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课堂精要·梳理内容
二次函数
$y=a(x-h)^2$
$a＞0,h＞0$
$a＜0,h＜0$
图象
开口方向
对称轴 图1
顶点坐标
增减性
最值
二次函数
$y=a(x-h)^2$
$a＞0,h＞0$
$a＜0,h＜0$
图象
开口方向
对称轴 图1
顶点坐标
增减性
最值
答案
开口方向：a＞0时向上，a＜0时向下
对称轴：均为直线$x=h$
顶点坐标：均为$(h,0)$
增减性：$a＞0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；$a＜0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：$a＞0$时，当$x=h$时，$y$有最小值0；$a＜0$时，当$x=h$时，$y$有最大值0
对称轴：均为直线$x=h$
顶点坐标：均为$(h,0)$
增减性：$a＞0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；$a＜0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：$a＞0$时，当$x=h$时，$y$有最小值0；$a＜0$时，当$x=h$时，$y$有最大值0
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数顶点式的性质逐步分析：①首先明确参数a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下；②再从顶点式$y=a(x-h)^2$的结构特征出发，直接确定对称轴为直线$x=h$，代入$x=h$可求得顶点纵坐标为0，即可得到顶点坐标；③结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下时增减性相反；④最后结合开口方向判断最值：开口向上时顶点为最低点，有最小值；开口向下时顶点为最高点，有最大值，顶点纵坐标即为最值。
【解析】
我们分维度分析两种情况的函数性质：
1. 开口方向：
二次函数开口方向由a的符号决定：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下。
2. 对称轴：
对于顶点式$y=a(x-h)^2$，无论a、h的符号如何，对称轴均为直线$x=h$。
3. 顶点坐标：
将$x=h$代入解析式得$y=0$，因此两种情况的顶点坐标均为$(h,0)$。
4. 增减性：
当$a＞0$时，抛物线开口向上：在对称轴左侧（$x＜h$），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$），y随x的增大而增大。
当$a＜0$时，抛物线开口向下：在对称轴左侧（$x＜h$），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），y随x的增大而减小。
5. 最值：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是图象最低点，因此$x=h$时，y取得最小值0；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是图象最高点，因此$x=h$时，y取得最大值0。
【答案】
开口方向：a＞0时向上，a＜0时向下
对称轴：均为直线$x=h$
顶点坐标：均为$(h,0)$
增减性：$a＞0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；$a＜0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：$a＞0$时，当$x=h$时，$y$有最小值0；$a＜0$时，当$x=h$时，$y$有最大值0
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中参数a、h对函数图象和性质的影响，熟练掌握该部分内容能为后续学习更复杂的二次函数形式打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合二次函数顶点式的性质逐步分析：①首先明确参数a的符号决定开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下；②再从顶点式$y=a(x-h)^2$的结构特征出发，直接确定对称轴为直线$x=h$，代入$x=h$可求得顶点纵坐标为0，即可得到顶点坐标；③结合开口方向和对称轴判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下时增减性相反；④最后结合开口方向判断最值：开口向上时顶点为最低点，有最小值；开口向下时顶点为最高点，有最大值，顶点纵坐标即为最值。
【解析】
我们分维度分析两种情况的函数性质：
1. 开口方向：
二次函数开口方向由a的符号决定：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下。
2. 对称轴：
对于顶点式$y=a(x-h)^2$，无论a、h的符号如何，对称轴均为直线$x=h$。
3. 顶点坐标：
将$x=h$代入解析式得$y=0$，因此两种情况的顶点坐标均为$(h,0)$。
4. 增减性：
当$a＞0$时，抛物线开口向上：在对称轴左侧（$x＜h$），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$），y随x的增大而增大。
当$a＜0$时，抛物线开口向下：在对称轴左侧（$x＜h$），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），y随x的增大而减小。
5. 最值：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是图象最低点，因此$x=h$时，y取得最小值0；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是图象最高点，因此$x=h$时，y取得最大值0。
【答案】
开口方向：a＞0时向上，a＜0时向下
对称轴：均为直线$x=h$
顶点坐标：均为$(h,0)$
增减性：$a＞0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；$a＜0$时，当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：$a＞0$时，当$x=h$时，$y$有最小值0；$a＜0$时，当$x=h$时，$y$有最大值0
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中参数a、h对函数图象和性质的影响，熟练掌握该部分内容能为后续学习更复杂的二次函数形式打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
1. 抛物线$y=(x-3)^2$的对称轴是直线(
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x=4$
C
)。A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x=4$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的对称轴性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式以及各参数的几何意义，再将题干给出的抛物线解析式和标准顶点式做对比，找到对应参数h的取值，最后根据“顶点式抛物线的对称轴为直线x=h”的结论直接得出对称轴，匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中该抛物线的对称轴为直线$x=h$。
题干中抛物线解析式为$y=(x-3)^2$，对比顶点式可得$h=3$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础题，核心考查对顶点式中参数几何意义的掌握，熟记相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的对称轴性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式以及各参数的几何意义，再将题干给出的抛物线解析式和标准顶点式做对比，找到对应参数h的取值，最后根据“顶点式抛物线的对称轴为直线x=h”的结论直接得出对称轴，匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中该抛物线的对称轴为直线$x=h$。
题干中抛物线解析式为$y=(x-3)^2$，对比顶点式可得$h=3$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础题，核心考查对顶点式中参数几何意义的掌握，熟记相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线 $y=2(x-1)^2$ 的顶点坐标是(
A.(1,0)
B.(-1,2)
C.(2,1)
D.(-1,0)
A
)。A.(1,0)
B.(-1,2)
C.(2,1)
D.(-1,0)
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先观察给出的二次函数解析式属于顶点式形式，先回忆二次函数顶点式的结构：$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $的顶点坐标为$(h,k)$，核心注意$h$的符号是括号内$x$减去的数，不要把符号搞反。接下来对照题干中的解析式找到对应的$h$和$k$的值，即可得到顶点坐标，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $，其顶点坐标为$(h,k)$。
将抛物线$ y=2(x-1)^2 $与顶点式对比：解析式可变形为$ y=2(x-1)^2+0 $，可得$h=1$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数顶点式的应用，熟练掌握顶点式参数和顶点坐标的对应关系即可快速解题，注意不要混淆顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察给出的二次函数解析式属于顶点式形式，先回忆二次函数顶点式的结构：$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $的顶点坐标为$(h,k)$，核心注意$h$的符号是括号内$x$减去的数，不要把符号搞反。接下来对照题干中的解析式找到对应的$h$和$k$的值，即可得到顶点坐标，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $，其顶点坐标为$(h,k)$。
将抛物线$ y=2(x-1)^2 $与顶点式对比：解析式可变形为$ y=2(x-1)^2+0 $，可得$h=1$，$k=0$，因此该抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数顶点式的应用，熟练掌握顶点式参数和顶点坐标的对应关系即可快速解题，注意不要混淆顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.9
3. 抛物线 $y=x^2$ 通过平移得到 $y=(x+3)^2$，则下列平移方式正确的是(
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
C
)。A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
答案
3.C
解析
【分析】
要解决二次函数图象平移的问题，我们可以通过两种思路分析：一是对比平移前后抛物线的顶点坐标，顶点的平移方式就是整个抛物线的平移方式；二是利用二次函数平移的通用口诀“左加右减，上加下减”判断，其中“左加右减”针对自变量x的变化，“上加下减”针对函数整体的常数项变化。本题先分别写出两个抛物线的顶点坐标，或者直接观察自变量的变化即可得出平移方式。
【解析】
方法1：顶点坐标法
抛物线$y=x^2$是顶点式，顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=(x+3)^2$也是顶点式，顶点坐标为$(-3,0)$。
从点$(0,0)$到点$(-3,0)$，横坐标减少了3，纵坐标不变，即点向左平移了3个单位长度，因此抛物线整体向左平移3个单位长度。
方法2：口诀法
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律：
自变量$x$加上某个正数，对应图象向左平移对应单位长度；自变量$x$减去某个正数，对应图象向右平移对应单位长度；
函数整体加上某个正数，对应图象向上平移对应单位长度；函数整体减去某个正数，对应图象向下平移对应单位长度。
本题中平移后$x$变为$x+3$，属于给自变量加3，因此对应向左平移3个单位长度。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的核心是熟练掌握平移口诀，注意区分针对自变量的水平平移和针对函数值的竖直平移的规律差异，避免混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.85
要解决二次函数图象平移的问题，我们可以通过两种思路分析：一是对比平移前后抛物线的顶点坐标，顶点的平移方式就是整个抛物线的平移方式；二是利用二次函数平移的通用口诀“左加右减，上加下减”判断，其中“左加右减”针对自变量x的变化，“上加下减”针对函数整体的常数项变化。本题先分别写出两个抛物线的顶点坐标，或者直接观察自变量的变化即可得出平移方式。
【解析】
方法1：顶点坐标法
抛物线$y=x^2$是顶点式，顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=(x+3)^2$也是顶点式，顶点坐标为$(-3,0)$。
从点$(0,0)$到点$(-3,0)$，横坐标减少了3，纵坐标不变，即点向左平移了3个单位长度，因此抛物线整体向左平移3个单位长度。
方法2：口诀法
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律：
自变量$x$加上某个正数，对应图象向左平移对应单位长度；自变量$x$减去某个正数，对应图象向右平移对应单位长度；
函数整体加上某个正数，对应图象向上平移对应单位长度；函数整体减去某个正数，对应图象向下平移对应单位长度。
本题中平移后$x$变为$x+3$，属于给自变量加3，因此对应向左平移3个单位长度。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的核心是熟练掌握平移口诀，注意区分针对自变量的水平平移和针对函数值的竖直平移的规律差异，避免混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.85
4.在平面直角坐标系中，二次函数$y=2(x-1)^2$的图象可能是（
B
）。答案
4.B
解析
【分析】
解题时可结合二次函数顶点式的性质逐步排除错误选项：第一步先看二次项系数的符号确定开口方向，排除开口方向不符的选项；第二步根据顶点式确定顶点坐标，排除顶点位置不符的选项；第三步代入特殊值（如x=0）判断抛物线与y轴的交点位置，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-1)^2$：
1. 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，选项D开口向下，排除D；
2. 该函数为顶点式，对应顶点坐标为$(1,0)$，即顶点在x轴正半轴，选项A的顶点在原点$(0,0)$，不符合特征，排除A；
3. 令$x=0$，代入得$y=2×(0-1)^2=2$，即抛物线与y轴交于正半轴的$(0,2)$处，选项C的抛物线过原点$(0,0)$，不符合，排除C。
综上只有选项B符合函数图像特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的图像
【点评】
本题属于二次函数图像判断的基础题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式中各参数对图像的影响，通过开口方向、顶点位置、特殊点坐标即可快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时可结合二次函数顶点式的性质逐步排除错误选项：第一步先看二次项系数的符号确定开口方向，排除开口方向不符的选项；第二步根据顶点式确定顶点坐标，排除顶点位置不符的选项；第三步代入特殊值（如x=0）判断抛物线与y轴的交点位置，进一步排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-1)^2$：
1. 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，选项D开口向下，排除D；
2. 该函数为顶点式，对应顶点坐标为$(1,0)$，即顶点在x轴正半轴，选项A的顶点在原点$(0,0)$，不符合特征，排除A；
3. 令$x=0$，代入得$y=2×(0-1)^2=2$，即抛物线与y轴交于正半轴的$(0,2)$处，选项C的抛物线过原点$(0,0)$，不符合，排除C。
综上只有选项B符合函数图像特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的图像
【点评】
本题属于二次函数图像判断的基础题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式中各参数对图像的影响，通过开口方向、顶点位置、特殊点坐标即可快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数$y=-(x-5)^2$，如果函数值$y$随着自变量$x$的增大而减小，那么$x$的取值范围是（
A.$x＞5$
B.$x＜5$
C.$x＞-5$
D.$x＜-5$
A
）。A.$x＞5$
B.$x＜5$
C.$x＞-5$
D.$x＜-5$
答案
5.A
解析
【分析】
解决这道题的思路是先从二次函数的顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的增减性规律判断y随x增大而减小的x范围：第一步，先看顶点式中二次项系数a的符号，确定开口方向；第二步，找出顶点式对应的对称轴；第三步，根据“开口向下的抛物线，对称轴右侧y随x增大而减小，左侧y随x增大而增大”的规律，确定对应的x取值范围。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-5)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2$的形式：
1. 确定开口方向：其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定对称轴：对称轴为直线$x=h=5$；
3. 分析增减性：开口向下的抛物线，在对称轴右侧，即$x＞5$时，函数值$y$随自变量$x$的增大而减小。
因此符合要求的x的取值范围是$x＞5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的增减性；抛物线的对称轴
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题核心是先通过解析式明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合开口方向判断对应的增减区间，熟练掌握二次函数的图象性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决这道题的思路是先从二次函数的顶点式入手，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的增减性规律判断y随x增大而减小的x范围：第一步，先看顶点式中二次项系数a的符号，确定开口方向；第二步，找出顶点式对应的对称轴；第三步，根据“开口向下的抛物线，对称轴右侧y随x增大而减小，左侧y随x增大而增大”的规律，确定对应的x取值范围。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x-5)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2$的形式：
1. 确定开口方向：其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定对称轴：对称轴为直线$x=h=5$；
3. 分析增减性：开口向下的抛物线，在对称轴右侧，即$x＞5$时，函数值$y$随自变量$x$的增大而减小。
因此符合要求的x的取值范围是$x＞5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的增减性；抛物线的对称轴
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题核心是先通过解析式明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合开口方向判断对应的增减区间，熟练掌握二次函数的图象性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6.将抛物线$y=(x+m)^2$向右平移2个单位长度后，对称轴是y轴，那么m的值是
2
。答案
6.2
解析
【分析】
解题核心是掌握二次函数图象的平移规律和顶点式抛物线的对称轴求法。首先回忆抛物线平移的“左加右减”规则（针对自变量x），可以先求出平移后的抛物线解析式，也可以直接平移原抛物线的对称轴；再根据平移后对称轴是y轴（即直线x=0）列方程，即可求解m的值。
【解析】
方法1：通过平移后解析式求解
抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线$y=(x+m)^2$向右平移2个单位长度后，所得新抛物线的解析式为：
$y=(x+m-2)^2$
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$，因此平移后抛物线的对称轴为直线$x=2-m$。
已知平移后对称轴是y轴，即直线$x=0$，可得方程：
$2-m=0$
解得$m=2$。
方法2：通过平移对称轴求解
原抛物线$y=(x+m)^2$为顶点式，其对称轴为直线$x=-m$。
抛物线向右平移2个单位长度，对称轴也向右平移2个单位长度，因此平移后对称轴为直线$x=-m+2$。
由平移后对称轴为y轴（$x=0$）可得方程：
$-m+2=0$
解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数图象平移的性质，解题时既可以通过平移后的解析式求对称轴，也可以直接平移原抛物线的对称轴列方程求解，熟练掌握平移规律和二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题核心是掌握二次函数图象的平移规律和顶点式抛物线的对称轴求法。首先回忆抛物线平移的“左加右减”规则（针对自变量x），可以先求出平移后的抛物线解析式，也可以直接平移原抛物线的对称轴；再根据平移后对称轴是y轴（即直线x=0）列方程，即可求解m的值。
【解析】
方法1：通过平移后解析式求解
抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线$y=(x+m)^2$向右平移2个单位长度后，所得新抛物线的解析式为：
$y=(x+m-2)^2$
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$，因此平移后抛物线的对称轴为直线$x=2-m$。
已知平移后对称轴是y轴，即直线$x=0$，可得方程：
$2-m=0$
解得$m=2$。
方法2：通过平移对称轴求解
原抛物线$y=(x+m)^2$为顶点式，其对称轴为直线$x=-m$。
抛物线向右平移2个单位长度，对称轴也向右平移2个单位长度，因此平移后对称轴为直线$x=-m+2$。
由平移后对称轴为y轴（$x=0$）可得方程：
$-m+2=0$
解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数图象平移的性质，解题时既可以通过平移后的解析式求对称轴，也可以直接平移原抛物线的对称轴列方程求解，熟练掌握平移规律和二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.某二次函数，当$x=5$时，有最大值0，其图象形状与函数$y=3x^2$的图象形状相同，则该二次函数的表达式为
$y=-3(x-5)^2$
。答案
7.$y=-3(x-5)^2$
解析
【分析】
求解本题优先选用二次函数顶点式分析：首先明确图象形状相同的二次函数，二次项系数的绝对值相等；再根据函数有最大值，可判断抛物线开口向下，即二次项系数为负，同时最大值对应的点就是抛物线的顶点，得到顶点坐标；最后将二次项系数和顶点坐标代入顶点式，即可求出函数表达式。
【解析】
1. 求二次项系数$a$：
∵ 二次函数图象形状与$y=3x^2$相同，
∴ 二次项系数的绝对值$|a|=3$。
又
∵ 当$x=5$时函数有最大值0，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$，即$a=-3$。
2. 确定顶点坐标：
函数在$x=5$处取得最大值0，因此抛物线的顶点坐标为$(5,0)$。
3. 代入顶点式求解：
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），将$a=-3$、$h=5$、$k=0$代入，得$y=-3(x-5)^2$。
【答案】
$y=-3(x-5)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是掌握图象形状和二次项系数的对应关系、最值与顶点及开口方向的关联，熟练运用顶点式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
求解本题优先选用二次函数顶点式分析：首先明确图象形状相同的二次函数，二次项系数的绝对值相等；再根据函数有最大值，可判断抛物线开口向下，即二次项系数为负，同时最大值对应的点就是抛物线的顶点，得到顶点坐标；最后将二次项系数和顶点坐标代入顶点式，即可求出函数表达式。
【解析】
1. 求二次项系数$a$：
∵ 二次函数图象形状与$y=3x^2$相同，
∴ 二次项系数的绝对值$|a|=3$。
又
∵ 当$x=5$时函数有最大值0，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$，即$a=-3$。
2. 确定顶点坐标：
函数在$x=5$处取得最大值0，因此抛物线的顶点坐标为$(5,0)$。
3. 代入顶点式求解：
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），将$a=-3$、$h=5$、$k=0$代入，得$y=-3(x-5)^2$。
【答案】
$y=-3(x-5)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是掌握图象形状和二次项系数的对应关系、最值与顶点及开口方向的关联，熟练运用顶点式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=-(x+2)^2$。
(1)完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)该函数图象的顶点坐标为
(3)结合图象，请直接写出当x取何值时，y的值随着x值的增大而减小。
(1)完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)该函数图象的顶点坐标为
$(-2,0)$
；(3)结合图象，请直接写出当x取何值时，y的值随着x值的增大而减小。
答案
8.解:(1)0 -1 -4 图象如图所示。
(2)$(-2,0)$
(3)当$x＞-2$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
解析
【分析】
本题围绕顶点式二次函数设置考点，解题思路清晰：
1. 第一问填表：直接将对应x值代入函数表达式$y=-(x+2)^2$计算即可得到y值，再通过描点、连线的方式画出函数图象；
2. 第二问求顶点坐标：回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将给定函数变形为标准顶点式，对应h、k的取值即可得到顶点坐标；
3. 第三问判断增减性：先根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合对称轴的位置，即可确定y随x增大而减小的区间。
【解析】
(1) 将x的取值分别代入函数$y=-(x+2)^2$计算：
当$x=-2$时，$y=-(-2+2)^2=0$；
当$x=-1$或$x=-3$时，$y=-(\pm1)^2=-1$；
当$x=0$或$x=-4$时，$y=-(\pm2)^2=-4$；
因此表中对应y值依次为0、-1、-4，描点后平滑连线得到函数图象。
(2) 二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应顶点坐标为$(h,k)$，题中函数可写为$y=-(x-(-2))^2+0$，对应$h=-2$，$k=0$，因此顶点坐标为$(-2,0)$。
(3) 该二次函数的二次项系数$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-2$，因此在对称轴右侧，即$x＞-2$时，y的值随x值的增大而减小。
【答案】
(1)0 -1 -4 图象如图所示。
(2)$(-2,0)$
(3)当$x＞-2$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、描点法绘图
【点评】
本题是二次函数的基础练习题，重点考查对顶点式二次函数基本性质的掌握，以及描点绘图的基本技能，熟练掌握顶点式各参数的意义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题围绕顶点式二次函数设置考点，解题思路清晰：
1. 第一问填表：直接将对应x值代入函数表达式$y=-(x+2)^2$计算即可得到y值，再通过描点、连线的方式画出函数图象；
2. 第二问求顶点坐标：回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，将给定函数变形为标准顶点式，对应h、k的取值即可得到顶点坐标；
3. 第三问判断增减性：先根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合对称轴的位置，即可确定y随x增大而减小的区间。
【解析】
(1) 将x的取值分别代入函数$y=-(x+2)^2$计算：
当$x=-2$时，$y=-(-2+2)^2=0$；
当$x=-1$或$x=-3$时，$y=-(\pm1)^2=-1$；
当$x=0$或$x=-4$时，$y=-(\pm2)^2=-4$；
因此表中对应y值依次为0、-1、-4，描点后平滑连线得到函数图象。
(2) 二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应顶点坐标为$(h,k)$，题中函数可写为$y=-(x-(-2))^2+0$，对应$h=-2$，$k=0$，因此顶点坐标为$(-2,0)$。
(3) 该二次函数的二次项系数$a=-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-2$，因此在对称轴右侧，即$x＞-2$时，y的值随x值的增大而减小。
【答案】
(1)0 -1 -4 图象如图所示。
(2)$(-2,0)$
(3)当$x＞-2$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、描点法绘图
【点评】
本题是二次函数的基础练习题，重点考查对顶点式二次函数基本性质的掌握，以及描点绘图的基本技能，熟练掌握顶点式各参数的意义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.若$A(-3,y_1),B(0,y_2),C(1,y_3)$是抛物线$y=3(x+2)^2$上的三个点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
A
)。A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_2＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
答案
9.A
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：思路一，直接将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再比较大小即可；思路二，先根据抛物线的顶点式确定开口方向和对称轴，由于抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此计算三个点横坐标到对称轴的距离，根据距离大小即可判断$y$值的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-3,y_1)$的横坐标$x=-3$代入$y=3(x+2)^2$，得：
$y_1=3×(-3+2)^2=3×(-1)^2=3×1=3$
将$B(0,y_2)$的横坐标$x=0$代入$y=3(x+2)^2$，得：
$y_2=3×(0+2)^2=3×4=12$
将$C(1,y_3)$的横坐标$x=1$代入$y=3(x+2)^2$，得：
$y_3=3×(1+2)^2=3×9=27$
因为$27＞12＞3$，所以$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
方法二：性质判断法
抛物线$y=3(x+2)^2$中，$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越大。
计算各点到对称轴$x=-2$的距离：
A点距离：$|-3 - (-2)|=1$
B点距离：$|0 - (-2)|=2$
C点距离：$|1 - (-2)|=3$
因为$3＞2＞1$，所以对应的函数值$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的性质 2.二次函数值比较 3.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都较为常用，直接代入计算不容易出错，利用对称轴和距离判断的方法解题速度更快，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：思路一，直接将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再比较大小即可；思路二，先根据抛物线的顶点式确定开口方向和对称轴，由于抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因此计算三个点横坐标到对称轴的距离，根据距离大小即可判断$y$值的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-3,y_1)$的横坐标$x=-3$代入$y=3(x+2)^2$，得：
$y_1=3×(-3+2)^2=3×(-1)^2=3×1=3$
将$B(0,y_2)$的横坐标$x=0$代入$y=3(x+2)^2$，得：
$y_2=3×(0+2)^2=3×4=12$
将$C(1,y_3)$的横坐标$x=1$代入$y=3(x+2)^2$，得：
$y_3=3×(1+2)^2=3×9=27$
因为$27＞12＞3$，所以$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
方法二：性质判断法
抛物线$y=3(x+2)^2$中，$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越大。
计算各点到对称轴$x=-2$的距离：
A点距离：$|-3 - (-2)|=1$
B点距离：$|0 - (-2)|=2$
C点距离：$|1 - (-2)|=3$
因为$3＞2＞1$，所以对应的函数值$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的性质 2.二次函数值比较 3.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都较为常用，直接代入计算不容易出错，利用对称轴和距离判断的方法解题速度更快，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
