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1.已知$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + nx -1=0$的两个实数根，则式子$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值是（
A.$n^2 +2$
B.$-n^2 +2$
C.$n^2 -2$
D.$-n^2 -2$
D
）A.$n^2 +2$
B.$-n^2 +2$
C.$n^2 -2$
D.$-n^2 -2$
答案
1.D
解析
【分析】
遇到求一元二次方程两根的分式类代数式的值的问题，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可先得到两根之和与两根之积；再将待求的$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分变形，结合完全平方公式的变式，把式子转化为仅含两根之和、两根之积的形式，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
∵$a,b$是一元二次方程$x^2 + nx -1=0$的两个实数根
根据韦达定理，可得：
$a+b=-n$，$ab=-1$
对所求代数式变形：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
将$a+b=-n$，$ab=-1$代入上式：
原式$=\frac{(-n)^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{n^2 + 2}{-1}=-n^2 -2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，分式化简，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础常考题，解题关键是将待求代数式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，计算时需注意符号，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
遇到求一元二次方程两根的分式类代数式的值的问题，首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可先得到两根之和与两根之积；再将待求的$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分变形，结合完全平方公式的变式，把式子转化为仅含两根之和、两根之积的形式，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
∵$a,b$是一元二次方程$x^2 + nx -1=0$的两个实数根
根据韦达定理，可得：
$a+b=-n$，$ab=-1$
对所求代数式变形：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
将$a+b=-n$，$ab=-1$代入上式：
原式$=\frac{(-n)^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{n^2 + 2}{-1}=-n^2 -2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，分式化简，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础常考题，解题关键是将待求代数式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，计算时需注意符号，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.7
2. 一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$与$x^2 - x +3=0$的所有实数根的和等于（
A.2
B.-4
C.4
D.3
D
）A.2
B.-4
C.4
D.3
答案
2.D 点拨:因为方程 $x^2-x+3=0$ 的根的判别式 $\Delta=(-1)^2-4×1×3=-11＜0$,故此方程无实数根,而方程 $x^2-3x-1=0$的两根 $x_1,x_2$ 的和为 $x_1+x_2=3$,从而两个方程所有实数根的和等于 3.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按两步思路推导：首先，一元二次方程只有当根的判别式$\Delta≥0$时才有实数根，所以要先分别判断两个方程是否存在实数根，排除无实根的方程；其次，对有实数根的方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算两根之和，最终所有实根的总和就是所求结果，注意无实根的方程不需要参与求和。
【解析】
解：1. 判断方程$x^2 - x +3=0$的实根情况
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
该方程中$a=1,b=-1,c=3$，代入得：
$\Delta=(-1)^2-4×1×3=1-12=-11＜0$
因此该方程没有实数根，不参与根的求和。
2. 判断方程$x^2 - 3x -1=0$的实根情况
该方程中$a=1,b=-3,c=-1$，代入判别式得：
$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$，存在两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$。
综上，两个方程所有实数根的和为3。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是易错题，解题时切勿直接将两个方程的两根之和相加，必须先通过判别式验证方程是否有实数根，仅存在实根的方程才能用韦达定理计算根的和。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按两步思路推导：首先，一元二次方程只有当根的判别式$\Delta≥0$时才有实数根，所以要先分别判断两个方程是否存在实数根，排除无实根的方程；其次，对有实数根的方程，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算两根之和，最终所有实根的总和就是所求结果，注意无实根的方程不需要参与求和。
【解析】
解：1. 判断方程$x^2 - x +3=0$的实根情况
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
该方程中$a=1,b=-1,c=3$，代入得：
$\Delta=(-1)^2-4×1×3=1-12=-11＜0$
因此该方程没有实数根，不参与根的求和。
2. 判断方程$x^2 - 3x -1=0$的实根情况
该方程中$a=1,b=-3,c=-1$，代入判别式得：
$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$，存在两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$。
综上，两个方程所有实数根的和为3。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是易错题，解题时切勿直接将两个方程的两根之和相加，必须先通过判别式验证方程是否有实数根，仅存在实根的方程才能用韦达定理计算根的和。
【难度系数】
0.7
3. 已知$α^2 + α - 1 = 0$，$β^2 + β - 1 = 0$，且$α ≠ β$，则$αβ + α + β$的值为（
A.2
B.$-2$
C.$-1$
D.0
B
）A.2
B.$-2$
C.$-1$
D.0
答案
3.B 点拨:因为 $α≠β$,所以 $α,β$ 可看作一元二次方程 $x^2+x-1=0$ 的两个根,于是 $α+β=-1,αβ=-1$,从而 $αβ+α+β=-2.$
解析
【分析】
首先观察已知条件，α和β满足的方程结构完全相同，且α≠β，因此可判断α、β是一元二次方程$x^2+x-1=0$的两个不相等的实数根；接下来回忆一元二次方程根与系数的关系，即可求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$的值；最后将求得的结果代入待求代数式计算即可得到答案。
【解析】
∵$α^2 + α - 1 = 0$，$β^2 + β - 1 = 0$，且$α ≠ β$
∴$α$、$β$是一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个不相等的实数根
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$α + β = -\frac{1}{1} = -1$，$αβ = \frac{-1}{1} = -1$
将上述结果代入$αβ + α + β$得：
$αβ + α + β = -1 + (-1) = -2$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题型，解题的核心是根据两个等式的结构特征识别出$α$、$β$为对应一元二次方程的两个根，再结合根与系数的关系代入计算即可，可有效考查学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，α和β满足的方程结构完全相同，且α≠β，因此可判断α、β是一元二次方程$x^2+x-1=0$的两个不相等的实数根；接下来回忆一元二次方程根与系数的关系，即可求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$的值；最后将求得的结果代入待求代数式计算即可得到答案。
【解析】
∵$α^2 + α - 1 = 0$，$β^2 + β - 1 = 0$，且$α ≠ β$
∴$α$、$β$是一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个不相等的实数根
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$α + β = -\frac{1}{1} = -1$，$αβ = \frac{-1}{1} = -1$
将上述结果代入$αβ + α + β$得：
$αβ + α + β = -1 + (-1) = -2$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题型，解题的核心是根据两个等式的结构特征识别出$α$、$β$为对应一元二次方程的两个根，再结合根与系数的关系代入计算即可，可有效考查学生对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如果关于x的方程$x^2 - 2(1 - k)x + k^2 = 0$有实数根α,β,那么α+β的取值范围是(
A.$α+β≥1$
B.$α+β≤1$
C.$α+β≥\frac{1}{2}$
D.$α+β≤\frac{1}{2}$
A
)A.$α+β≥1$
B.$α+β≤1$
C.$α+β≥\frac{1}{2}$
D.$α+β≤\frac{1}{2}$
答案
4.A 点拨:由 $\Delta=[-2(1-k)]^2-4×1× k^2=4-8k≥0$,得 $k≤\frac{1}{2}$,即 $1-k≥\frac{1}{2}$,$\thereforeα+β=2(1-k)≥1.$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分两步思考：首先，一元二次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，我们可以先通过判别式求出参数k的取值范围；其次，要求两根之和α+β的取值范围，我们可以用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将α+β用含k的代数式表示，最后结合k的取值范围推导得到α+β的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 - 2(1 - k)x + k^2 = 0$有实数根α,β
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$
即$\Delta = [-2(1 - k)]^2 - 4 × 1 × k^2$
$= 4(1 - 2k + k^2) - 4k^2$
$= 4 - 8k ≥ 0$
解不等式得：$k ≤ \frac{1}{2}$
根据根与系数的关系，两根之和$α + β = -\frac{b}{a} = 2(1 - k)$
∵ $k ≤ \frac{1}{2}$
∴ $-k ≥ -\frac{1}{2}$，两边加1得：$1 - k ≥ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
两边同时乘2得：$2(1 - k) ≥ 1$
即$α + β ≥ 1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的常规应用题型，解题的核心是先利用判别式确定参数的取值范围，再结合韦达定理将所求代数式和参数范围关联求解，注意不等式变形时不等号的方向不要出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们分两步思考：首先，一元二次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0，我们可以先通过判别式求出参数k的取值范围；其次，要求两根之和α+β的取值范围，我们可以用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将α+β用含k的代数式表示，最后结合k的取值范围推导得到α+β的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^2 - 2(1 - k)x + k^2 = 0$有实数根α,β
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$
即$\Delta = [-2(1 - k)]^2 - 4 × 1 × k^2$
$= 4(1 - 2k + k^2) - 4k^2$
$= 4 - 8k ≥ 0$
解不等式得：$k ≤ \frac{1}{2}$
根据根与系数的关系，两根之和$α + β = -\frac{b}{a} = 2(1 - k)$
∵ $k ≤ \frac{1}{2}$
∴ $-k ≥ -\frac{1}{2}$，两边加1得：$1 - k ≥ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
两边同时乘2得：$2(1 - k) ≥ 1$
即$α + β ≥ 1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的常规应用题型，解题的核心是先利用判别式确定参数的取值范围，再结合韦达定理将所求代数式和参数范围关联求解，注意不等式变形时不等号的方向不要出错。
【难度系数】
0.7
5.若$α,β$是方程$x^2 - 3x -5=0$的两根,则代数式$α^2 +2β^2 -3β$的值是(
A.21
B.24
C.27
D.29
B
)A.21
B.24
C.27
D.29
答案
5.B 点拨:$α^2+2β^2-3β=(α+β)^2+(β^2-3β-5)-2αβ+5=3^2+0-2×(-5)+5=24.$
解析
【分析】
解题可按照三步思路开展：第一步，利用一元二次方程根的定义，α、β是方程的根，代入方程等式成立，可得到α²、β²的降次关系以及β²-3β的固定值；第二步，根据根与系数的关系直接得到两根之和α+β、两根之积αβ的数值；第三步，将目标代数式变形为可用上述已知式子整体代入的形式，无需计算α、β的具体值，代入求值即可。
【解析】
解：
∵α，β是方程$x^2 - 3x -5=0$的两根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：
$α^2-3α-5=0$，$β^2-3β-5=0$，即$α^2=3α+5$，$β^2=3β+5$，$β^2-3β=5$，
根据根与系数的关系可得：
$α+β=3$，$αβ=-5$，
对目标代数式变形：
$α^2 +2β^2 -3β$
$=α^2+β^2+(β^2-3β)$
$=α^2+β^2+5$
又
∵$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入得：
原式$=3^2-2×(-5)+5$
$=9+10+5$
$=24$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质的典型应用题型，解题核心是借助根的定义完成高次项降次，结合整体代入思想运算，避免了直接求解方程根的繁琐步骤，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.65
解题可按照三步思路开展：第一步，利用一元二次方程根的定义，α、β是方程的根，代入方程等式成立，可得到α²、β²的降次关系以及β²-3β的固定值；第二步，根据根与系数的关系直接得到两根之和α+β、两根之积αβ的数值；第三步，将目标代数式变形为可用上述已知式子整体代入的形式，无需计算α、β的具体值，代入求值即可。
【解析】
解：
∵α，β是方程$x^2 - 3x -5=0$的两根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：
$α^2-3α-5=0$，$β^2-3β-5=0$，即$α^2=3α+5$，$β^2=3β+5$，$β^2-3β=5$，
根据根与系数的关系可得：
$α+β=3$，$αβ=-5$，
对目标代数式变形：
$α^2 +2β^2 -3β$
$=α^2+β^2+(β^2-3β)$
$=α^2+β^2+5$
又
∵$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入得：
原式$=3^2-2×(-5)+5$
$=9+10+5$
$=24$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质的典型应用题型，解题核心是借助根的定义完成高次项降次，结合整体代入思想运算，避免了直接求解方程根的繁琐步骤，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.65
6.【学科内综合】若一元二次方程$-x(x+3)+4=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：首先需将给定的一元二次方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值；再利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和$m$、两根之积$n$；最后根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$-x(x+3)+4=0$
展开、移项整理得：$x^2 + 3x - 4 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$m=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$
两根之积$n=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$
因此点的坐标为$(-3,-4)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程知识与平面直角坐标系知识结合考查，解题关键是正确将方程化为一般形式，准确记忆根与系数的关系公式，注意各项系数的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路思考：首先需将给定的一元二次方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值；再利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和$m$、两根之积$n$；最后根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$-x(x+3)+4=0$
展开、移项整理得：$x^2 + 3x - 4 = 0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$m=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$
两根之积$n=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$
因此点的坐标为$(-3,-4)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程知识与平面直角坐标系知识结合考查，解题关键是正确将方程化为一般形式，准确记忆根与系数的关系公式，注意各项系数的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
7.若菱形两条对角线的长是方程$x^2 -4x +3=0$的两根，则该菱形的面积为(
A.3
B.$-3$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$
C
)A.3
B.$-3$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题首先明确两个核心要点：一是菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；二是已知两条对角线长是方程的两根，可利用一元二次方程根与系数的关系直接求出两根的乘积，无需单独求解方程的根，提升解题效率。另外几何图形的面积一定为正数，可先直接排除选项中的负数选项B、D，缩小选择范围。
【解析】
解法1（利用韦达定理解题）：
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，即两条对角线长度的乘积为3。
根据菱形的面积公式：$S_{菱形}=\frac{1}{2} × 对角线\_\_\_\_\_\_1 × 对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入得$S=\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$。
解法2（解方程求根验证）：
解方程$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，即两条对角线长分别为1和3。
则菱形面积$S=\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{3}{2}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 菱形的面积计算
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，既可以直接解方程求根计算，也可以利用韦达定理简化计算，解题时需注意不要遗漏菱形面积公式中的$\frac{1}{2}$，避免错选A选项。
【难度系数】
0.7
解题首先明确两个核心要点：一是菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；二是已知两条对角线长是方程的两根，可利用一元二次方程根与系数的关系直接求出两根的乘积，无需单独求解方程的根，提升解题效率。另外几何图形的面积一定为正数，可先直接排除选项中的负数选项B、D，缩小选择范围。
【解析】
解法1（利用韦达定理解题）：
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，即两条对角线长度的乘积为3。
根据菱形的面积公式：$S_{菱形}=\frac{1}{2} × 对角线\_\_\_\_\_\_1 × 对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入得$S=\frac{1}{2} × 3=\frac{3}{2}$。
解法2（解方程求根验证）：
解方程$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，即两条对角线长分别为1和3。
则菱形面积$S=\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{3}{2}$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 菱形的面积计算
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，既可以直接解方程求根计算，也可以利用韦达定理简化计算，解题时需注意不要遗漏菱形面积公式中的$\frac{1}{2}$，避免错选A选项。
【难度系数】
0.7
8.【整体思想】若一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两根为α,β,则$2α^2 - 3α + 3β$的值为
10
。答案
8.10
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，其中含$2α^2$项，因为α是已知方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将$2α^2$转化为含α的一次式，对所求代数式降次化简，化简后可得到含两根和$α+β$的式子，再结合一元二次方程根与系数的关系求出$α+β$的值，整体代入即可求出结果，无需单独求解两根的具体值，简化运算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
∴ 将$x=α$代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，即$2α^2 = 6α + 1$。
将$2α^2 = 6α + 1$代入$2α^2 - 3α + 3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α + 1 - 3α + 3β\\&=3α + 3β + 1\\&=3(α + β) + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$中$a=2$，$b=-6$，
∴ 两根和$α + β = -\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$。
将$α + β=3$代入得：原式$=3×3 + 1 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用，核心考察整体思想，通过根的定义降次后结合韦达定理整体代入计算，避免了求解根的具体值带来的复杂运算，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构，其中含$2α^2$项，因为α是已知方程的根，可先利用一元二次方程根的定义，将$2α^2$转化为含α的一次式，对所求代数式降次化简，化简后可得到含两根和$α+β$的式子，再结合一元二次方程根与系数的关系求出$α+β$的值，整体代入即可求出结果，无需单独求解两根的具体值，简化运算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
∴ 将$x=α$代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，即$2α^2 = 6α + 1$。
将$2α^2 = 6α + 1$代入$2α^2 - 3α + 3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α + 1 - 3α + 3β\\&=3α + 3β + 1\\&=3(α + β) + 1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$中$a=2$，$b=-6$，
∴ 两根和$α + β = -\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$。
将$α + β=3$代入得：原式$=3×3 + 1 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用，核心考察整体思想，通过根的定义降次后结合韦达定理整体代入计算，避免了求解根的具体值带来的复杂运算，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.已知$x_1$和$x_2$为一元二次方程$2x^2 - 2x + 3m - 1 = 0$的两个实数根，并且$x_1$和$x_2$满足不等式$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2 - 4} ＜ 1$，则实数$m$的取值范围为
$-\frac{5}{3}＜m≤\frac{1}{2}$
。答案
9.$-\frac{5}{3}＜m≤\frac{1}{2}$ 点拨:因为方程有两个实数根,所以 $\Delta=(-2)^2-4×2×(3m-1)≥0$,解得 $m≤\frac{1}{2}$. 又因为 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-2x+3m-1=0$ 的两个实数根, 由一元二次方程的根与系数的关系知, $x_1+x_2=1$,$x_1x_2=\frac{3m-1}{2}$, 而 $\frac{x_1x_2}{x_1+x_2-4}＜1$, 即 $\frac{\frac{1}{2}(3m-1)}{1-4}＜1$, 解得 $m＞-\frac{5}{3}$, 故 $m$ 的取值范围是 $-\frac{5}{3}＜m≤\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
解题时首先要明确，一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta≥0$，由此可先求出$m$的第一个取值范围；其次题目给出的不等式涉及两根之和与两根之积，可利用一元二次方程根与系数的关系，将$x_1+x_2$、$x_1x_2$用含$m$的代数式表示，代入不等式后解出$m$的第二个取值范围；最后将两个范围取交集，即可得到$m$的最终取值范围。
【解析】
1. 由方程有两个实数根，结合判别式求$m$的范围：
∵ 一元二次方程$2x^2 - 2x + 3m - 1 = 0$有两个实数根
∴ $\Delta = (-2)^2 - 4×2×(3m - 1) ≥ 0$
化简得：$4 - 8(3m - 1) ≥ 0$
展开整理：$12 - 24m ≥ 0$
解得：$m ≤ \frac{1}{2}$
2. 由根与系数的关系表示两根和、两根积：
根据韦达定理可得：$x_1 + x_2 = \frac{2}{2} = 1$，$x_1x_2 = \frac{3m - 1}{2}$
3. 代入不等式求解：
将$x_1+x_2=1$、$x_1x_2=\frac{3m-1}{2}$代入$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2 - 4} ＜ 1$，得：
$\frac{\frac{3m - 1}{2}}{1 - 4} ＜ 1$
化简得：$\frac{3m - 1}{-6} ＜ 1$
两边同乘$-6$，不等号方向改变：$3m - 1 ＞ -6$
解得：$m ＞ -\frac{5}{3}$
4. 合并取值范围：
结合两个限制条件，可得$m$的取值范围是$-\frac{5}{3} ＜ m ≤ \frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{5}{3}＜m≤\frac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；分式不等式求解
【点评】
本题综合考察一元二次方程的相关性质，解题时容易忽略方程有两个实根的前提，漏用判别式限制$m$的范围，导致求出的取值范围偏大，求解此类问题要注意先保证根的存在性，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确，一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta≥0$，由此可先求出$m$的第一个取值范围；其次题目给出的不等式涉及两根之和与两根之积，可利用一元二次方程根与系数的关系，将$x_1+x_2$、$x_1x_2$用含$m$的代数式表示，代入不等式后解出$m$的第二个取值范围；最后将两个范围取交集，即可得到$m$的最终取值范围。
【解析】
1. 由方程有两个实数根，结合判别式求$m$的范围：
∵ 一元二次方程$2x^2 - 2x + 3m - 1 = 0$有两个实数根
∴ $\Delta = (-2)^2 - 4×2×(3m - 1) ≥ 0$
化简得：$4 - 8(3m - 1) ≥ 0$
展开整理：$12 - 24m ≥ 0$
解得：$m ≤ \frac{1}{2}$
2. 由根与系数的关系表示两根和、两根积：
根据韦达定理可得：$x_1 + x_2 = \frac{2}{2} = 1$，$x_1x_2 = \frac{3m - 1}{2}$
3. 代入不等式求解：
将$x_1+x_2=1$、$x_1x_2=\frac{3m-1}{2}$代入$\frac{x_1x_2}{x_1 + x_2 - 4} ＜ 1$，得：
$\frac{\frac{3m - 1}{2}}{1 - 4} ＜ 1$
化简得：$\frac{3m - 1}{-6} ＜ 1$
两边同乘$-6$，不等号方向改变：$3m - 1 ＞ -6$
解得：$m ＞ -\frac{5}{3}$
4. 合并取值范围：
结合两个限制条件，可得$m$的取值范围是$-\frac{5}{3} ＜ m ≤ \frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{5}{3}＜m≤\frac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；分式不等式求解
【点评】
本题综合考察一元二次方程的相关性质，解题时容易忽略方程有两个实根的前提，漏用判别式限制$m$的范围，导致求出的取值范围偏大，求解此类问题要注意先保证根的存在性，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
10.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + k = 0$的两个实数根，且$x_1^2 x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$.求：
(1)$k$的值；
(2)$x_1^2 + x_2^2 + 8$的值.
(1)$k$的值；
(2)$x_1^2 + x_2^2 + 8$的值.
答案
解:(1)$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2-6x+k=0$ 的两个根,
$\therefore x_1+x_2=6,x_1x_2=k,$
$\therefore k^2-6=115$,解得 $k_1=11,k_2=-11.$
当 $k=11$ 时,$b^2-4ac=36-44＜0$,
$\therefore k=11$ 不符合题意,舍去;
当 $k=-11$ 时,$b^2-4ac=36+44＞0$,
$\therefore k=-11$ 符合题意,
$\therefore k$ 的值为 $-11.$
(2)$\because x_1+x_2=6,x_1x_2=-11,$
$\therefore x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8=36+2×11+8=66.$
$\therefore x_1+x_2=6,x_1x_2=k,$
$\therefore k^2-6=115$,解得 $k_1=11,k_2=-11.$
当 $k=11$ 时,$b^2-4ac=36-44＜0$,
$\therefore k=11$ 不符合题意,舍去;
当 $k=-11$ 时,$b^2-4ac=36+44＞0$,
$\therefore k=-11$ 符合题意,
$\therefore k$ 的值为 $-11.$
(2)$\because x_1+x_2=6,x_1x_2=-11,$
$\therefore x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8=36+2×11+8=66.$
解析
【分析】
对于（1），首先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式即可得到关于k的方程，求解出k的可能值；由于题目明确方程有两个实数根，因此需要用根的判别式对k的取值进行检验，舍去不符合条件的解。对于（2），利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2-6x+k=0$ 的两个实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$x_1+x_2=6,x_1x_2=k$，
将上述关系代入$x_1^2 x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$，可得：
$(x_1x_2)^2-(x_1+x_2)=115$，即$k^2-6=115$，
解得 $k_1=11,k_2=-11$。
又$\because$方程有两个实数根，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4k≥0$，即$k≤9$。
当 $k=11$ 时，$\Delta=36-44=-8＜0$，不符合题意，舍去；
当 $k=-11$ 时，$\Delta=36+44=80＞0$，符合题意，
$\therefore k$ 的值为$-11$。
(2) 由(1)可知$x_1+x_2=6,x_1x_2=-11$，
对所求代数式变形得：
$x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8$，
代入数值计算：
原式$=6^2-2×(-11)+8=36+22+8=66$。
【答案】
(1) $k=-11$；(2) $66$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是求出参数后容易忽略判别式的检验，产生增根；同时需要熟练掌握完全平方公式的常见变形，能够快速对代数式进行转化，简化计算。
【难度系数】
0.7
对于（1），首先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式即可得到关于k的方程，求解出k的可能值；由于题目明确方程有两个实数根，因此需要用根的判别式对k的取值进行检验，舍去不符合条件的解。对于（2），利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2-6x+k=0$ 的两个实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$x_1+x_2=6,x_1x_2=k$，
将上述关系代入$x_1^2 x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$，可得：
$(x_1x_2)^2-(x_1+x_2)=115$，即$k^2-6=115$，
解得 $k_1=11,k_2=-11$。
又$\because$方程有两个实数根，$\therefore\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4k≥0$，即$k≤9$。
当 $k=11$ 时，$\Delta=36-44=-8＜0$，不符合题意，舍去；
当 $k=-11$ 时，$\Delta=36+44=80＞0$，符合题意，
$\therefore k$ 的值为$-11$。
(2) 由(1)可知$x_1+x_2=6,x_1x_2=-11$，
对所求代数式变形得：
$x_1^2+x_2^2+8=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+8$，
代入数值计算：
原式$=6^2-2×(-11)+8=36+22+8=66$。
【答案】
(1) $k=-11$；(2) $66$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是求出参数后容易忽略判别式的检验，产生增根；同时需要熟练掌握完全平方公式的常见变形，能够快速对代数式进行转化，简化计算。
【难度系数】
0.7
