据切线长定理，
∴ $BD = BP$，
又
∵ $AB = AP + BP = 5$，
∴ $BP = AB - AP = 5 - 3 = 2$，
∴ $BD = BP = 2$。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的关键是找准同一点向圆引出的两条切线，利用切线长相等的性质做等量代换，结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
5.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)作一个圆,使圆心O在AC边上,且与AB,BC所在的直线相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求(1)中所作的$\odot O$的半径.
(1)作一个圆,使圆心O在AC边上,且与AB,BC所在的直线相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求(1)中所作的$\odot O$的半径.
答案
5.解:(1)如答图,
$\odot O$即为所求.(2)设$\odot O$切AB 于点D,$\odot O$的半径为r,连接OD,如答图所示.
$\because \mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°,AC=6,BC=8,\therefore AB=10.$
$\because BA,BC$切$\odot O$于点D,C,
$\therefore BD=BC=8,∠ADO=90°,\therefore AD=AB-BD=2.$
在$\mathrm{Rt}△ADO$中,由勾股定理,得$AD^2+DO^2=OA^2$,即$2^2+r^2=(6-r)^2$,解得$r=\frac{8}{3}$,$\therefore \odot O$的半径为$\frac{8}{3}$.
解析
【分析】
(1) 作图思路：要作满足条件的圆，需同时满足两个要求：①圆心在AC边上；②圆与AB、BC都相切。根据切线的性质，圆心到两条切线的距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等，可知圆心O是∠ABC的角平分线与AC的交点，再以O为圆心、OC长为半径作圆即可。
(2) 计算思路：先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；再根据切线长定理得到BD=BC，进而求出AD的长度；设圆的半径为r，用含r的式子表示OA的长度，最后在Rt△ADO中利用勾股定理列方程求解r。
【解析】
(1) 作∠ABC的角平分线，交AC于点O，以O为圆心、OC为半径作圆，即为所求的⊙O。
(2) 设$\odot O$的半径为$r$，$\odot O$切AB于点D，连接OD：
① 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
② 因为$BA$、$BC$都是$\odot O$的切线，切点分别为D、C，根据切线长定理得$BD=BC=8$，且$OD⊥ AB$，即$∠ ADO=90°$。
所以$AD=AB-BD=10-8=2$，$OA=AC-OC=6-r$。
③ 在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得$AD^2+DO^2=OA^2$，代入得：
$2^2+r^2=(6-r)^2$
展开化简得：$4+r^2=36-12r+r^2$，解得$r=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) 如答图，$\odot O$即为所求。
(2) $\odot O$的半径为$\frac{8}{3}$。
【知识点】
角平分线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题结合了尺规作图和几何计算，既考查了基础作图技能，又考查了切线相关性质与方程思想在几何计算中的应用，属于圆与三角形结合的基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：要作满足条件的圆，需同时满足两个要求：①圆心在AC边上；②圆与AB、BC都相切。根据切线的性质，圆心到两条切线的距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等，可知圆心O是∠ABC的角平分线与AC的交点，再以O为圆心、OC长为半径作圆即可。
(2) 计算思路：先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；再根据切线长定理得到BD=BC，进而求出AD的长度；设圆的半径为r，用含r的式子表示OA的长度，最后在Rt△ADO中利用勾股定理列方程求解r。
【解析】
(1) 作∠ABC的角平分线，交AC于点O，以O为圆心、OC为半径作圆，即为所求的⊙O。
(2) 设$\odot O$的半径为$r$，$\odot O$切AB于点D，连接OD：
① 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
② 因为$BA$、$BC$都是$\odot O$的切线，切点分别为D、C，根据切线长定理得$BD=BC=8$，且$OD⊥ AB$，即$∠ ADO=90°$。
所以$AD=AB-BD=10-8=2$，$OA=AC-OC=6-r$。
③ 在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得$AD^2+DO^2=OA^2$，代入得：
$2^2+r^2=(6-r)^2$
展开化简得：$4+r^2=36-12r+r^2$，解得$r=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) 如答图，
$\odot O$即为所求。(2) $\odot O$的半径为$\frac{8}{3}$。
【知识点】
角平分线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题结合了尺规作图和几何计算，既考查了基础作图技能，又考查了切线相关性质与方程思想在几何计算中的应用，属于圆与三角形结合的基础综合题。
【难度系数】
0.7
6.如图，$\odot O$内切于四边形$ABCD$，$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$，则$AD$的长度为（
A.8
B.9
C.10
D.11
D
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
6.D
解析
【分析】
看到⊙O内切于四边形ABCD，可知四边形ABCD是圆的外切四边形，回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等。我们可以利用该性质列出关于AD的等式，代入已知边长即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵⊙O内切于四边形ABCD
∴四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：
$AB + CD = AD + BC$
将$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$代入上式：
$10 + 8 = AD + 7$
解得：$AD=11$
【答案】
D
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟记圆外切四边形对边和相等的性质，代入数值计算即可，计算时注意对边不要对应错误。
【难度系数】
0.8
看到⊙O内切于四边形ABCD，可知四边形ABCD是圆的外切四边形，回忆圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等。我们可以利用该性质列出关于AD的等式，代入已知边长即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵⊙O内切于四边形ABCD
∴四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：
$AB + CD = AD + BC$
将$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$代入上式：
$10 + 8 = AD + 7$
解得：$AD=11$
【答案】
D
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟记圆外切四边形对边和相等的性质，代入数值计算即可，计算时注意对边不要对应错误。
【难度系数】
0.8
