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7.已知抛物线$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$经过点$(0,0)$。
(1)求$m$的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当$x$为何值时，$y$的值随着$x$值的增大而增大？
(1)求$m$的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当$x$为何值时，$y$的值随着$x$值的增大而增大？
答案
7.解:(1)把$(0,0)$代入$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$,得$0=m^2 - m -2$。
解得$m=-1$或$m=2$。
$\because m+1≠0,\therefore m=2$。
(2)此抛物线的表达式为$y=3x^2$,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
(3)当$x＞0$时,$y$的值随着$x$值的增大而增大。
解得$m=-1$或$m=2$。
$\because m+1≠0,\therefore m=2$。
(2)此抛物线的表达式为$y=3x^2$,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
(3)当$x＞0$时,$y$的值随着$x$值的增大而增大。
解析
【分析】
（1）求m的值的思路：首先将点$(0,0)$代入抛物线解析式，得到关于m的方程，解出m的可能取值；再结合抛物线的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值即可。
（2）求顶点坐标和对称轴的思路：将第一问求得的m值代入原解析式，得到具体的二次函数表达式，本题所得为$y=ax^2$形式的特殊二次函数，根据其固有性质即可直接得出顶点坐标与对称轴。
（3）求y随x增大而增大的x范围的思路：先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合对称轴的位置，即可确定函数的递增区间。
【解析】
(1) 把$(0,0)$代入$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$，可得：
$0=m^2 - m -2$
因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=-1$或$m=2$。
$\because$ 抛物线的二次项系数不能为0，即$m+1≠0$，$\therefore m≠-1$，因此$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=3x^2$。
对于$y=ax^2$型的二次函数，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴，因此该抛物线顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
(3) 抛物线$y=3x^2$中$a=3＞0$，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴为$x=0$，因此当$x＞0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
(3) 当$x＞0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的图象与性质，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数基本性质和待定系数法的应用，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.85
（1）求m的值的思路：首先将点$(0,0)$代入抛物线解析式，得到关于m的方程，解出m的可能取值；再结合抛物线的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值即可。
（2）求顶点坐标和对称轴的思路：将第一问求得的m值代入原解析式，得到具体的二次函数表达式，本题所得为$y=ax^2$形式的特殊二次函数，根据其固有性质即可直接得出顶点坐标与对称轴。
（3）求y随x增大而增大的x范围的思路：先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合对称轴的位置，即可确定函数的递增区间。
【解析】
(1) 把$(0,0)$代入$y=(m+1)x^2 + m^2 - m -2$，可得：
$0=m^2 - m -2$
因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=-1$或$m=2$。
$\because$ 抛物线的二次项系数不能为0，即$m+1≠0$，$\therefore m≠-1$，因此$m=2$。
(2) 将$m=2$代入原解析式，得抛物线表达式为$y=3x^2$。
对于$y=ax^2$型的二次函数，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴，因此该抛物线顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
(3) 抛物线$y=3x^2$中$a=3＞0$，开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴为$x=0$，因此当$x＞0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【答案】
(1) $m=2$；
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
(3) 当$x＞0$时，y的值随着x值的增大而增大。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的图象与性质，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数基本性质和待定系数法的应用，解题时需注意二次项系数不为0的隐含条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.85
8.抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，$y=x^2$，$y=-x^2$的共同性质：
①都是开口向上；②都以点$(0,0)$为顶点；
③都以$y$轴为对称轴；④都关于$x$轴对称。
其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①都是开口向上；②都以点$(0,0)$为顶点；
③都以$y$轴为对称轴；④都关于$x$轴对称。
其中正确的有（
B
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.B
解析
【分析】
要判断这三个抛物线的共同性质，我们先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，再逐个验证四个说法是否全部符合三个抛物线的特征：首先开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；再看顶点和对称轴，$y=ax^2$类函数的顶点都是原点，对称轴都是y轴；最后明确这类抛物线是关于y轴对称，而非x轴对称，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 分析①：$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=x^2$的二次项系数为正，开口向上，但$y=-x^2$的二次项系数为负，开口向下，因此“都是开口向上”的结论错误；
2. 分析②：形如$y=ax^2$的二次函数顶点均为$(0,0)$，三个抛物线都符合该形式，因此②正确；
3. 分析③：形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴（直线$x=0$），三个抛物线都符合该特征，因此③正确；
4. 分析④：三个抛物线均关于y轴对称，不存在关于x轴对称的性质，因此④错误。
综上，正确的说法有②③共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是牢记二次项系数$a$对开口方向的影响，以及$y=ax^2$类函数的顶点、对称轴特征，做题时要逐个排查所有给出的抛物线，不要遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.8
要判断这三个抛物线的共同性质，我们先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，再逐个验证四个说法是否全部符合三个抛物线的特征：首先开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；再看顶点和对称轴，$y=ax^2$类函数的顶点都是原点，对称轴都是y轴；最后明确这类抛物线是关于y轴对称，而非x轴对称，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 分析①：$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=x^2$的二次项系数为正，开口向上，但$y=-x^2$的二次项系数为负，开口向下，因此“都是开口向上”的结论错误；
2. 分析②：形如$y=ax^2$的二次函数顶点均为$(0,0)$，三个抛物线都符合该形式，因此②正确；
3. 分析③：形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为y轴（直线$x=0$），三个抛物线都符合该特征，因此③正确；
4. 分析④：三个抛物线均关于y轴对称，不存在关于x轴对称的性质，因此④错误。
综上，正确的说法有②③共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是牢记二次项系数$a$对开口方向的影响，以及$y=ax^2$类函数的顶点、对称轴特征，做题时要逐个排查所有给出的抛物线，不要遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.8
9.抛物线$y=x^2+b$与$y=ax^2-2$的形状、开口方向相同，只是位置不同，则$a,b$的值分别是（
A.$a=1,b≠-2$
B.$a=-2,b≠2$
C.$a=1,b≠2$
D.$a=2,b≠2$
A
）。A.$a=1,b≠-2$
B.$a=-2,b≠2$
C.$a=1,b≠2$
D.$a=2,b≠2$
答案
9.A
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象性质：抛物线的开口方向和形状由二次项系数$a$决定，若两个抛物线形状、开口方向相同，则它们的二次项系数相等；若只是位置不同，说明两个抛物线不是同一个函数，即常数项不能相等。按照这个思路，先求$a$的值，再确定$b$的取值范围即可选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+c$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，解题步骤如下：
1. 已知抛物线$y=x^2+b$与$y=ax^2-2$形状、开口方向相同，因此二者二次项系数相等，可得$a=1$；
2. 又因为两个抛物线只是位置不同，说明它们不是同一个函数，因此常数项不能相等，即$b≠ -2$。
综上，$a=1$，$b≠ -2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.抛物线与系数的关系
【点评】
本题是基础概念题，核心考查二次项系数对抛物线开口方向、形状的影响，解题时需注意“位置不同”隐含两个函数不重合的条件，熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象性质：抛物线的开口方向和形状由二次项系数$a$决定，若两个抛物线形状、开口方向相同，则它们的二次项系数相等；若只是位置不同，说明两个抛物线不是同一个函数，即常数项不能相等。按照这个思路，先求$a$的值，再确定$b$的取值范围即可选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+c$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，解题步骤如下：
1. 已知抛物线$y=x^2+b$与$y=ax^2-2$形状、开口方向相同，因此二者二次项系数相等，可得$a=1$；
2. 又因为两个抛物线只是位置不同，说明它们不是同一个函数，因此常数项不能相等，即$b≠ -2$。
综上，$a=1$，$b≠ -2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.抛物线与系数的关系
【点评】
本题是基础概念题，核心考查二次项系数对抛物线开口方向、形状的影响，解题时需注意“位置不同”隐含两个函数不重合的条件，熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
10.如图，抛物线$y=ax^2 + c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac的值为(
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
B
)。A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
答案
10.B
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式$y=ax^2+c$，可知其对称轴为y轴，与y轴交点为$(0,c)$，即点B坐标为$(0,c)$。再结合正方形OABC的性质：对角线OB在y轴上，可得$∠ AOB=45°$，因此点A的横、纵坐标相等，且纵坐标为OB长度的一半。将点A坐标代入抛物线解析式，化简后即可直接求出$ac$的值，不需要单独求解$a$和$c$。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，与y轴交点为$(0,c)$，
∴点B的坐标为$(0,c)$，即正方形对角线OB的长为$c$。
∵四边形OABC是正方形，对角线OB在y轴上，
∴$∠ AOB=45°$，且AC垂直平分OB，
∴点A的横、纵坐标相等，纵坐标为OB长度的一半，即$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
将$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$代入$y=ax^2+c$得：
$\frac{c}{2}=a·(\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
∵$c≠0$（点B在y轴正半轴，$c＞0$），两边同时除以$c$得：
$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$
解得$ac=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题结合二次函数图象和正方形性质考查代数运算，解题关键是利用正方形对角线的特征推导点A的坐标，解题过程中运用整体思想直接求$ac$的值，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.65
首先观察抛物线解析式$y=ax^2+c$，可知其对称轴为y轴，与y轴交点为$(0,c)$，即点B坐标为$(0,c)$。再结合正方形OABC的性质：对角线OB在y轴上，可得$∠ AOB=45°$，因此点A的横、纵坐标相等，且纵坐标为OB长度的一半。将点A坐标代入抛物线解析式，化简后即可直接求出$ac$的值，不需要单独求解$a$和$c$。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，与y轴交点为$(0,c)$，
∴点B的坐标为$(0,c)$，即正方形对角线OB的长为$c$。
∵四边形OABC是正方形，对角线OB在y轴上，
∴$∠ AOB=45°$，且AC垂直平分OB，
∴点A的横、纵坐标相等，纵坐标为OB长度的一半，即$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$。
将$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$代入$y=ax^2+c$得：
$\frac{c}{2}=a·(\frac{c}{2})^2 + c$
整理得：$\frac{ac^2}{4}=-\frac{c}{2}$
∵$c≠0$（点B在y轴正半轴，$c＞0$），两边同时除以$c$得：
$\frac{ac}{4}=-\frac{1}{2}$
解得$ac=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题结合二次函数图象和正方形性质考查代数运算，解题关键是利用正方形对角线的特征推导点A的坐标，解题过程中运用整体思想直接求$ac$的值，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.65
11.当$m=$
$-2$
时，抛物线$y=(m+1) · x^{m^2 + m} + 9$开口向下，对称轴是$y$轴
。在对称轴左侧，$y$的值随着$x$值的增大而增大
；在对称轴右侧，$y$的值随着$x$值的增大而减小
。答案
11.$-2$ $y$轴 增大 减小
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确抛物线对应的函数是二次函数，因此先结合二次函数的定义列条件：①x的最高次数为2；②二次项系数不为0。再结合抛物线开口向下的要求，得到二次项系数小于0，联立求解即可得到m的值。将m代入解析式后，再根据形如$y=ax^2+k$的二次函数的图象性质，即可得到对称轴以及不同区间内y随x的变化规律。
【解析】
∵ 函数$y=(m+1) · x^{m^2 + m} + 9$是抛物线，即该函数为二次函数
∴ 需满足：
$\begin{cases}m^2 + m = 2 \quad \mathrm{（二次函数x的最高次数为2）} \\m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解方程$m^2 + m = 2$，整理得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
结合$m+1≠0$得$m≠-1$，两个解均符合该条件。
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 二次项系数$m+1＜0$，即$m＜-1$。
综上，只有$m=-2$符合所有条件。
将$m=-2$代入解析式，得$y=-x^2 +9$，该函数属于$y=ax^2+k$型二次函数：
1. 对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
2. 由于$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧（$x＜0$），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞0$），y随x的增大而减小。
【答案】
$-2$；$y$轴；增大；减小
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题核心考查二次函数的定义与基本性质，解题的关键是先根据定义和开口方向确定参数的取值，再结合图象特征判断增减性，是对二次函数基础知识点的综合考察，掌握相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确抛物线对应的函数是二次函数，因此先结合二次函数的定义列条件：①x的最高次数为2；②二次项系数不为0。再结合抛物线开口向下的要求，得到二次项系数小于0，联立求解即可得到m的值。将m代入解析式后，再根据形如$y=ax^2+k$的二次函数的图象性质，即可得到对称轴以及不同区间内y随x的变化规律。
【解析】
∵ 函数$y=(m+1) · x^{m^2 + m} + 9$是抛物线，即该函数为二次函数
∴ 需满足：
$\begin{cases}m^2 + m = 2 \quad \mathrm{（二次函数x的最高次数为2）} \\m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解方程$m^2 + m = 2$，整理得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
结合$m+1≠0$得$m≠-1$，两个解均符合该条件。
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 二次项系数$m+1＜0$，即$m＜-1$。
综上，只有$m=-2$符合所有条件。
将$m=-2$代入解析式，得$y=-x^2 +9$，该函数属于$y=ax^2+k$型二次函数：
1. 对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
2. 由于$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧（$x＜0$），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞0$），y随x的增大而减小。
【答案】
$-2$；$y$轴；增大；减小
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题核心考查二次函数的定义与基本性质，解题的关键是先根据定义和开口方向确定参数的取值，再结合图象特征判断增减性，是对二次函数基础知识点的综合考察，掌握相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12.已知二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8}),B(3,m)$。
(1)求$a$与$m$的值。
(2)写出该图象上点$B$的对称点$C$的坐标。
(3)当$x$取何值时，$y$的值随着$x$值的增大而减小？
(4)当$x$取何值时，$y$有最大值（或最小值）？
(1)求$a$与$m$的值。
(2)写出该图象上点$B$的对称点$C$的坐标。
(3)当$x$取何值时，$y$的值随着$x$值的增大而减小？
(4)当$x$取何值时，$y$有最大值（或最小值）？
答案
12.解:(1)把$(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8})$代入函数表达式,得
$\dfrac{1}{4}a=-\dfrac{1}{8}$,
解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
把$(3,m)$代入函数表达式,得$m=-\dfrac{1}{2}×9=-\dfrac{9}{2}$。
(2)$C(-3,-\dfrac{9}{2})$。
(3)当$x＞0$时,$y$的值随着$x$值的增大而减小。
(4)当$x=0$时,$y$有最大值$0$。
$\dfrac{1}{4}a=-\dfrac{1}{8}$,
解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
把$(3,m)$代入函数表达式,得$m=-\dfrac{1}{2}×9=-\dfrac{9}{2}$。
(2)$C(-3,-\dfrac{9}{2})$。
(3)当$x＞0$时,$y$的值随着$x$值的增大而减小。
(4)当$x=0$时,$y$有最大值$0$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础性质展开，各小问解题思路如下：(1)求待定系数$a$和$m$时使用待定系数法，将已知点坐标代入函数解析式列方程求解即可；(2)二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，据此可求B的对称点C；(3)先根据$a$的符号判断抛物线开口方向，再结合对称轴分析函数的增减性；(4)结合开口方向和顶点坐标判断函数的最值情况。
【解析】
(1) 把点$A(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8})$代入函数表达式$y=ax^2$，得：
$\dfrac{1}{4}a=-\dfrac{1}{8}$，
解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
再把点$B(3,m)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得：
$m=-\dfrac{1}{2}×9=-\dfrac{9}{2}$。
(2) 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴，点关于y轴对称时横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此点B的对称点C的坐标为$(-3,-\dfrac{9}{2})$。
(3) 由$a=-\dfrac{1}{2}＜0$可知抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
(4) 开口向下的抛物线顶点是最高点，该函数顶点为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值$0$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{1}{2}$，$m=-\dfrac{9}{2}$；
(2)$C(-3,-\dfrac{9}{2})$；
(3)当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；
(4)当$x=0$时，$y$有最大值$0$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察$y=ax^2$的相关性质，属于对基础概念和方法的直接应用，熟练掌握待定系数法、二次函数的对称性、增减性和最值相关知识即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础性质展开，各小问解题思路如下：(1)求待定系数$a$和$m$时使用待定系数法，将已知点坐标代入函数解析式列方程求解即可；(2)二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，据此可求B的对称点C；(3)先根据$a$的符号判断抛物线开口方向，再结合对称轴分析函数的增减性；(4)结合开口方向和顶点坐标判断函数的最值情况。
【解析】
(1) 把点$A(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8})$代入函数表达式$y=ax^2$，得：
$\dfrac{1}{4}a=-\dfrac{1}{8}$，
解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
再把点$B(3,m)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得：
$m=-\dfrac{1}{2}×9=-\dfrac{9}{2}$。
(2) 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴，点关于y轴对称时横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此点B的对称点C的坐标为$(-3,-\dfrac{9}{2})$。
(3) 由$a=-\dfrac{1}{2}＜0$可知抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小。
(4) 开口向下的抛物线顶点是最高点，该函数顶点为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值$0$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{1}{2}$，$m=-\dfrac{9}{2}$；
(2)$C(-3,-\dfrac{9}{2})$；
(3)当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；
(4)当$x=0$时，$y$有最大值$0$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察$y=ax^2$的相关性质，属于对基础概念和方法的直接应用，熟练掌握待定系数法、二次函数的对称性、增减性和最值相关知识即可快速解答。
【难度系数】
0.8
