1.【阅读理解题】法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法时，发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系，由于韦达最早发现这种特殊关系，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理的一种推导过程如下：
已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的两个根分别为 $ x_1, x_2 $，$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 $，由此可得 $ -a(x_1 + x_2) = b $，$ ax_1x_2 = c $，因此 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $，$ x_1x_2 = \frac{c}{a} $，即为韦达定理.
(1)类比探究:类比以上方法推导出关于 $ x $ 的一元三次方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a ≠ 0) $ 的韦达定理；
(2)拓展应用:若一元三次方程 $ x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0 $ 有三个根 $ x_1, x_2, x_3 $，求 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} $ 的值.

解:(1)设关于 $x$ 的一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三个根分别为 $x_1$,$x_2,x_3$,
则 $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)·(x-x_3)=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3.$
由此可得 $-a(x_1+x_2+x_3)=b,a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=c,-ax_1x_2x_3=d$,
则 $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a},x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}.$
(2)$\because x_1,x_2,x_3$ 是一元三次方程 $x^3-6x^2-x+30=0$ 的三个根,
$\therefore x_1x_2x_3=-30,x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-1,$
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}=\frac{1}{30}.$

【分析】
(1) 第一问采用类比推导思路：材料中一元二次方程韦达定理是通过将方程分解为两个一次因式乘积、展开后对比同次项系数推导得到，一元三次方程有三个根，可类比将其分解为三个一次因式的乘积，展开后与原三次方程同次项系数对应相等，整理即可得到三次方程的韦达定理。
(2) 第二问先将所求分式和通分变形，转化为用“三个根两两乘积的和”以及“三个根的乘积”表示的形式，再利用第一问推导的三次韦达定理，代入对应系数计算即可。
【解析】
(1) 设关于$x$的一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个根分别为$x_1,x_2,x_3$，
根据方程根与因式分解的关系可得：
$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
将右侧展开得：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$
多项式恒等时同次项系数相等，因此：
$\begin{cases}-a(x_1+x_2+x_3)=b \\a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=c \\-ax_1x_2x_3=d \end{cases}$
整理得三次方程的韦达定理：
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$，$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$
(2) 一元三次方程$x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0$对应一般式，得$a=1$，$b=-6$，$c=-1$，$d=30$。
根据(1)的韦达定理可得：
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}=-1$，$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=-30$
将所求式子通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3}$
代入数值计算：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{-1}{-30}=\frac{1}{30}$
【答案】
(1) 一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的韦达定理：$\boldsymbol{x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}}$，$\boldsymbol{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}}$，$\boldsymbol{x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{30}}$
【知识点】
1. 韦达定理拓展
2. 分式化简
3. 多项式恒等变形
【点评】
本题属于阅读理解类题型，侧重考查知识迁移能力和代数运算能力，需要先理解二次韦达定理的推导逻辑，再类比迁移到三次方程的推导中，最后应用结论求解，解题时需注意系数符号的对应，避免符号错误。
【难度系数】
0.7

2.【阅读理解题】阅读材料，解答问题：
已知实数$m,n$满足$m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,则$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系就可以知道$m$与$n$的和,$m$与$n$的积.
根据上述材料,解决以下问题:
(1)【材料理解】
$m+n=$,$mn=$;
(2)【类比应用】
已知实数$a,b$满足$a^2 -5a +1=0,b^2 -5b +1=0$,且$a≠b$,求$a^2 +b^2$的值;
(3)【思维拓展】
已知实数$s,t$满足$2s^2 -7s +1=0,t^2 -7t +2=0$,且$st≠1$,求$\frac{2st+2}{st+3t+1}$的值.

2.解:(1)1 −1
(2)$\because$ 实数 $a,b$ 满足 $a^2-5a+1=0,b^2-5b+1=0$,且 $a≠ b$,
$\therefore$ 实数 $a,b$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-5x+1=0$ 的两个不相等的实数根,
$\therefore a+b=5,ab=1,$
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×1=23.$
(3)$\because t^2-7t+2=0$,
当 $t=0$ 时,$t^2-7t+2=2≠0,\therefore t≠0.$
$\therefore \frac{2}{t^2}-\frac{7}{t}+1=0.$
$\because st≠1,\therefore s≠\frac{1}{t}.$
又 $\because 2s^2-7s+1=0$,
$\therefore s,\frac{1}{t}$ 是关于 $x$ 的方程 $2x^2-7x+1=0$ 的两个不相等的实数根,
$\therefore s+\frac{1}{t}=\frac{7}{2}$,即 $\frac{st+1}{t}=\frac{7}{2}$,
$\therefore st+1=\frac{7}{2}t,\therefore \frac{2st+2}{st+3t+1}=\frac{2(st+1)}{(st+1)+3t}=\frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t+3t}=\frac{7t}{\frac{13}{2}t}=\frac{14}{13}.$

【分析】
(1) 由材料可知$m、n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不等实根，直接根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$，代入即可算出结果。
(2) 类比材料思路，$a、b$满足的方程形式一致且$a≠b$，因此可将$a、b$看作方程$x^2 -5x +1=0$的两个不等实根，先由韦达定理求出$a+b$和$ab$的值，再将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，代入数值计算即可。
(3) 先对$t$满足的方程变形：因$t≠0$（若$t=0$代入方程不成立），两边同除以$t^2$可得$2·(\frac{1}{t})^2 -7·\frac{1}{t}+1=0$，结合$st≠1$可知$s≠\frac{1}{t}$，因此$s$和$\frac{1}{t}$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，由韦达定理得到$s+\frac{1}{t}=\frac{7}{2}$，变形得到$st+1$与$t$的关系，再代入所求代数式化简即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$m、n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不等实数根，由根与系数的关系得：
$m+n=-\frac{-1}{1}=1$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
(2) $\because$ 实数$a,b$满足$a^2-5a+1=0,b^2-5b+1=0$，且$a≠b$，
$\therefore a,b$是关于$x$的方程$x^2 -5x +1=0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得：$a+b=5$，$ab=1$，
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab = 5^2 -2×1 =23$。
(3) $\because t^2 -7t +2=0$，
当$t=0$时，左边$=0 -0 +2=2≠0$，$\therefore t≠0$，
将方程两边同时除以$t^2$得：$2·(\frac{1}{t})^2 -7·(\frac{1}{t}) +1 =0$，
$\because st≠1$，$\therefore s≠\frac{1}{t}$，
又$\because 2s^2 -7s +1=0$，
$\therefore s、\frac{1}{t}$是关于$x$的方程$2x^2 -7x +1=0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得：$s + \frac{1}{t} = \frac{7}{2}$，
通分得：$\frac{st +1}{t} =\frac{7}{2}$，即$st +1 = \frac{7t}{2}$，
将$st+1=\frac{7t}{2}$代入所求代数式：
$\frac{2st +2}{st +3t +1} = \frac{2(st +1)}{(st +1) + 3t} = \frac{2×\frac{7t}{2}}{\frac{7t}{2} +3t} =\frac{7t}{\frac{13t}{2}} = \frac{14}{13}$。
【答案】
(1) $1$，$-1$；(2) $23$；(3) $\frac{14}{13}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式
3. 代数式化简求值
【点评】
本题属于阅读理解类题型，既考查基础知识点的掌握程度，又考查类比迁移和转化的数学思维，前两问较为基础，第三问需要通过变形构造同结构方程，灵活运用韦达定理求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6