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10.关于二次函数$y=-2(x-3)^2$的图象和性质，下列说法正确的是(
A.开口方向向下，顶点坐标为$(0,3)$
B.当$x=3$时，函数有最大值0
C.当$x＜3$时，$y$随着$x$的增大而减小
D.开口方向向下，对称轴为$y$轴
B
)。A.开口方向向下，顶点坐标为$(0,3)$
B.当$x=3$时，函数有最大值0
C.当$x＜3$时，$y$随着$x$的增大而减小
D.开口方向向下，对称轴为$y$轴
答案
10.B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，开口向下时顶点处取最大值，对称轴两侧增减性相反。先从题干函数中确定$a、h、k$的取值，再逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-3)^2$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数：$a=-2＜0$，$h=3$，$k=0$。
逐个分析选项：
选项A：由$a=-2＜0$可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)=(3,0)$，不是$(0,3)$，故A错误；
选项B：抛物线开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=3$时，函数取得最大值$k=0$，故B正确；
选项C：抛物线对称轴为直线$x=3$，开口向下时，对称轴左侧（$x＜3$）$y$随$x$的增大而增大，不是减小，故C错误；
选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，不是$y$轴（直线$x=0$），故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征是解题的关键，解题时需注意顶点坐标的符号、开口方向对增减性和最值的影响，避免混淆参数对应的性质。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，开口向下时顶点处取最大值，对称轴两侧增减性相反。先从题干函数中确定$a、h、k$的取值，再逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-3)^2$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数：$a=-2＜0$，$h=3$，$k=0$。
逐个分析选项：
选项A：由$a=-2＜0$可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)=(3,0)$，不是$(0,3)$，故A错误；
选项B：抛物线开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=3$时，函数取得最大值$k=0$，故B正确；
选项C：抛物线对称轴为直线$x=3$，开口向下时，对称轴左侧（$x＜3$）$y$随$x$的增大而增大，不是减小，故C错误；
选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，不是$y$轴（直线$x=0$），故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征是解题的关键，解题时需注意顶点坐标的符号、开口方向对增减性和最值的影响，避免混淆参数对应的性质。
【难度系数】
0.85
11.在同一平面直角坐标系中，抛物线$y=(x-a)^2$与直线$y=ax+a$的图象可能是(
D
)。答案
11.D
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否匹配，可结合参数a的符号分类分析两个函数的图象特征：首先抛物线$y=(x-a)^2$开口恒向上，顶点坐标为$(a,0)$；一次函数$y=ax+a$的斜率和y轴截距都由a决定。我们可以先分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别推导直线的倾斜方向、y轴交点位置，以及抛物线顶点的位置，再逐一比对选项排除错误答案。
【解析】
1. 先梳理两个函数的基本性质：
① 抛物线$y=(x-a)^2$：开口向上，顶点坐标为$(a,0)$，顶点在x轴上；
② 一次函数$y=ax+a$：变形为$y=a(x+1)$，过定点$(-1,0)$，斜率为$a$，与y轴交点为$(0,a)$。
2. 分情况讨论：
当$a＞0$时：直线斜率为正（图象从左下向右上倾斜），与y轴交于正半轴；同时抛物线顶点$(a,0)$在x轴正半轴。观察选项，C选项抛物线顶点在x轴负半轴，不符合；D选项符合该情况的所有特征。
当$a＜0$时：直线斜率为负（图象从左上向右下倾斜），与y轴交于负半轴；同时抛物线顶点$(a,0)$在x轴负半轴。观察选项，A选项直线与y轴交于正半轴，不符合；B选项抛物线顶点在x轴正半轴，不符合。
综上只有D选项的图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象识别的典型题型，核心是抓住参数对两个函数图象的共同影响，通过分类讨论结合图象特征逐一排除错误选项，能有效考查对函数性质的掌握和读图分析能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否匹配，可结合参数a的符号分类分析两个函数的图象特征：首先抛物线$y=(x-a)^2$开口恒向上，顶点坐标为$(a,0)$；一次函数$y=ax+a$的斜率和y轴截距都由a决定。我们可以先分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别推导直线的倾斜方向、y轴交点位置，以及抛物线顶点的位置，再逐一比对选项排除错误答案。
【解析】
1. 先梳理两个函数的基本性质：
① 抛物线$y=(x-a)^2$：开口向上，顶点坐标为$(a,0)$，顶点在x轴上；
② 一次函数$y=ax+a$：变形为$y=a(x+1)$，过定点$(-1,0)$，斜率为$a$，与y轴交点为$(0,a)$。
2. 分情况讨论：
当$a＞0$时：直线斜率为正（图象从左下向右上倾斜），与y轴交于正半轴；同时抛物线顶点$(a,0)$在x轴正半轴。观察选项，C选项抛物线顶点在x轴负半轴，不符合；D选项符合该情况的所有特征。
当$a＜0$时：直线斜率为负（图象从左上向右下倾斜），与y轴交于负半轴；同时抛物线顶点$(a,0)$在x轴负半轴。观察选项，A选项直线与y轴交于正半轴，不符合；B选项抛物线顶点在x轴正半轴，不符合。
综上只有D选项的图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象识别的典型题型，核心是抓住参数对两个函数图象的共同影响，通过分类讨论结合图象特征逐一排除错误选项，能有效考查对函数性质的掌握和读图分析能力。
【难度系数】
0.7
12.已知二次函数$y=3(x-a)^2$，当$x＞2$时，y随着x的增大而增大，则a的取值范围是
$a≤2$
。答案
12.$a≤2$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式的相关性质：首先由二次项系数判断抛物线开口方向，再确定对称轴，最后结合函数增减性的要求推导参数的取值范围。本题中函数开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，要使x＞2时y随x增大而增大，就需要x＞2的区间落在对称轴右侧，由此可确定a的范围，还要注意验证a=2时是否符合要求。
【解析】
解：对于二次函数$y=3(x-a)^2$：
1. 二次项系数为$3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=a$，开口向上的抛物线中，当$x＞a$时，y随x的增大而增大；
3. 题目要求$x＞2$时y随x增大而增大，说明$x＞2$的区间要包含在$x＞a$的范围内，因此对称轴$x=a$需在直线$x=2$的左侧或与$x=2$重合，即$a≤2$；
4. 验证：当$a=2$时，对称轴为$x=2$，此时$x＞2$恰好是对称轴右侧区间，满足增减性要求，等号成立。
【答案】
$a≤2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数性质的基础应用，解题关键是明确开口方向、对称轴与函数增减区间的对应关系，易错点是容易遗漏$a=2$的情况，导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次函数顶点式的相关性质：首先由二次项系数判断抛物线开口方向，再确定对称轴，最后结合函数增减性的要求推导参数的取值范围。本题中函数开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，要使x＞2时y随x增大而增大，就需要x＞2的区间落在对称轴右侧，由此可确定a的范围，还要注意验证a=2时是否符合要求。
【解析】
解：对于二次函数$y=3(x-a)^2$：
1. 二次项系数为$3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=a$，开口向上的抛物线中，当$x＞a$时，y随x的增大而增大；
3. 题目要求$x＞2$时y随x增大而增大，说明$x＞2$的区间要包含在$x＞a$的范围内，因此对称轴$x=a$需在直线$x=2$的左侧或与$x=2$重合，即$a≤2$；
4. 验证：当$a=2$时，对称轴为$x=2$，此时$x＞2$恰好是对称轴右侧区间，满足增减性要求，等号成立。
【答案】
$a≤2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数性质的基础应用，解题关键是明确开口方向、对称轴与函数增减区间的对应关系，易错点是容易遗漏$a=2$的情况，导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
13.若抛物线$y=2(x-1)^2$经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，则$m=$
$-\dfrac{1}{2}$
。答案
13.$-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察到两点纵坐标相同，可判断这两点关于抛物线的对称轴对称；接下来回忆顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，得出本题抛物线的对称轴；最后根据对称轴是对称两点横坐标的中点，列出关于$m$的方程求解即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，且两点纵坐标相同
∴ 这两点关于抛物线的对称轴对称
抛物线$y=2(x-1)^2$是顶点式，其对称轴为直线$x=1$
根据对称点的性质，两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\dfrac{m + (m+3)}{2} = 1$
去分母得：$2m + 3 = 2$
移项合并得：$2m = -1$
解得：$m = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.二次函数的对称性 2.二次函数对称轴的求法
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的突破口是识别出纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，结合对称轴公式列方程即可求解，解题时需熟练掌握顶点式二次函数的对称轴特征。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到两点纵坐标相同，可判断这两点关于抛物线的对称轴对称；接下来回忆顶点式二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，得出本题抛物线的对称轴；最后根据对称轴是对称两点横坐标的中点，列出关于$m$的方程求解即可。
【解析】
解：
∵ 抛物线经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，且两点纵坐标相同
∴ 这两点关于抛物线的对称轴对称
抛物线$y=2(x-1)^2$是顶点式，其对称轴为直线$x=1$
根据对称点的性质，两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\dfrac{m + (m+3)}{2} = 1$
去分母得：$2m + 3 = 2$
移项合并得：$2m = -1$
解得：$m = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.二次函数的对称性 2.二次函数对称轴的求法
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的突破口是识别出纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，结合对称轴公式列方程即可求解，解题时需熟练掌握顶点式二次函数的对称轴特征。
【难度系数】
0.8
14.已知点$ P(m,a) $是二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象上的点，且点$ P $在第一象限内。
(1)求$ m $的值；
(2)过点$ P $作$ PQ // x $轴交二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象于另一点$ Q $，若$ a $的值为3，试求点$ P $、点$ Q $及原点$ O $围成的三角形的面积。
(1)求$ m $的值；
(2)过点$ P $作$ PQ // x $轴交二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象于另一点$ Q $，若$ a $的值为3，试求点$ P $、点$ Q $及原点$ O $围成的三角形的面积。
答案
14.解:(1)$\because$点 $P(m,a)$是二次函数 $y=a(x-1)^2$ 的图象上的点，
$\therefore a=a(m-1)^2$，
解得 $m=2$ 或 $m=0$。
$\because$点 $P$ 在第一象限内，
$\therefore m=2$。
(2)$\because a$ 的值为 3，
$\therefore$二次函数的表达式为 $y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点 $P$ 的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ// x$ 轴且交二次函数 $y=a(x-1)^2$ 的图象于另一点 $Q$，
$\therefore$点 $Q$ 的坐标为$(0,3)$。
$\therefore PQ=2$。
$\therefore S_{△ PQO}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$。
$\therefore a=a(m-1)^2$，
解得 $m=2$ 或 $m=0$。
$\because$点 $P$ 在第一象限内，
$\therefore m=2$。
(2)$\because a$ 的值为 3，
$\therefore$二次函数的表达式为 $y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点 $P$ 的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ// x$ 轴且交二次函数 $y=a(x-1)^2$ 的图象于另一点 $Q$，
$\therefore$点 $Q$ 的坐标为$(0,3)$。
$\therefore PQ=2$。
$\therefore S_{△ PQO}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：若点在函数图象上，则点的坐标满足对应函数的解析式，因此将点$P(m,a)$代入二次函数解析式，即可得到关于$m$的方程，解方程得到$m$的两个可能值后，再结合点$P$在第一象限（横、纵坐标均为正）的限制条件，即可筛选出符合要求的$m$的值。
(2) 先将$a=3$代入二次函数解析式，确定函数的具体表达式，结合(1)中求出的$m$值即可写出点$P$的坐标；根据$PQ// x$轴的性质，可知点$Q$的纵坐标和点$P$的纵坐标相等，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出点$Q$的横坐标，进而得到线段$PQ$的长度；计算$△ PQO$的面积时，以$PQ$为底，$PQ$到$x$轴的距离（即$P$、$Q$的纵坐标值）为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $\because$点$ P(m,a) $是二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象上的点，
$\therefore$将$P$的坐标代入函数解析式得：$a=a(m-1)^2$，
$\because$二次函数中$a≠0$，等式两边同时除以$a$得$(m-1)^2=1$，
解得 $m=2$ 或 $m=0$。
$\because$点$ P $在第一象限内，横坐标$m＞0$，
$\therefore m=2$。
(2) $\because a$的值为3，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点$ P $的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ// x$轴且交二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象于另一点$ Q $，
$\therefore Q$的纵坐标与$P$相同，为3，将$y=3$代入$y=3(x-1)^2$得$3=3(x-1)^2$，解得$x=2$或$x=0$，
$\therefore$点$ Q $的坐标为$(0,3)$，
$\therefore PQ=|2-0|=2$，
$\therefore S_{△ PQO}=\dfrac{1}{2}×PQ×3=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 三角形的面积为$3$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，侧重考查基础知识点的应用，解题的关键是熟练掌握点与函数图象的关系、平行于$x$轴的直线上点的坐标特点，整体计算量小，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：若点在函数图象上，则点的坐标满足对应函数的解析式，因此将点$P(m,a)$代入二次函数解析式，即可得到关于$m$的方程，解方程得到$m$的两个可能值后，再结合点$P$在第一象限（横、纵坐标均为正）的限制条件，即可筛选出符合要求的$m$的值。
(2) 先将$a=3$代入二次函数解析式，确定函数的具体表达式，结合(1)中求出的$m$值即可写出点$P$的坐标；根据$PQ// x$轴的性质，可知点$Q$的纵坐标和点$P$的纵坐标相等，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出点$Q$的横坐标，进而得到线段$PQ$的长度；计算$△ PQO$的面积时，以$PQ$为底，$PQ$到$x$轴的距离（即$P$、$Q$的纵坐标值）为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $\because$点$ P(m,a) $是二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象上的点，
$\therefore$将$P$的坐标代入函数解析式得：$a=a(m-1)^2$，
$\because$二次函数中$a≠0$，等式两边同时除以$a$得$(m-1)^2=1$，
解得 $m=2$ 或 $m=0$。
$\because$点$ P $在第一象限内，横坐标$m＞0$，
$\therefore m=2$。
(2) $\because a$的值为3，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=3(x-1)^2$。
$\because m=2,a=3$，
$\therefore$点$ P $的坐标为$(2,3)$。
$\because PQ// x$轴且交二次函数$ y=a(x-1)^2 $的图象于另一点$ Q $，
$\therefore Q$的纵坐标与$P$相同，为3，将$y=3$代入$y=3(x-1)^2$得$3=3(x-1)^2$，解得$x=2$或$x=0$，
$\therefore$点$ Q $的坐标为$(0,3)$，
$\therefore PQ=|2-0|=2$，
$\therefore S_{△ PQO}=\dfrac{1}{2}×PQ×3=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 三角形的面积为$3$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，侧重考查基础知识点的应用，解题的关键是熟练掌握点与函数图象的关系、平行于$x$轴的直线上点的坐标特点，整体计算量小，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
15.【数学应用】多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线。阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳，小李与小王分别站在A，B两点摇绳，两位同学的摇绳点C，D高度一致，其他伙伴参与跳绳。已知AB=6 m，AC=1.2 m，当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面AB为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示。
(1)求此时抛物线的表达式；
(2)若参与跳绳的同学站在点F处，EF=1 m，当绳的形状恰好是如图所示的抛物线时，该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？
(1)求此时抛物线的表达式；
(2)若参与跳绳的同学站在点F处，EF=1 m，当绳的形状恰好是如图所示的抛物线时，该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？
答案
15.解:(1)由题意可得抛物线的顶点为$(3,0)$，
$\therefore$可设抛物线的表达式为 $y=a(x-3)^2$。
又$\because$抛物线过点$(0,1.2)$，
$\therefore 9a=1.2$。
$\therefore a=\dfrac{2}{15}$。
$\therefore$此时抛物线的表达式为 $y=\dfrac{2}{15}(x-3)^2$。
(2)由题意，得点 $F$ 的横坐标为 $4$。
当 $x=4$ 时，$y=\dfrac{2}{15}×(4-3)^2=\dfrac{2}{15}$。
$\therefore$该同学最低要跳过$\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$，才能让绳安全通过。
$\therefore$可设抛物线的表达式为 $y=a(x-3)^2$。
又$\because$抛物线过点$(0,1.2)$，
$\therefore 9a=1.2$。
$\therefore a=\dfrac{2}{15}$。
$\therefore$此时抛物线的表达式为 $y=\dfrac{2}{15}(x-3)^2$。
(2)由题意，得点 $F$ 的横坐标为 $4$。
当 $x=4$ 时，$y=\dfrac{2}{15}×(4-3)^2=\dfrac{2}{15}$。
$\therefore$该同学最低要跳过$\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$，才能让绳安全通过。
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，首先观察抛物线特征：已知抛物线最低点E为顶点，AB长6m，因此顶点E坐标为$(3,0)$，优先选择顶点式设抛物线解析式；再结合已知点C的坐标$(0,1.2)$，代入顶点式即可求出参数a，得到抛物线表达式。
(2) 求同学需要跳过的最低高度，本质是求F点对应的抛物线纵坐标：首先确定F点横坐标，E点横坐标为3，$EF=1\ \mathrm{m}$，因此F点横坐标为$3+1=4$，将$x=4$代入已求得的抛物线解析式，计算得到的y值就是需要跳过的最低高度。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线的顶点E是AB中点，$AB=6\ \mathrm{m}$，因此顶点坐标为$(3,0)$，设抛物线的表达式为 $y=a(x-3)^2$。
已知$AC=1.2\ \mathrm{m}$，因此点C坐标为$(0,1.2)$，将点C代入解析式得：
$1.2=a(0-3)^2$，即$9a=1.2$，解得$a=\dfrac{2}{15}$。
因此抛物线的表达式为 $y=\dfrac{2}{15}(x-3)^2$。
(2) 已知$EF=1\ \mathrm{m}$，E点横坐标为3，且F在E右侧，因此F点横坐标为$3+1=4$。
将$x=4$代入抛物线解析式得：$y=\dfrac{2}{15}×(4-3)^2=\dfrac{2}{15}$。
即F点处绳子的高度为$\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$，因此该同学最低要跳过$\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$才能让绳安全通过。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{15}(x-3)^2$
(2) $\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中跳绳的场景考查二次函数的应用，解题关键是结合题意准确提取抛物线上关键点的坐标，灵活选择二次函数的表达形式求解，再代入自变量计算对应函数值即可，贴近生活，注重基础知识的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线表达式时，首先观察抛物线特征：已知抛物线最低点E为顶点，AB长6m，因此顶点E坐标为$(3,0)$，优先选择顶点式设抛物线解析式；再结合已知点C的坐标$(0,1.2)$，代入顶点式即可求出参数a，得到抛物线表达式。
(2) 求同学需要跳过的最低高度，本质是求F点对应的抛物线纵坐标：首先确定F点横坐标，E点横坐标为3，$EF=1\ \mathrm{m}$，因此F点横坐标为$3+1=4$，将$x=4$代入已求得的抛物线解析式，计算得到的y值就是需要跳过的最低高度。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线的顶点E是AB中点，$AB=6\ \mathrm{m}$，因此顶点坐标为$(3,0)$，设抛物线的表达式为 $y=a(x-3)^2$。
已知$AC=1.2\ \mathrm{m}$，因此点C坐标为$(0,1.2)$，将点C代入解析式得：
$1.2=a(0-3)^2$，即$9a=1.2$，解得$a=\dfrac{2}{15}$。
因此抛物线的表达式为 $y=\dfrac{2}{15}(x-3)^2$。
(2) 已知$EF=1\ \mathrm{m}$，E点横坐标为3，且F在E右侧，因此F点横坐标为$3+1=4$。
将$x=4$代入抛物线解析式得：$y=\dfrac{2}{15}×(4-3)^2=\dfrac{2}{15}$。
即F点处绳子的高度为$\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$，因此该同学最低要跳过$\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$才能让绳安全通过。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{15}(x-3)^2$
(2) $\dfrac{2}{15}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中跳绳的场景考查二次函数的应用，解题关键是结合题意准确提取抛物线上关键点的坐标，灵活选择二次函数的表达形式求解，再代入自变量计算对应函数值即可，贴近生活，注重基础知识的运用。
【难度系数】
0.7
