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7. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot M$与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交$\odot M$于P,Q两点,点P在点Q的右边,若点P的坐标为$(-1,3)$,则点Q的坐标是 (
A.$(-9,3)$
B.$(-10,3)$
C.$(-9,1)$
D.$(-9,4)$
A
)A.$(-9,3)$
B.$(-10,3)$
C.$(-9,1)$
D.$(-9,4)$
答案
7.A
8.如图，$\odot O$的半径为5，圆心O到直线$l$的距离为6，P为直线$l$上一动点，过点P作$\odot O$的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为
$\sqrt{11}$
。答案
8.$\sqrt{11}$
9.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB边的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作$\odot P$.当$\odot P$与正方形ABCD的边相切时,BP的长为
3或$4\sqrt{3}$
.答案
9.3或$4\sqrt{3}$
10.(2025·宿迁沭阳县一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D,交AB于点E.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BE=1,BD=2,求AB的长.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BE=1,BD=2,求AB的长.
答案
10.(1)证明:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAB=∠DAC.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD//AC,
∴∠ODB=∠C=90°,即BC⊥OD.
又
∵点D在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线.
(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r,OB=r+1,
在Rt△OBD中,由勾股定理,得$r^2+2^2=(r+1)^2$,解得$r=\frac{3}{2}$,
∴AB=2r+1=4.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAB=∠DAC.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD//AC,
∴∠ODB=∠C=90°,即BC⊥OD.
又
∵点D在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线.
(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r,OB=r+1,
在Rt△OBD中,由勾股定理,得$r^2+2^2=(r+1)^2$,解得$r=\frac{3}{2}$,
∴AB=2r+1=4.
11.(2025·山东)如图,在△OAB中,点A在⊙O上,边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
答案
11.(1)证明:
∵AD⊥OB于点D,
∴∠ADB=90°.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC,
∠OCA=∠B+∠BAC,
∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC,
∴∠OAD=∠B,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°.
∵OA是⊙O的半径,且AB⊥OA,
∴AB为⊙O的切线.
(2)解:
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$,
∴CB=OB−OC=$2\sqrt{2}−2$.
∵AD⊥OB于点D,
∴∠ADB=90°.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC,
∠OCA=∠B+∠BAC,
∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC,
∴∠OAD=∠B,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°.
∵OA是⊙O的半径,且AB⊥OA,
∴AB为⊙O的切线.
(2)解:
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$,
∴CB=OB−OC=$2\sqrt{2}−2$.
