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13.如图,已知一次函数$y=kx+b$的图象与二次函数$y=ax^2$的图象交于点$A(1,m)$和点$B(-2,4)$,与$y$轴交于点$C$。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求$△ AOB$的面积。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求$△ AOB$的面积。
答案
13.解:(1)把$(-2,4)$代入$y=ax^2$,得$4a=4$,
解得$a=1$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2$。
将$A(1,m)$的坐标代入$y=x^2$,得$m=1$。
把$(1,1),(-2,4)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}k+b=1,\\-2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2。\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由题意,得一次函数图象与$y$轴交于点$C(0,2)$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×2×2=3$。
解得$a=1$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2$。
将$A(1,m)$的坐标代入$y=x^2$,得$m=1$。
把$(1,1),(-2,4)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}k+b=1,\\-2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2。\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由题意,得一次函数图象与$y$轴交于点$C(0,2)$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×2×2=3$。
解析
【分析】
(1)求解函数表达式优先使用待定系数法：二次函数$y=ax^2$仅含一个未知参数$a$，已知点$B(-2,4)$在二次函数图象上，代入即可求出$a$的值，得到二次函数解析式；再将点$A(1,m)$代入二次函数解析式，求出$m$的值得到$A$点完整坐标，最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组即可求出$k$和$b$的值，得到一次函数表达式。
(2)计算$△ AOB$的面积时，直接计算底和高较复杂，因此采用割补法：利用一次函数与$y$轴的交点$C$，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ COB$两个三角形，两个三角形的公共底为$OC$的长度，高分别为$A$、$B$两点横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1) 将点$B(-2,4)$代入二次函数$y=ax^2$，得：
$a× (-2)^2=4$，即$4a=4$，解得$a=1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2$。
将点$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，即$A$点坐标为$(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 一次函数$y=-x+2$与$y$轴交于点$C$，当$x=0$时，$y=2$，即$C(0,2)$，$\therefore OC=2$。
$△ AOB$的面积可拆分为$△ AOC$和$△ COB$的面积之和：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× |x_B|$
代入数值计算得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×1 + \frac{1}{2}×2×2=1+2=3$
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，重点考查待定系数法的应用，以及坐标系中不规则图形面积的计算技巧，掌握割补法简化面积计算是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)求解函数表达式优先使用待定系数法：二次函数$y=ax^2$仅含一个未知参数$a$，已知点$B(-2,4)$在二次函数图象上，代入即可求出$a$的值，得到二次函数解析式；再将点$A(1,m)$代入二次函数解析式，求出$m$的值得到$A$点完整坐标，最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组即可求出$k$和$b$的值，得到一次函数表达式。
(2)计算$△ AOB$的面积时，直接计算底和高较复杂，因此采用割补法：利用一次函数与$y$轴的交点$C$，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ COB$两个三角形，两个三角形的公共底为$OC$的长度，高分别为$A$、$B$两点横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1) 将点$B(-2,4)$代入二次函数$y=ax^2$，得：
$a× (-2)^2=4$，即$4a=4$，解得$a=1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=x^2$。
将点$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，即$A$点坐标为$(1,1)$。
将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 一次函数$y=-x+2$与$y$轴交于点$C$，当$x=0$时，$y=2$，即$C(0,2)$，$\therefore OC=2$。
$△ AOB$的面积可拆分为$△ AOC$和$△ COB$的面积之和：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× |x_B|$
代入数值计算得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×1 + \frac{1}{2}×2×2=1+2=3$
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，重点考查待定系数法的应用，以及坐标系中不规则图形面积的计算技巧，掌握割补法简化面积计算是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示的是一座抛物线形廊桥的示意图。已知抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{40}x^2 + 10$，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏警示灯的水平距离。（结果精确到1 m；参考数据：$\sqrt{5} \approx 2.24$）
答案
14.解:由题意,得点E,F的纵坐标为8。
把 $y = 8$ 代入 $y = -\dfrac{1}{40}x^2 + 10$,
得$-\dfrac{1}{40}x^2+10=8$,
解得$x=4\sqrt{5}$或$x=-4\sqrt{5}$。
$\therefore EF=|4\sqrt{5}-(-4\sqrt{5})|=8\sqrt{5}\approx18(\mathrm{m})$。
$\therefore$这两盏警示灯的水平距离约为18 m。
把 $y = 8$ 代入 $y = -\dfrac{1}{40}x^2 + 10$,
得$-\dfrac{1}{40}x^2+10=8$,
解得$x=4\sqrt{5}$或$x=-4\sqrt{5}$。
$\therefore EF=|4\sqrt{5}-(-4\sqrt{5})|=8\sqrt{5}\approx18(\mathrm{m})$。
$\therefore$这两盏警示灯的水平距离约为18 m。
解析
【分析】
解题时首先要理解实际条件对应的函数关系：水面AB位于x轴上，高度对应函数的y值，因此“距水面高8m”说明点E、F的纵坐标为8。接下来将y=8代入二次函数解析式，求解得到两个对应的x值，这两个值分别是E、F两点的横坐标，两点横坐标差的绝对值就是两盏警示灯的水平距离。
【解析】
解：由题意得，点E、F的纵坐标为8。
把 $y = 8$ 代入 $y = -\dfrac{1}{40}x^2 + 10$，得：
$-\dfrac{1}{40}x^2+10=8$
整理得$x^2=80$，解得$x=4\sqrt{5}$或$x=-4\sqrt{5}$。
两点水平距离为横坐标差的绝对值：
$EF=|4\sqrt{5}-(-4\sqrt{5})|=8\sqrt{5}$
代入$\sqrt{5} \approx 2.24$计算，得$8\sqrt{5}\approx 8×2.24=17.92\approx18(\mathrm{m})$。
【答案】
这两盏警示灯的水平距离约为18 m。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题关键是将实际的高度条件转化为二次函数的纵坐标参数，通过代入解析式求解坐标即可得到结果，核心考察对函数图象上点的坐标与解析式对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解实际条件对应的函数关系：水面AB位于x轴上，高度对应函数的y值，因此“距水面高8m”说明点E、F的纵坐标为8。接下来将y=8代入二次函数解析式，求解得到两个对应的x值，这两个值分别是E、F两点的横坐标，两点横坐标差的绝对值就是两盏警示灯的水平距离。
【解析】
解：由题意得，点E、F的纵坐标为8。
把 $y = 8$ 代入 $y = -\dfrac{1}{40}x^2 + 10$，得：
$-\dfrac{1}{40}x^2+10=8$
整理得$x^2=80$，解得$x=4\sqrt{5}$或$x=-4\sqrt{5}$。
两点水平距离为横坐标差的绝对值：
$EF=|4\sqrt{5}-(-4\sqrt{5})|=8\sqrt{5}$
代入$\sqrt{5} \approx 2.24$计算，得$8\sqrt{5}\approx 8×2.24=17.92\approx18(\mathrm{m})$。
【答案】
这两盏警示灯的水平距离约为18 m。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题关键是将实际的高度条件转化为二次函数的纵坐标参数，通过代入解析式求解坐标即可得到结果，核心考察对函数图象上点的坐标与解析式对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
