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1.
二次函数 & $y=a(x-h)^2 +k$ \\
\hline
& $a＞0,h＞0$ & $a＜0,h＜0$ \\
\hline
图象 &
& \\
\hline
开口方向 &
\hline
对称轴 & &
\hline
顶点坐标 &
\hline
增减性 &
\hline
最值 &
二次函数 & $y=a(x-h)^2 +k$ \\
\hline
& $a＞0,h＞0$ & $a＜0,h＜0$ \\
\hline
图象 &
& \\\hline
开口方向 &
向上
& 向下
\\\hline
对称轴 & &
直线$x=h$
\\\hline
顶点坐标 &
$(h,k)$
& $(h,k)$
\\\hline
增减性 &
当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
& 当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大
\\\hline
最值 &
当$x=h$时，$y$有最小值$k$
& 当$x=h$时，$y$有最大值$k$
\\答案
1. 当$a＞0,h＞0$时：开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小，最值为当$x=h$时，$y$有最小值$k$；
当$a＜0,h＜0$时：开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大，最值为当$x=h$时，$y$有最大值$k$。
当$a＜0,h＜0$时：开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大，最值为当$x=h$时，$y$有最大值$k$。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数对应性质：①$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴固定为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，与$h$的正负无关；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，开口向下时规律相反；④最值：开口向上时函数有最小值，开口向下时函数有最大值，最值均为顶点纵坐标$k$，在$x=h$处取到。再分别对应两种参数情况逐一填写即可。
【解析】
1. 当$a＞0,h＞0$时：
开口方向：$a＞0$，因此开口向上；
对称轴：根据顶点式的性质，对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$；
增减性：开口向上，以对称轴$x=h$为界，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：开口向上，函数存在最小值，在顶点处取到，即当$x=h$时，$y$的最小值为$k$。
2. 当$a＜0,h＜0$时：
开口方向：$a＜0$，因此开口向下；
对称轴：根据顶点式的性质，对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$；
增减性：开口向下，以对称轴$x=h$为界，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：开口向下，函数存在最大值，在顶点处取到，即当$x=h$时，$y$的最大值为$k$。
【答案】
当$a＞0,h＞0$时：开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小，最值为当$x=h$时，$y$有最小值$k$；
当$a＜0,h＜0$时：开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大，最值为当$x=h$时，$y$有最大值$k$。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数$a、h、k$对应的图象特征和性质，熟练掌握这些基础规律是后续解决二次函数综合题的前提，需要牢固记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数对应性质：①$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴固定为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，与$h$的正负无关；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，开口向下时规律相反；④最值：开口向上时函数有最小值，开口向下时函数有最大值，最值均为顶点纵坐标$k$，在$x=h$处取到。再分别对应两种参数情况逐一填写即可。
【解析】
1. 当$a＞0,h＞0$时：
开口方向：$a＞0$，因此开口向上；
对称轴：根据顶点式的性质，对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$；
增减性：开口向上，以对称轴$x=h$为界，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：开口向上，函数存在最小值，在顶点处取到，即当$x=h$时，$y$的最小值为$k$。
2. 当$a＜0,h＜0$时：
开口方向：$a＜0$，因此开口向下；
对称轴：根据顶点式的性质，对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$；
增减性：开口向下，以对称轴$x=h$为界，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：开口向下，函数存在最大值，在顶点处取到，即当$x=h$时，$y$的最大值为$k$。
【答案】
当$a＞0,h＞0$时：开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小，最值为当$x=h$时，$y$有最小值$k$；
当$a＜0,h＜0$时：开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性为当$x＞h$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小；当$x＜h$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大，最值为当$x=h$时，$y$有最大值$k$。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数$a、h、k$对应的图象特征和性质，熟练掌握这些基础规律是后续解决二次函数综合题的前提，需要牢固记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.8
2.
二次
函数
$y=ax^2+bx+c$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| 
|
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | $\mathrm{直线 } x=-\dfrac{b}{2a}$ | $\mathrm{直线 } x=-\dfrac{b}{2a}$ |
| 顶点坐标 | $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ | $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ |
| 增减性 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而增大 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最
二次
函数
$y=ax^2+bx+c$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| || 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | $\mathrm{直线 } x=-\dfrac{b}{2a}$ | $\mathrm{直线 } x=-\dfrac{b}{2a}$ |
| 顶点坐标 | $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ | $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$ |
| 增减性 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而增大 | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，y的值随着x值的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最
小
值 $\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ | 当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最大
值 $\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ |答案
小 大
解析
【分析】
解题时需结合二次项系数a的符号判断开口方向，再结合开口方向判断顶点对应的最值类型：①若a＞0，图象开口向上，顶点是整个图象的最低点，对应的y值就是最小值；②若a＜0，图象开口向下，顶点是整个图象的最高点，对应的y值就是最大值，按照这个逻辑即可完成填空。
【解析】
1. 当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，图象上所有点的y值都不小于顶点的y值，因此当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最小值，第一空填“小”；
2. 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，图象上所有点的y值都不大于顶点的y值，因此当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最大值，第二空填“大”。
【答案】
小 大
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考察，牢记二次项系数符号与开口方向、最值类型的对应关系是解题关键，这部分内容是二次函数相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
解题时需结合二次项系数a的符号判断开口方向，再结合开口方向判断顶点对应的最值类型：①若a＞0，图象开口向上，顶点是整个图象的最低点，对应的y值就是最小值；②若a＜0，图象开口向下，顶点是整个图象的最高点，对应的y值就是最大值，按照这个逻辑即可完成填空。
【解析】
1. 当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，图象上所有点的y值都不小于顶点的y值，因此当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最小值，第一空填“小”；
2. 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，图象上所有点的y值都不大于顶点的y值，因此当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，y有最大值，第二空填“大”。
【答案】
小 大
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的最值
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考察，牢记二次项系数符号与开口方向、最值类型的对应关系是解题关键，这部分内容是二次函数相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
1.下列二次函数的图象,对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$的是(
A.$y=(x-\frac{1}{2})^2$
B.$y=\frac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2+\frac{1}{2}$
D.$y=(x+\frac{1}{2})^2 -3$
A
)。A.$y=(x-\frac{1}{2})^2$
B.$y=\frac{1}{2}x^2$
C.$y=x^2+\frac{1}{2}$
D.$y=(x+\frac{1}{2})^2 -3$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次函数对称轴的计算方法：对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$；对于一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。解题时我们只需要逐个计算每个选项对应的对称轴，和题干要求的$x=\frac{1}{2}$对比，匹配的就是正确答案，要注意顶点式中$h$前面是减号，不要搞反符号。
【解析】
我们根据二次函数顶点式的对称轴规律逐一分析选项：
1. 选项A：$y=(x-\frac{1}{2})^2$属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=\frac{1}{2}$，因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，符合题意；
2. 选项B：$y=\frac{1}{2}x^2$可看作$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，$h=0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），不符合题意；
3. 选项C：$y=x^2+\frac{1}{2}$可看作$y=(x-0)^2+\frac{1}{2}$，$h=0$，对称轴为直线$x=0$，不符合题意；
4. 选项D：$y=(x+\frac{1}{2})^2-3$可变形为$y=(x-(-\frac{1}{2}))^2-3$，$h=-\frac{1}{2}$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式与对称轴的对应关系，做题时需注意顶点式中$h$的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆二次函数对称轴的计算方法：对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$；对于一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。解题时我们只需要逐个计算每个选项对应的对称轴，和题干要求的$x=\frac{1}{2}$对比，匹配的就是正确答案，要注意顶点式中$h$前面是减号，不要搞反符号。
【解析】
我们根据二次函数顶点式的对称轴规律逐一分析选项：
1. 选项A：$y=(x-\frac{1}{2})^2$属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=\frac{1}{2}$，因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，符合题意；
2. 选项B：$y=\frac{1}{2}x^2$可看作$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，$h=0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），不符合题意；
3. 选项C：$y=x^2+\frac{1}{2}$可看作$y=(x-0)^2+\frac{1}{2}$，$h=0$，对称轴为直线$x=0$，不符合题意；
4. 选项D：$y=(x+\frac{1}{2})^2-3$可变形为$y=(x-(-\frac{1}{2}))^2-3$，$h=-\frac{1}{2}$，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式与对称轴的对应关系，做题时需注意顶点式中$h$的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
2.下列二次函数的图象的顶点坐标是(-2，-1)的是(
A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=(x-2)^2 -1$
D.$y=(x+2)^2 -1$
D
)。A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=(x-2)^2 -1$
D.$y=(x+2)^2 -1$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质，其顶点坐标固定为$(h,k)$，注意公式里是$x$减去$h$，因此括号内的符号和$h$的符号相反。接下来我们只需要将每个选项的顶点坐标计算出来，和题干要求的$(-2,-1)$对比即可找到正确答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应顶点坐标为$(h,k)$：
选项A：$y=(x-2)^2+1$中，$h=2$，$k=1$，顶点坐标为$(2,1)$，不符合要求；
选项B：$y=(x+2)^2+1=(x-(-2))^2+1$中，$h=-2$，$k=1$，顶点坐标为$(-2,1)$，不符合要求；
选项C：$y=(x-2)^2-1$中，$h=2$，$k=-1$，顶点坐标为$(2,-1)$，不符合要求；
选项D：$y=(x+2)^2-1=(x-(-2))^2+(-1)$中，$h=-2$，$k=-1$，顶点坐标为$(-2,-1)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；顶点坐标计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式结构的掌握，解题时要格外注意顶点式中$h$的符号，避免因符号混淆出错，熟练掌握顶点式后可直接快速判断顶点坐标。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的性质，其顶点坐标固定为$(h,k)$，注意公式里是$x$减去$h$，因此括号内的符号和$h$的符号相反。接下来我们只需要将每个选项的顶点坐标计算出来，和题干要求的$(-2,-1)$对比即可找到正确答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对应顶点坐标为$(h,k)$：
选项A：$y=(x-2)^2+1$中，$h=2$，$k=1$，顶点坐标为$(2,1)$，不符合要求；
选项B：$y=(x+2)^2+1=(x-(-2))^2+1$中，$h=-2$，$k=1$，顶点坐标为$(-2,1)$，不符合要求；
选项C：$y=(x-2)^2-1$中，$h=2$，$k=-1$，顶点坐标为$(2,-1)$，不符合要求；
选项D：$y=(x+2)^2-1=(x-(-2))^2+(-1)$中，$h=-2$，$k=-1$，顶点坐标为$(-2,-1)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；顶点坐标计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式结构的掌握，解题时要格外注意顶点式中$h$的符号，避免因符号混淆出错，熟练掌握顶点式后可直接快速判断顶点坐标。
【难度系数】
0.8
3.将函数$y=3x^2$的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是（
A.$y=3(x+3)^2 -2$
B.$y=3(x+3)^2 +2$
C.$y=3(x-3)^2 -2$
D.$y=3(x-3)^2 +2$
B
）。A.$y=3(x+3)^2 -2$
B.$y=3(x+3)^2 +2$
C.$y=3(x-3)^2 -2$
D.$y=3(x-3)^2 +2$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题需运用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则，解题分两步推进：第一步先处理向上平移的变换，向上平移是对函数整体的函数值调整，遵循“上加下减”；第二步处理向左平移的变换，向左平移是对自变量x进行调整，遵循“左加右减”，注意左右平移时要给x本身加减平移单位，需带上括号，避免符号错误。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=3x^2$
1. 先将图象向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，在原解析式末尾加2，可得：
$y=3x^2+2$
2. 再将得到的函数图象向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+3$，代入后可得：
$y=3(x+3)^2+2$
对比选项可知该式对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、平移变换法则、二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查二次函数图象的平移变换规则，易错点是容易混淆左右平移的符号，牢记左右平移针对自变量x做“左加右减”、上下平移针对函数整体值做“上加下减”，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
解决这道题需运用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则，解题分两步推进：第一步先处理向上平移的变换，向上平移是对函数整体的函数值调整，遵循“上加下减”；第二步处理向左平移的变换，向左平移是对自变量x进行调整，遵循“左加右减”，注意左右平移时要给x本身加减平移单位，需带上括号，避免符号错误。
【解析】
解：已知原抛物线解析式为$y=3x^2$
1. 先将图象向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，在原解析式末尾加2，可得：
$y=3x^2+2$
2. 再将得到的函数图象向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+3$，代入后可得：
$y=3(x+3)^2+2$
对比选项可知该式对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、平移变换法则、二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查二次函数图象的平移变换规则，易错点是容易混淆左右平移的符号，牢记左右平移针对自变量x做“左加右减”、上下平移针对函数整体值做“上加下减”，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
4.若抛物线$y=(x-m)^2 + m +1$的顶点在第一象限，则$m$的取值范围为(
A.$m＞1$
B.$m＞0$
C.$m＞-1$
D.$-1＜m＜0$
B
)。A.$m＞1$
B.$m＞0$
C.$m＞-1$
D.$-1＜m＜0$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律：抛物线$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，据此先求出给定抛物线的顶点坐标；再结合第一象限内点的坐标特征：横坐标大于0、纵坐标大于0，列出关于$m$的不等式组；最后求解不等式组，取两个不等式解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
因此抛物线$y=(x-m)^2 + m +1$的顶点坐标为$(m, m+1)$。
∵ 顶点在第一象限，第一象限内的点满足横坐标＞0，纵坐标＞0，
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}m＞0 \\m+1＞0\end{cases}$
解不等式$m+1＞0$，得$m＞-1$。
两个不等式的公共解集为$m＞0$。
因此$m$的取值范围是$m＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，象限内点的坐标特征，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于二次函数的基础应用型题目，解题的核心是准确掌握二次函数顶点式对应的顶点坐标，同时牢记各象限内点的坐标符号特点，整体计算量小，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律：抛物线$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，据此先求出给定抛物线的顶点坐标；再结合第一象限内点的坐标特征：横坐标大于0、纵坐标大于0，列出关于$m$的不等式组；最后求解不等式组，取两个不等式解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
因此抛物线$y=(x-m)^2 + m +1$的顶点坐标为$(m, m+1)$。
∵ 顶点在第一象限，第一象限内的点满足横坐标＞0，纵坐标＞0，
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}m＞0 \\m+1＞0\end{cases}$
解不等式$m+1＞0$，得$m＞-1$。
两个不等式的公共解集为$m＞0$。
因此$m$的取值范围是$m＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，象限内点的坐标特征，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于二次函数的基础应用型题目，解题的核心是准确掌握二次函数顶点式对应的顶点坐标，同时牢记各象限内点的坐标符号特点，整体计算量小，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.对于二次函数$y=(x-1)^2+2$的图象，下列说法正确的是(
A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-1$
C.顶点坐标是$(1,2)$
D.与$x$轴有两个交点
C
)。A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-1$
C.顶点坐标是$(1,2)$
D.与$x$轴有两个交点
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象性质，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合函数与$x$轴交点的判断方法，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=1$，$k=2$：
1. 分析选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A错误；
2. 分析选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，B错误；
3. 分析选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(1,2)$，C正确；
4. 分析选项D：抛物线开口向上，顶点纵坐标为2，即函数最小值为$2＞0$，因此抛物线与$x$轴没有交点，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，牢记相关性质即可快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的图象性质，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合函数与$x$轴交点的判断方法，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=1$，$k=2$：
1. 分析选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A错误；
2. 分析选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，B错误；
3. 分析选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(1,2)$，C正确；
4. 分析选项D：抛物线开口向上，顶点纵坐标为2，即函数最小值为$2＞0$，因此抛物线与$x$轴没有交点，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象特征；抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，牢记相关性质即可快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.9
6.已知二次函数$y=-2x^2+4x-3$，如果y的值随着x值的增大而减小，那么x的取值范围是（
A.$x＞1$
B.$x＞0$
C.$x＞-1$
D.$x＞-2$
A
）。A.$x＞1$
B.$x＞0$
C.$x＞-1$
D.$x＞-2$
答案
A
解析
【分析】
要确定二次函数中y随x增大而减小的x取值范围，需结合二次函数的性质分析：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，再计算出抛物线的对称轴，最后结合开口方向判断对应的增减区间：开口向下的抛物线，对称轴右侧y随x的增大而减小，由此即可求出x的范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），本题中$a=-2$，$b=4$：
1. 判断开口方向：$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值得$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$；
因此当$x＞1$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是牢记二次函数开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，避免混淆不同开口方向下的增减区间。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数中y随x增大而减小的x取值范围，需结合二次函数的性质分析：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，再计算出抛物线的对称轴，最后结合开口方向判断对应的增减区间：开口向下的抛物线，对称轴右侧y随x的增大而减小，由此即可求出x的范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），本题中$a=-2$，$b=4$：
1. 判断开口方向：$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值得$x=-\frac{4}{2×(-2)}=1$；
因此当$x＞1$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是牢记二次函数开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，避免混淆不同开口方向下的增减区间。
【难度系数】
0.8
