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1.
二次函数
$y=ax^2$
$a＞0$
$a＜0$
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
二次函数
$y=ax^2$
$a＞0$
$a＜0$
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
答案
1.
当$a＞0$时：
图象：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$有最小值0
当$a＜0$时：
图象：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$有最大值0
解析
【分析】
我们研究二次函数$y=ax^2$的性质时，可按二次项系数$a$的正负分两类讨论：首先根据$a$的符号确定开口方向，匹配对应图象；其次推导函数的顶点坐标、对称轴；再结合开口方向和对称轴，分别分析$x＞0$、$x＜0$区间内的函数增减性；最后根据开口方向判断函数的最值类型，以及取最值时的自变量取值和最值大小。
【解析】
我们分$a＞0$和$a＜0$两种情况梳理性质：
1. 当$a＞0$时：
图象：开口向上，顶点在原点，关于$y$轴对称的抛物线；
开口方向：二次项系数为正，故开口向上；
顶点坐标：代入$x=0$得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$；
对称轴：函数图象关于$y$轴对称，因此对称轴为$y$轴；
增减性：结合图象走势，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：开口向上时顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，$y$取最小值0。
2. 当$a＜0$时：
图象：开口向下，顶点在原点，关于$y$轴对称的抛物线；
开口方向：二次项系数为负，故开口向下；
顶点坐标：代入$x=0$得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$；
对称轴：函数图象关于$y$轴对称，因此对称轴为$y$轴；
增减性：结合图象走势，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：开口向下时顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，$y$取最大值0。
【答案】
当$a＞0$时：
图象：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$有最小值0
当$a＜0$时：
图象：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$有最大值0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$对$y=ax^2$的图象、开口方向、增减性和最值的影响，相关结论是学习复杂二次函数性质的基础，需要准确区分、熟练记忆。
【难度系数】
0.85
我们研究二次函数$y=ax^2$的性质时，可按二次项系数$a$的正负分两类讨论：首先根据$a$的符号确定开口方向，匹配对应图象；其次推导函数的顶点坐标、对称轴；再结合开口方向和对称轴，分别分析$x＞0$、$x＜0$区间内的函数增减性；最后根据开口方向判断函数的最值类型，以及取最值时的自变量取值和最值大小。
【解析】
我们分$a＞0$和$a＜0$两种情况梳理性质：
1. 当$a＞0$时：
图象：开口向上，顶点在原点，关于$y$轴对称的抛物线；
开口方向：二次项系数为正，故开口向上；
顶点坐标：代入$x=0$得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$；
对称轴：函数图象关于$y$轴对称，因此对称轴为$y$轴；
增减性：结合图象走势，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：开口向上时顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，$y$取最小值0。
2. 当$a＜0$时：
图象：开口向下，顶点在原点，关于$y$轴对称的抛物线；
开口方向：二次项系数为负，故开口向下；
顶点坐标：代入$x=0$得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$；
对称轴：函数图象关于$y$轴对称，因此对称轴为$y$轴；
增减性：结合图象走势，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：开口向下时顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，$y$取最大值0。
【答案】
当$a＞0$时：
图象：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$有最小值0
当$a＜0$时：
图象：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$有最大值0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$对$y=ax^2$的图象、开口方向、增减性和最值的影响，相关结论是学习复杂二次函数性质的基础，需要准确区分、熟练记忆。
【难度系数】
0.85
2.
二次函数 $y=ax^2 + c$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| |
| 开口方向 | | |
| 顶点坐标 | | |
| 对称轴 | | |
| 增减性 | | |
| 最值 | | |
二次函数 $y=ax^2 + c$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| || 开口方向 | | |
| 顶点坐标 | | |
| 对称轴 | | |
| 增减性 | | |
| 最值 | | |
答案
2.
当$a＞0$时：
图象：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,c)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$有最小值$c$
当$a＜0$时：
图象：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,c)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$有最大值$c$
解析
【分析】
我们可以从二次项系数a的符号入手分析该二次函数的性质：①a的符号决定抛物线的开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；②二次函数$y=ax^2+c$不含一次项，因此对称轴为x=0也就是y轴，将x=0代入解析式可求得y=c，因此顶点坐标为$(0,c)$；③最后结合开口方向分析对称轴两侧的增减性，以及顶点处的最值：开口向上时顶点是最低点，对应最小值；开口向下时顶点是最高点，对应最大值。
【解析】
我们分$a＞0$和$a＜0$两种情况逐一分析：
1. 当$a＞0$时：
图象：开口向上、顶点在y轴上的抛物线；
开口方向：二次项系数为正，因此开口向上；
顶点坐标：将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：解析式不含x的一次项，因此对称轴为y轴（也可写为直线$x=0$）；
增减性：开口向上的抛物线，对称轴左侧（$x＜0$）y随x的增大而减小，对称轴右侧（$x＞0$）y随x的增大而增大；
最值：开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，y取得最小值c。
2. 当$a＜0$时：
图象：开口向下、顶点在y轴上的抛物线；
开口方向：二次项系数为负，因此开口向下；
顶点坐标：将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：解析式不含x的一次项，因此对称轴为y轴；
增减性：开口向下的抛物线，对称轴左侧（$x＜0$）y随x的增大而增大，对称轴右侧（$x＞0$）y随x的增大而减小；
最值：开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，y取得最大值c。
【答案】
当$a＞0$时：
图象：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,c)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$有最小值$c$
当$a＜0$时：
图象：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,c)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$有最大值$c$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+c$的性质
2. 二次函数图象特征
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数a对开口方向、增减性、最值的影响，以及无一次项的二次函数的对称轴和顶点特征，是学习后续更复杂二次函数的基础，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.8
我们可以从二次项系数a的符号入手分析该二次函数的性质：①a的符号决定抛物线的开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；②二次函数$y=ax^2+c$不含一次项，因此对称轴为x=0也就是y轴，将x=0代入解析式可求得y=c，因此顶点坐标为$(0,c)$；③最后结合开口方向分析对称轴两侧的增减性，以及顶点处的最值：开口向上时顶点是最低点，对应最小值；开口向下时顶点是最高点，对应最大值。
【解析】
我们分$a＞0$和$a＜0$两种情况逐一分析：
1. 当$a＞0$时：
图象：开口向上、顶点在y轴上的抛物线；
开口方向：二次项系数为正，因此开口向上；
顶点坐标：将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：解析式不含x的一次项，因此对称轴为y轴（也可写为直线$x=0$）；
增减性：开口向上的抛物线，对称轴左侧（$x＜0$）y随x的增大而减小，对称轴右侧（$x＞0$）y随x的增大而增大；
最值：开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，y取得最小值c。
2. 当$a＜0$时：
图象：开口向下、顶点在y轴上的抛物线；
开口方向：二次项系数为负，因此开口向下；
顶点坐标：将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此顶点坐标为$(0,c)$；
对称轴：解析式不含x的一次项，因此对称轴为y轴；
增减性：开口向下的抛物线，对称轴左侧（$x＜0$）y随x的增大而增大，对称轴右侧（$x＞0$）y随x的增大而减小；
最值：开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，y取得最大值c。
【答案】
当$a＞0$时：
图象：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,c)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
最值：当$x=0$时，$y$有最小值$c$
当$a＜0$时：
图象：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,c)$
对称轴：$y$轴
增减性：当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
最值：当$x=0$时，$y$有最大值$c$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+c$的性质
2. 二次函数图象特征
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数a对开口方向、增减性、最值的影响，以及无一次项的二次函数的对称轴和顶点特征，是学习后续更复杂二次函数的基础，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.8
1.二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象的顶点坐标是（
A.(0,0)
B.(1,-1)
C.(-1,-1)
D.(2,-4)
A
）。A.(0,0)
B.(1,-1)
C.(-1,-1)
D.(2,-4)
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查基础二次函数的顶点坐标求解，解题有两种常规思路：第一种是回忆形如$y=ax^2$（$a≠0$）的二次函数的图象特征，这类函数图象是顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，可直接得出顶点；第二种是用通用的二次函数顶点坐标公式计算，对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），先通过公式$x=-\frac{b}{2a}$求出顶点横坐标，再代入解析式计算纵坐标即可。
【解析】
我们可以用两种方法推导：
方法1：利用特殊二次函数性质
二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$属于$y=ax^2$（$a≠0$）的形式，这类函数的图象顶点固定为原点$(0,0)$。
方法2：利用顶点坐标公式计算
将$y=\frac{1}{3}x^2$和一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）对应，得$a=\frac{1}{3}$，$b=0$，$c=0$：
① 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×\frac{1}{3}}=0$
② 将$x=0$代入解析式求纵坐标：$y=\frac{1}{3}×0^2=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点坐标求解
2.$y=ax^2$型二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考题，考察的是最基础的特殊形式二次函数的特征，掌握核心性质或通用公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查基础二次函数的顶点坐标求解，解题有两种常规思路：第一种是回忆形如$y=ax^2$（$a≠0$）的二次函数的图象特征，这类函数图象是顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，可直接得出顶点；第二种是用通用的二次函数顶点坐标公式计算，对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），先通过公式$x=-\frac{b}{2a}$求出顶点横坐标，再代入解析式计算纵坐标即可。
【解析】
我们可以用两种方法推导：
方法1：利用特殊二次函数性质
二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$属于$y=ax^2$（$a≠0$）的形式，这类函数的图象顶点固定为原点$(0,0)$。
方法2：利用顶点坐标公式计算
将$y=\frac{1}{3}x^2$和一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）对应，得$a=\frac{1}{3}$，$b=0$，$c=0$：
① 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×\frac{1}{3}}=0$
② 将$x=0$代入解析式求纵坐标：$y=\frac{1}{3}×0^2=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点坐标求解
2.$y=ax^2$型二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考题，考察的是最基础的特殊形式二次函数的特征，掌握核心性质或通用公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.将抛物线$y=-x^2 -1$向上平移2个单位长度得到的抛物线的表达式为（
A.$y=-x^2$
B.$y=-x^2 -2$
C.$y=-x^2 +1$
D.$y=x^2 +1$
C
）。A.$y=-x^2$
B.$y=-x^2 -2$
C.$y=-x^2 +1$
D.$y=x^2 +1$
答案
2.C
解析
【分析】
遇到抛物线平移类题目，首先明确平移不改变二次项系数，仅调整常数项（上下平移时）。回忆函数图象平移的“上加下减”规律：上下平移是对函数值进行调整，向上平移几个单位，就在原函数表达式的基础上整体加几。本题是向上平移2个单位，因此只需给原抛物线表达式整体加2，化简后匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数上下平移的“上加下减”规则：图象向上平移n个单位，原函数表达式整体加n。
已知原抛物线表达式为$y=-x^2 -1$，向上平移2个单位长度后，新抛物线的表达式为：
$\begin{aligned}y&=-x^2 -1 + 2 \\&=-x^2 +1\end{aligned}$
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移法则
【点评】
本题是基础考点，核心考查二次函数的平移规律，只要熟记“上加下减、左加右减”的平移规则，区分开上下平移和左右平移的运算位置，就能快速得分。
【难度系数】
0.9
遇到抛物线平移类题目，首先明确平移不改变二次项系数，仅调整常数项（上下平移时）。回忆函数图象平移的“上加下减”规律：上下平移是对函数值进行调整，向上平移几个单位，就在原函数表达式的基础上整体加几。本题是向上平移2个单位，因此只需给原抛物线表达式整体加2，化简后匹配选项即可。
【解析】
根据二次函数上下平移的“上加下减”规则：图象向上平移n个单位，原函数表达式整体加n。
已知原抛物线表达式为$y=-x^2 -1$，向上平移2个单位长度后，新抛物线的表达式为：
$\begin{aligned}y&=-x^2 -1 + 2 \\&=-x^2 +1\end{aligned}$
因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移法则
【点评】
本题是基础考点，核心考查二次函数的平移规律，只要熟记“上加下减、左加右减”的平移规则，区分开上下平移和左右平移的运算位置，就能快速得分。
【难度系数】
0.9
3.二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
C
）。答案
3.C
解析
【分析】
本题两个函数解析式含有相同参数a，a的符号会同时决定两个函数的图象特征，我们可通过分a＞0、a＜0两种情况，分别推导二次函数和一次函数的图象特点，再和选项逐一比对，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$中，斜率$a＞0$，与y轴交点的纵坐标$a＞0$，因此一次函数图象经过第一、二、三象限。
观察选项：A中一次函数过第二、三、四象限，D中一次函数过第一、三、四象限，均不符合，排除A、D。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$中，斜率$a＜0$，与y轴交点的纵坐标$a＜0$，因此一次函数图象经过第二、三、四象限。
观察选项：B中一次函数过第一、二、三象限，不符合，排除B；C中二次函数开口向下，一次函数过第二、三、四象限，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；二次函数$y=ax^2$的图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常考题型，解题核心是抓住相同参数对不同函数图象的共同影响，通过分类讨论即可快速排除错误选项，得出正确结果。
【难度系数】
0.7
本题两个函数解析式含有相同参数a，a的符号会同时决定两个函数的图象特征，我们可通过分a＞0、a＜0两种情况，分别推导二次函数和一次函数的图象特点，再和选项逐一比对，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$中，斜率$a＞0$，与y轴交点的纵坐标$a＞0$，因此一次函数图象经过第一、二、三象限。
观察选项：A中一次函数过第二、三、四象限，D中一次函数过第一、三、四象限，均不符合，排除A、D。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$中，斜率$a＜0$，与y轴交点的纵坐标$a＜0$，因此一次函数图象经过第二、三、四象限。
观察选项：B中一次函数过第一、二、三象限，不符合，排除B；C中二次函数开口向下，一次函数过第二、三、四象限，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；二次函数$y=ax^2$的图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常考题型，解题核心是抓住相同参数对不同函数图象的共同影响，通过分类讨论即可快速排除错误选项，得出正确结果。
【难度系数】
0.7
4.抛物线$y=2x^2$的顶点坐标是
(0,0)
，对称轴是$y$轴
，当x$＜0$
时，y的值随着x值的增大而减小；当x$＞0$
时，y的值随着x值的增大而增大；当x$=0$
时，函数取得最小
值，最小
值为0
；当x$≠0$
时，$y＞0$。答案
4.$(0,0)$ $y$轴 $＜0$ $＞0$ $=0$ 小 小 0 $≠0$
解析
【分析】
拿到本题首先识别二次函数的形式为$y=ax^2$（无一次项、常数项），属于最基础的二次函数类型。解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的符号，本题$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；第二步结合$y=ax^2$的固有性质，依次推导顶点坐标、对称轴；第三步根据开口方向和对称轴判断增减性；第四步结合开口方向判断最值情况；最后根据函数图象的位置推导$y＞0$时$x$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$：
1. 顶点坐标：函数无平移变换，顶点为坐标原点，即$(0,0)$；
2. 对称轴：过顶点且垂直于x轴的直线，即$y$轴（或直线$x=0$）；
3. 增减性：因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即当$x＜0$时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即当$x＞0$时，y随x的增大而增大；
4. 最值：抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，函数取得最小值，最小值为$0$；
5. $y＞0$的取值范围：抛物线顶点处$y=0$，开口向上，其余点纵坐标均大于0，因此当$x≠0$时，$y＞0$。
【答案】
$(0,0)$；$y$轴；$＜0$；$＞0$；$=0$；小；小；$0$；$≠0$
【知识点】
y=ax²型二次函数性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要考察对$y=ax^2$类二次函数的图象特征、增减性、最值等核心性质的掌握，熟练记忆相关规律即可快速准确作答，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先识别二次函数的形式为$y=ax^2$（无一次项、常数项），属于最基础的二次函数类型。解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的符号，本题$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；第二步结合$y=ax^2$的固有性质，依次推导顶点坐标、对称轴；第三步根据开口方向和对称轴判断增减性；第四步结合开口方向判断最值情况；最后根据函数图象的位置推导$y＞0$时$x$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$：
1. 顶点坐标：函数无平移变换，顶点为坐标原点，即$(0,0)$；
2. 对称轴：过顶点且垂直于x轴的直线，即$y$轴（或直线$x=0$）；
3. 增减性：因为$a=2＞0$，抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即当$x＜0$时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即当$x＞0$时，y随x的增大而增大；
4. 最值：抛物线开口向上，顶点为图象最低点，因此当$x=0$时，函数取得最小值，最小值为$0$；
5. $y＞0$的取值范围：抛物线顶点处$y=0$，开口向上，其余点纵坐标均大于0，因此当$x≠0$时，$y＞0$。
【答案】
$(0,0)$；$y$轴；$＜0$；$＞0$；$=0$；小；小；$0$；$≠0$
【知识点】
y=ax²型二次函数性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要考察对$y=ax^2$类二次函数的图象特征、增减性、最值等核心性质的掌握，熟练记忆相关规律即可快速准确作答，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
5.抛物线 $y=-\frac{1}{3}x^2$ 开口
向下
，对称轴是 $y$轴
，顶点坐标为 $(0,0)$
，当 $x=$ $0$
时，$y$ 有最 大
值 $0$
。答案
5.向下 $y$轴 $(0,0)$ $0$ 大 $0$
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题时先确定解析式中$a$的取值，再根据$a$的符号依次推导开口方向、对称轴、顶点坐标及最值即可：①先看二次项系数$a$的正负，判断开口方向；②回忆$y=ax^2$类二次函数的对称轴和顶点固定为y轴和原点；③根据开口方向判断函数有最大值还是最小值，以及取最值时对应的$x$值和最值大小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 开口方向判断：本题中二次项系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 对称轴与顶点：$y=ax^2$的图象关于y轴对称，对称轴为y轴，顶点是坐标原点，即顶点坐标为$(0,0)$；
3. 最值判断：因为抛物线开口向下，所以图象有最高点，即顶点处函数值最大，因此当$x=0$时，$y$有最大值，代入解析式得最大值为$y=-\frac{1}{3}×0^2=0$。
【答案】
向下 $y$轴 $(0,0)$ $0$ 大 $0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口判断；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$的符号与抛物线开口、最值的对应关系，熟练掌握$y=ax^2$的基本性质是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题时先确定解析式中$a$的取值，再根据$a$的符号依次推导开口方向、对称轴、顶点坐标及最值即可：①先看二次项系数$a$的正负，判断开口方向；②回忆$y=ax^2$类二次函数的对称轴和顶点固定为y轴和原点；③根据开口方向判断函数有最大值还是最小值，以及取最值时对应的$x$值和最值大小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 开口方向判断：本题中二次项系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 对称轴与顶点：$y=ax^2$的图象关于y轴对称，对称轴为y轴，顶点是坐标原点，即顶点坐标为$(0,0)$；
3. 最值判断：因为抛物线开口向下，所以图象有最高点，即顶点处函数值最大，因此当$x=0$时，$y$有最大值，代入解析式得最大值为$y=-\frac{1}{3}×0^2=0$。
【答案】
向下 $y$轴 $(0,0)$ $0$ 大 $0$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口判断；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$的符号与抛物线开口、最值的对应关系，熟练掌握$y=ax^2$的基本性质是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
6. 抛物线 $y=3x^2 + 4$ 可以由抛物线 $y=3x^2$ 沿 y 轴
向上平移4个单位长度
得到；同样抛物线 $y=3x^2 - 4$ 可以由抛物线 $y=3x^2$ 沿 y 轴 向下平移4个单位长度
得到。答案
6.向上平移4个单位长度 向下平移4个单位长度
解析
【分析】
解题时首先观察两个待判断的抛物线与基准抛物线$y=3x^2$的表达式差异，发现二者二次项系数完全相同，仅常数项不同，说明仅存在沿y轴的上下平移，不需要考虑左右平移。接下来回忆二次函数上下平移的规律：“上加下减常数项”，即表达式中常数项相对基准式增加的数值就是向上平移的单位长度，减少的数值就是向下平移的单位长度，据此即可得出平移方式。
【解析】
二次函数图象上下平移遵循“上加下减常数项”的规律：
1. 对于抛物线$y=3x^2 + 4$，对比$y=3x^2$，常数项增加了4，因此它是由$y=3x^2$沿y轴向上平移4个单位长度得到；
2. 对于抛物线$y=3x^2 - 4$，对比$y=3x^2$，常数项减少了4，因此它是由$y=3x^2$沿y轴向下平移4个单位长度得到。
【答案】
向上平移4个单位长度 向下平移4个单位长度
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. $y=ax^2$与$y=ax^2+k$的图象关系
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，主要考查上下平移的规律，只要牢记“上加下减常数项”的平移口诀就能快速准确解题，需熟练掌握该规律为后续复杂的二次函数平移问题打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个待判断的抛物线与基准抛物线$y=3x^2$的表达式差异，发现二者二次项系数完全相同，仅常数项不同，说明仅存在沿y轴的上下平移，不需要考虑左右平移。接下来回忆二次函数上下平移的规律：“上加下减常数项”，即表达式中常数项相对基准式增加的数值就是向上平移的单位长度，减少的数值就是向下平移的单位长度，据此即可得出平移方式。
【解析】
二次函数图象上下平移遵循“上加下减常数项”的规律：
1. 对于抛物线$y=3x^2 + 4$，对比$y=3x^2$，常数项增加了4，因此它是由$y=3x^2$沿y轴向上平移4个单位长度得到；
2. 对于抛物线$y=3x^2 - 4$，对比$y=3x^2$，常数项减少了4，因此它是由$y=3x^2$沿y轴向下平移4个单位长度得到。
【答案】
向上平移4个单位长度 向下平移4个单位长度
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. $y=ax^2$与$y=ax^2+k$的图象关系
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，主要考查上下平移的规律，只要牢记“上加下减常数项”的平移口诀就能快速准确解题，需熟练掌握该规律为后续复杂的二次函数平移问题打好基础。
【难度系数】
0.9
