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1.已知一元二次方程$x^2 +5x +2=0$的两根分别为$m,n$,则$m+n$的值是(
A.5
B.$-5$
C.2
D.$-2$
B
)A.5
B.$-5$
C.2
D.$-2$
答案
1.B
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根之和，可直接利用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解出方程的根，计算更简便。思考步骤如下：首先确认所给方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题给出的方程已符合一般形式；接着准确找出二次项系数a、一次项系数b的值；最后代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中方程$x^2 +5x +2=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=1$，$b=5$，已知两根为$m$、$n$，代入公式得：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题的关键是准确识别一元二次方程一般式中的各项系数，牢记两根之和的公式，注意不要漏掉公式前的负号，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两根之和，可直接利用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解出方程的根，计算更简便。思考步骤如下：首先确认所给方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题给出的方程已符合一般形式；接着准确找出二次项系数a、一次项系数b的值；最后代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中方程$x^2 +5x +2=0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=1$，$b=5$，已知两根为$m$、$n$，代入公式得：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题的关键是准确识别一元二次方程一般式中的各项系数，牢记两根之和的公式，注意不要漏掉公式前的负号，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
2.已知α,β是关于x的一元二次方程$x^2+(2m+3)x+m^2=0$的两个不相等的实数根，且满足$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=-1$，则m的值是（
A.3或-1
B.3
C.1
D.-3或1
B
）A.3或-1
B.3
C.1
D.-3或1
答案
2.B 点拨:由题意,得 $\Delta=(2m+3)^2-4m^2＞0$, 解得 $m＞-\frac{3}{4}$. 由 $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}=\frac{-(2m+3)}{m^2}=-1$, 解得 $m=3$ 或 $m=-1$.综上,$m=3$.
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的两个前提条件：一是方程有两个不相等的实数根，二是两根满足$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=-1$。第一步先根据一元二次方程有两个不等实根的要求，计算判别式$\Delta＞0$，得到m的取值范围；第二步对$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分变形为$\frac{α+β}{αβ}$，再利用根与系数的关系（韦达定理），将$α+β$和$αβ$用含m的代数式表示，代入等式得到关于m的方程，求解m的可能值；最后将求得的m值代入之前得到的取值范围验证，舍去不符合条件的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m+3)^2 - 4×1× m^2 ＞ 0$，
展开化简得：$4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 ＞ 0$，即$12m + 9 ＞ 0$，
解得：$m ＞ -\frac{3}{4}$。
根据根与系数的关系可得：
$α + β = -(2m + 3)$，$αβ = m^2$，
对$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分得：$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}$，
代入已知条件$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=-1$得：
$\frac{-(2m+3)}{m^2} = -1$，
两边同乘$m^2$（$m≠0$，否则$αβ=0$，原式无意义）得：
$-(2m + 3) = -m^2$，
整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$，
解得：$m = 3$ 或 $m = -1$。
结合之前得到的$m ＞ -\frac{3}{4}$，可知$m = -1$不符合要求，舍去，
∴ $m = 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 分式化简运算
【点评】
本题是一元二次方程根相关性质的综合考查题，易错点是求解m后忽略方程有两个不等实根的前提，未验证m的取值范围导致错选，解题时要注意前提条件对参数取值的限制。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确题目给出的两个前提条件：一是方程有两个不相等的实数根，二是两根满足$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=-1$。第一步先根据一元二次方程有两个不等实根的要求，计算判别式$\Delta＞0$，得到m的取值范围；第二步对$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分变形为$\frac{α+β}{αβ}$，再利用根与系数的关系（韦达定理），将$α+β$和$αβ$用含m的代数式表示，代入等式得到关于m的方程，求解m的可能值；最后将求得的m值代入之前得到的取值范围验证，舍去不符合条件的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2m+3)^2 - 4×1× m^2 ＞ 0$，
展开化简得：$4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 ＞ 0$，即$12m + 9 ＞ 0$，
解得：$m ＞ -\frac{3}{4}$。
根据根与系数的关系可得：
$α + β = -(2m + 3)$，$αβ = m^2$，
对$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$通分得：$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}$，
代入已知条件$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=-1$得：
$\frac{-(2m+3)}{m^2} = -1$，
两边同乘$m^2$（$m≠0$，否则$αβ=0$，原式无意义）得：
$-(2m + 3) = -m^2$，
整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$，
因式分解得：$(m - 3)(m + 1) = 0$，
解得：$m = 3$ 或 $m = -1$。
结合之前得到的$m ＞ -\frac{3}{4}$，可知$m = -1$不符合要求，舍去，
∴ $m = 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 分式化简运算
【点评】
本题是一元二次方程根相关性质的综合考查题，易错点是求解m后忽略方程有两个不等实根的前提，未验证m的取值范围导致错选，解题时要注意前提条件对参数取值的限制。
【难度系数】
0.6
3.若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 4x -5=0$的两根，则$x_1 · x_2$的值为（
A.$-5$
B.$5$
C.$-4$
D.$4$
A
）A.$-5$
B.$5$
C.$-4$
D.$4$
答案
3.A
解析
【分析】
要求一元二次方程两根的乘积，有两种解题思路：一是先解方程求出两个根，再直接相乘计算；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解方程，直接通过方程的系数计算，更加简便。首先将给定方程对应到一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定$a$、$c$的取值，再根据两根之积等于$\frac{c}{a}$代入计算即可。
【解析】
解法一（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：$x_1·x_2=\frac{c}{a}$。
题中方程$x^2 - 4x -5=0$为标准一般形式，对应可得二次项系数$a=1$，常数项$c=-5$，
因此$x_1·x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
解法二（解方程验证法）：
对$x^2 - 4x -5=0$因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$，
因此$x_1·x_2=5×(-1)=-5$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理中两根和、积与方程系数的对应关系，即可快速得出结果，也可通过解方程求根的方法验证答案。
【难度系数】
0.9
要求一元二次方程两根的乘积，有两种解题思路：一是先解方程求出两个根，再直接相乘计算；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解方程，直接通过方程的系数计算，更加简便。首先将给定方程对应到一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定$a$、$c$的取值，再根据两根之积等于$\frac{c}{a}$代入计算即可。
【解析】
解法一（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：$x_1·x_2=\frac{c}{a}$。
题中方程$x^2 - 4x -5=0$为标准一般形式，对应可得二次项系数$a=1$，常数项$c=-5$，
因此$x_1·x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
解法二（解方程验证法）：
对$x^2 - 4x -5=0$因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$，
因此$x_1·x_2=5×(-1)=-5$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理中两根和、积与方程系数的对应关系，即可快速得出结果，也可通过解方程求根的方法验证答案。
【难度系数】
0.9
4.若$x_1,x_2$是方程$2x+4=x^2$的两个根，则$(x_1+1)(x_2+1)$的值是（
A.－1
B.0
C.1
D.2
A
）A.－1
B.0
C.1
D.2
答案
4.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先将给定的方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$，确定系数$a、b、c$的值；再利用韦达定理得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的结果；最后将待求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开变形，代入两根和与两根积的数值计算即可，无需单独求解方程的两个根，能简化计算过程。
【解析】
第一步：整理原方程为一元二次方程标准形式
将方程$2x+4=x^2$移项，得$x^2-2x-4=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-4$。
第二步：根据根与系数的关系求两根和与两根积
因为$x_1,x_2$是方程的两个根，所以：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$。
第三步：展开待求代数式并代入计算
将$(x_1+1)(x_2+1)$展开得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-4$代入上式：
原式$=-4+2+1=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式乘法运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟练掌握韦达定理的内容，同时能正确对待求代数式进行变形，避免求解方程的根减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先将给定的方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$，确定系数$a、b、c$的值；再利用韦达定理得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的结果；最后将待求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开变形，代入两根和与两根积的数值计算即可，无需单独求解方程的两个根，能简化计算过程。
【解析】
第一步：整理原方程为一元二次方程标准形式
将方程$2x+4=x^2$移项，得$x^2-2x-4=0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-4$。
第二步：根据根与系数的关系求两根和与两根积
因为$x_1,x_2$是方程的两个根，所以：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$。
第三步：展开待求代数式并代入计算
将$(x_1+1)(x_2+1)$展开得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$
将$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-4$代入上式：
原式$=-4+2+1=-1$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式乘法运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是熟练掌握韦达定理的内容，同时能正确对待求代数式进行变形，避免求解方程的根减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
5.在下列方程中,以3,－4为根的一元二次方程是(
A.$x^2 - x - 12 = 0$
B.$x^2 + x - 12 = 0$
C.$x^2 - x + 12 = 0$
D.$x^2 + x + 12 = 0$
B
)A.$x^2 - x - 12 = 0$
B.$x^2 + x - 12 = 0$
C.$x^2 - x + 12 = 0$
D.$x^2 + x + 12 = 0$
答案
5.B
解析
【分析】
解题有两种思路：1. 利用一元二次方程根与系数的关系求解：当二次项系数为1时，一元二次方程的一次项系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积，先计算两根的和与积，即可写出对应方程；2. 代入验证法：将3和-4分别代入各选项的方程，同时满足两个根代入后等式成立的即为正确选项，其中第一种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2 + px + q = 0$，已知两根为$x_1=3$，$x_2=-4$。
根据根与系数的关系：$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$
计算得：$x_1+x_2=3+(-4)=-1$，因此$p = -(-1)=1$
$x_1x_2=3×(-4)=-12$，因此$q=-12$
可得对应方程为$x^2 + x -12 = 0$。
方法二：代入验证法
将$x=3$代入各选项：
A选项：$3^2 -3 -12 = -6≠0$，直接排除；
B选项：$3^2 +3 -12 = 0$，再代入$x=-4$：$(-4)^2 + (-4) -12 = 16-4-12=0$，两个根均满足方程，符合要求；
C选项：$3^2 -3 +12 = 18≠0$，排除；
D选项：$3^2 +3 +12 = 24≠0$，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过代入验证逐一排除错误选项，也可以直接利用根与系数的关系快速写出符合要求的方程，熟练掌握根与系数的关系能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题有两种思路：1. 利用一元二次方程根与系数的关系求解：当二次项系数为1时，一元二次方程的一次项系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积，先计算两根的和与积，即可写出对应方程；2. 代入验证法：将3和-4分别代入各选项的方程，同时满足两个根代入后等式成立的即为正确选项，其中第一种方法解题更快捷。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2 + px + q = 0$，已知两根为$x_1=3$，$x_2=-4$。
根据根与系数的关系：$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$
计算得：$x_1+x_2=3+(-4)=-1$，因此$p = -(-1)=1$
$x_1x_2=3×(-4)=-12$，因此$q=-12$
可得对应方程为$x^2 + x -12 = 0$。
方法二：代入验证法
将$x=3$代入各选项：
A选项：$3^2 -3 -12 = -6≠0$，直接排除；
B选项：$3^2 +3 -12 = 0$，再代入$x=-4$：$(-4)^2 + (-4) -12 = 16-4-12=0$，两个根均满足方程，符合要求；
C选项：$3^2 -3 +12 = 18≠0$，排除；
D选项：$3^2 +3 +12 = 24≠0$，排除。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过代入验证逐一排除错误选项，也可以直接利用根与系数的关系快速写出符合要求的方程，熟练掌握根与系数的关系能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
6.已知α,β分别是方程$x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根,则代数式$α^2 + β^2$的值为(
A.16
B.18
C.20
D.22
B
)A.16
B.18
C.20
D.22
答案
6.B
解析
【分析】
要求代数式$α^2 + β^2$的值，已知$α$、$β$是一元二次方程的两个根，首先可利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$α+β$、两根之积$αβ$，再将所求的$α^2 + β^2$通过完全平方公式变形为用$α+β$、$αβ$表示的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 - 4x - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$。
因为$α$、$β$是该方程的两个根，根据根与系数的关系可得：
$α+β = -\frac{b}{a} = 4$，$αβ = \frac{c}{a} = -1$。
根据完全平方公式变形可得：$α^2 + β^2 = (α+β)^2 - 2αβ$。
将$α+β=4$，$αβ=-1$代入上式：
$α^2 + β^2 = 4^2 - 2×(-1) = 16 + 2 = 18$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将所求的二次代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，避免了直接解方程求根的繁琐计算，考查对基础公式的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
要求代数式$α^2 + β^2$的值，已知$α$、$β$是一元二次方程的两个根，首先可利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$α+β$、两根之积$αβ$，再将所求的$α^2 + β^2$通过完全平方公式变形为用$α+β$、$αβ$表示的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知方程$x^2 - 4x - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-1$。
因为$α$、$β$是该方程的两个根，根据根与系数的关系可得：
$α+β = -\frac{b}{a} = 4$，$αβ = \frac{c}{a} = -1$。
根据完全平方公式变形可得：$α^2 + β^2 = (α+β)^2 - 2αβ$。
将$α+β=4$，$αβ=-1$代入上式：
$α^2 + β^2 = 4^2 - 2×(-1) = 16 + 2 = 18$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将所求的二次代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，避免了直接解方程求根的繁琐计算，考查对基础公式的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
7. 一元二次方程 $x^2 - ax - 3a = 0$ 的两根之和为 $2a - 1$，则两根之积为
−3
.答案
7. −3
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先根据韦达定理写出给定方程的两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和的数值列方程求出参数a的值；再代入根的判别式验证a的取值是否能保证方程有两个实数根，排除无效的参数值；最后根据韦达定理写出两根之积的表达式，代入有效a值计算即可得到结果。
【解析】
设一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）的两根之和为$-\frac{B}{A}$，因此该方程两根之和为：
$x_1+x_2 = -\frac{(-a)}{1} = a$
2. 题目已知两根之和为$2a-1$，因此列等式：
$a = 2a - 1$
解得：$a = 1$
3. 验证参数有效性：计算方程的判别式$\Delta = B^2-4AC = (-a)^2 - 4×1×(-3a) = a^2 +12a$
将$a=1$代入得$\Delta = 1^2 + 12×1 =13＞0$，说明$a=1$时方程有两个实数根，参数有效。
4. 根据韦达定理，两根之积为$\frac{C}{A} = \frac{-3a}{1} = -3a$
代入$a=1$得：$x_1x_2 = -3×1 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查韦达定理的使用，需要注意的是求出参数后必须验证根的判别式，确保方程存在两个实数根，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先根据韦达定理写出给定方程的两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和的数值列方程求出参数a的值；再代入根的判别式验证a的取值是否能保证方程有两个实数根，排除无效的参数值；最后根据韦达定理写出两根之积的表达式，代入有效a值计算即可得到结果。
【解析】
设一元二次方程$x^2 - ax - 3a = 0$的两根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）的两根之和为$-\frac{B}{A}$，因此该方程两根之和为：
$x_1+x_2 = -\frac{(-a)}{1} = a$
2. 题目已知两根之和为$2a-1$，因此列等式：
$a = 2a - 1$
解得：$a = 1$
3. 验证参数有效性：计算方程的判别式$\Delta = B^2-4AC = (-a)^2 - 4×1×(-3a) = a^2 +12a$
将$a=1$代入得$\Delta = 1^2 + 12×1 =13＞0$，说明$a=1$时方程有两个实数根，参数有效。
4. 根据韦达定理，两根之积为$\frac{C}{A} = \frac{-3a}{1} = -3a$
代入$a=1$得：$x_1x_2 = -3×1 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查韦达定理的使用，需要注意的是求出参数后必须验证根的判别式，确保方程存在两个实数根，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
8.已知一元二次方程$y^2 + 3y + 1 = 0$的两个实数根分别为$y_1,y_2$，则$(y_1 - 1)(y_2 - 1)$的值为
5
。答案
8. 5 点拨:$(y_1-1)(y_2-1)=y_1y_2-(y_1+y_2)+1=1-(-3)+1=5.$
解析
【分析】
本题要求关于一元二次方程两根的代数式的值，优先考虑利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算出两个根的具体值：第一步先将所求的代数式$(y_1 - 1)(y_2 - 1)$展开、整理，变形为含有两根之和$y_1+y_2$、两根之积$y_1y_2$的形式；第二步根据已知的一元二次方程，求出两根之和与两根之积；第三步将求出的数值代入变形后的代数式，计算得到结果即可。
【解析】
已知一元二次方程$y^2 + 3y + 1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=1$，且方程的两个实数根为$y_1,y_2$。
根据根与系数的关系可得：
$y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} = -3$，$y_1y_2 = \frac{c}{a} = 1$。
将所求代数式展开变形：
$(y_1 - 1)(y_2 - 1) = y_1y_2 - y_1 - y_2 + 1 = y_1y_2 - (y_1 + y_2) + 1$
将$y_1 + y_2=-3$，$y_1y_2=1$代入上式得：
原式$= 1 - (-3) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式的乘法化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式的方法，避免直接求解方程的根，可提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题要求关于一元二次方程两根的代数式的值，优先考虑利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算出两个根的具体值：第一步先将所求的代数式$(y_1 - 1)(y_2 - 1)$展开、整理，变形为含有两根之和$y_1+y_2$、两根之积$y_1y_2$的形式；第二步根据已知的一元二次方程，求出两根之和与两根之积；第三步将求出的数值代入变形后的代数式，计算得到结果即可。
【解析】
已知一元二次方程$y^2 + 3y + 1 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=1$，且方程的两个实数根为$y_1,y_2$。
根据根与系数的关系可得：
$y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} = -3$，$y_1y_2 = \frac{c}{a} = 1$。
将所求代数式展开变形：
$(y_1 - 1)(y_2 - 1) = y_1y_2 - y_1 - y_2 + 1 = y_1y_2 - (y_1 + y_2) + 1$
将$y_1 + y_2=-3$，$y_1y_2=1$代入上式得：
原式$= 1 - (-3) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式的乘法化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握将所求代数式转化为含两根和、两根积的形式的方法，避免直接求解方程的根，可提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
9.【教材 P18 习题 T11 变式】已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个根，不解方程，求下列各式的值：
(1)$2x_1x_2 -x_1 -x_2$；
(2)$x_1^2x_2 +x_1x_2^2$；
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(4)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$。
(1)$2x_1x_2 -x_1 -x_2$；
(2)$x_1^2x_2 +x_1x_2^2$；
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(4)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$。
答案
解:由题意得 $x_1+x_2=5,x_1x_2=-2.$
(1)原式$=2x_1x_2-(x_1+x_2)=2×(-2)-5=-9.$
(2)原式$=x_1x_2(x_1+x_2)=-2×5=-10.$
(3)原式$=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}.$
(4)原式$=\frac{x_2^2}{x_1x_2}+\frac{x_1^2}{x_1x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{5^2-2×(-2)}{-2}=-\frac{29}{2}.$
(1)原式$=2x_1x_2-(x_1+x_2)=2×(-2)-5=-9.$
(2)原式$=x_1x_2(x_1+x_2)=-2×5=-10.$
(3)原式$=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}.$
(4)原式$=\frac{x_2^2}{x_1x_2}+\frac{x_1^2}{x_1x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{5^2-2×(-2)}{-2}=-\frac{29}{2}.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题时无需解出方程的根：首先根据韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值，再将所求的四个代数式分别通过提公因式、通分、完全平方公式变形等方法，转化为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$。
(1) 原式变形为$2x_1x_2-(x_1+x_2)$，代入计算：
$2×(-2)-5=-4-5=-9$
(2) 提取公因式得原式$=x_1x_2(x_1+x_2)$，代入计算：
$-2×5=-10$
(3) 通分后得原式$=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入计算：
$\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
(4) 通分后将分子用完全平方公式变形，原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，代入计算：
$\frac{5^2-2×(-2)}{-2}=\frac{25+4}{-2}=-\frac{29}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{-10}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{29}{2}}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是运用整体代换思想，将所求代数式转化为两根和、两根积的组合形式进行计算，需熟练掌握常见代数式的变形技巧，是一元二次方程相关综合题的重要基础。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题时无需解出方程的根：首先根据韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值，再将所求的四个代数式分别通过提公因式、通分、完全平方公式变形等方法，转化为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=5$，$x_1x_2=-2$。
(1) 原式变形为$2x_1x_2-(x_1+x_2)$，代入计算：
$2×(-2)-5=-4-5=-9$
(2) 提取公因式得原式$=x_1x_2(x_1+x_2)$，代入计算：
$-2×5=-10$
(3) 通分后得原式$=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入计算：
$\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$
(4) 通分后将分子用完全平方公式变形，原式$=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$，代入计算：
$\frac{5^2-2×(-2)}{-2}=\frac{25+4}{-2}=-\frac{29}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-9}$；(2) $\boldsymbol{-10}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}}$；(4) $\boldsymbol{-\dfrac{29}{2}}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是运用整体代换思想，将所求代数式转化为两根和、两根积的组合形式进行计算，需熟练掌握常见代数式的变形技巧，是一元二次方程相关综合题的重要基础。
【难度系数】
0.7
