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1.【教材P24习题T1变式】两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为（
A.$x(x+1)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$x(x-2)=99$
B
）A.$x(x+1)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$x(x-2)=99$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要抓住连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2。题目已经设较小的奇数为x，那么较大的奇数就比x大2，即x+2；再根据题干给出的等量关系“两个连续奇数的积是99”，将两个奇数相乘等于99，即可列出对应的方程，匹配选项就能得到答案。
【解析】
设较小的一个奇数为x，
∵ 相邻两个连续奇数的差为2，
∴ 较大的连续奇数为 $x+2$，
又
∵ 两个连续奇数的积是99，
∴ 可列方程为 $x(x+2)=99$，
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程，奇数的性质
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题核心是正确用含x的代数式表示出另一个奇数，再结合题干给出的乘积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要抓住连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2。题目已经设较小的奇数为x，那么较大的奇数就比x大2，即x+2；再根据题干给出的等量关系“两个连续奇数的积是99”，将两个奇数相乘等于99，即可列出对应的方程，匹配选项就能得到答案。
【解析】
设较小的一个奇数为x，
∵ 相邻两个连续奇数的差为2，
∴ 较大的连续奇数为 $x+2$，
又
∵ 两个连续奇数的积是99，
∴ 可列方程为 $x(x+2)=99$，
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程，奇数的性质
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，解题核心是正确用含x的代数式表示出另一个奇数，再结合题干给出的乘积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.9
2.在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图25－3－1.如果要使整个挂图的面积是5400 cm²，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（
A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$
B
）A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 先明确镶金色纸边后整个挂图的长和宽：因为四周都镶宽度为x的纸边，所以原风景画的长左右各增加x，总增量为2x，宽上下各增加x，总增量为2x；2. 利用矩形面积=长×宽的公式，结合已知的挂图总面积列出方程；3. 将方程整理为最简一元二次方程形式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：已知金色纸边宽为x cm，
则镶边后挂图的长为$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，整个挂图面积为长乘宽，可列方程：
$(80+2x)(50+2x) = 5400$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
合并同类项、移项得：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
方程两边同时除以4化简：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因此x满足的方程对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、方程化简
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的核心是正确表示出镶边后图形的长和宽，要注意四周都有纸边时，长和宽的增量是纸边宽度的2倍，避免因漏算增量导致列错方程。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 先明确镶金色纸边后整个挂图的长和宽：因为四周都镶宽度为x的纸边，所以原风景画的长左右各增加x，总增量为2x，宽上下各增加x，总增量为2x；2. 利用矩形面积=长×宽的公式，结合已知的挂图总面积列出方程；3. 将方程整理为最简一元二次方程形式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：已知金色纸边宽为x cm，
则镶边后挂图的长为$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，整个挂图面积为长乘宽，可列方程：
$(80+2x)(50+2x) = 5400$
展开左边得：
$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
合并同类项、移项得：
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
方程两边同时除以4化简：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因此x满足的方程对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、方程化简
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的核心是正确表示出镶边后图形的长和宽，要注意四周都有纸边时，长和宽的增量是纸边宽度的2倍，避免因漏算增量导致列错方程。
【难度系数】
0.7
3.【教材P24习题T2变式】一个直角三角形的两条直角边长相差3 cm，面积是9 cm².设这个直角三角形较长的直角边长为x cm，依题意，可列方程为(
A.$x(x+3)=9$
B.$x(x-3)=9$
C.$\frac{1}{2}x(x+3)=9$
D.$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
D
)A.$x(x+3)=9$
B.$x(x-3)=9$
C.$\frac{1}{2}x(x+3)=9$
D.$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先需要明确题中的数量关系：第一步先确定两条直角边的长度，题目已经设较长的直角边长为x cm，已知两条直角边相差3 cm，因此较短的直角边长度为(x-3) cm；第二步回忆直角三角形的面积公式：直角三角形面积=1/2×两条直角边的乘积，最后结合已知面积是9 cm²，将对应量代入公式即可列出方程。
【解析】
解：
∵ 较长直角边长为x cm，两条直角边长相差3 cm
∴ 较短直角边长为$(x - 3)$ cm
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为两条直角边），已知面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
因此符合题意的方程是D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据几何图形的等量关系列方程，解题的关键是准确表示出两条直角边的长度，牢记面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的题目，首先需要明确题中的数量关系：第一步先确定两条直角边的长度，题目已经设较长的直角边长为x cm，已知两条直角边相差3 cm，因此较短的直角边长度为(x-3) cm；第二步回忆直角三角形的面积公式：直角三角形面积=1/2×两条直角边的乘积，最后结合已知面积是9 cm²，将对应量代入公式即可列出方程。
【解析】
解：
∵ 较长直角边长为x cm，两条直角边长相差3 cm
∴ 较短直角边长为$(x - 3)$ cm
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为两条直角边），已知面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
因此符合题意的方程是D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据几何图形的等量关系列方程，解题的关键是准确表示出两条直角边的长度，牢记面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m²的矩形菜地作为实践基地，如图25－3－2所示.设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为(
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
图25－3－2
图25－3－3
C
)A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
图25－3－2
图25－3－3
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先提取题目关键信息：本题依托直角围墙围矩形，因此仅需用篱笆围矩形的两条相邻边，篱笆总长5m即这两条边的长度和为5m，矩形面积为6m²。已知其中一条边长度为x m，首先可推出另一条用篱笆围的边长为(5-x)m，再结合矩形面积=相邻两边长度的乘积，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
∵ 菜地在直角围墙一角，围墙两侧足够长，因此矩形的两条邻边依托围墙，无需使用篱笆，仅需用篱笆围剩下的两条邻边，篱笆总长为5m，即这两条邻边的长度和为5m。
设其中一条篱笆围的边长为x m，则另一条篱笆围的边长为(5 - x)m。
根据矩形面积公式：$S_{矩形}=长×宽$，已知菜地面积为6 m²，代入得：
$x(5 - x) = 6$
综合推断，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积公式
3. 几何问题建模
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是明确篱笆对应的是矩形的两条邻边，而非矩形全部周长，避免因误解篱笆的作用范围出错，熟练掌握矩形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题目关键信息：本题依托直角围墙围矩形，因此仅需用篱笆围矩形的两条相邻边，篱笆总长5m即这两条边的长度和为5m，矩形面积为6m²。已知其中一条边长度为x m，首先可推出另一条用篱笆围的边长为(5-x)m，再结合矩形面积=相邻两边长度的乘积，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
∵ 菜地在直角围墙一角，围墙两侧足够长，因此矩形的两条邻边依托围墙，无需使用篱笆，仅需用篱笆围剩下的两条邻边，篱笆总长为5m，即这两条邻边的长度和为5m。
设其中一条篱笆围的边长为x m，则另一条篱笆围的边长为(5 - x)m。
根据矩形面积公式：$S_{矩形}=长×宽$，已知菜地面积为6 m²，代入得：
$x(5 - x) = 6$
综合推断，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积公式
3. 几何问题建模
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的核心是明确篱笆对应的是矩形的两条邻边，而非矩形全部周长，避免因误解篱笆的作用范围出错，熟练掌握矩形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图25－3－3，某学校用一段26 m长的围栏围成一个一边靠墙(墙长15 m)的矩形小花园ABCD，其面积为80 m²，则AB的长为(
A.8 m或5 m
B.8 m
C.10 m
D.5 m
B
)A.8 m或5 m
B.8 m
C.10 m
D.5 m
答案
5.B
解析
【分析】
本题属于利用一元二次方程解决几何图形的实际问题，解题思路如下：第一步，设AB的长度为未知数，根据围栏总长度表示出矩形与墙平行的边的长度；第二步，结合矩形面积公式列出一元二次方程；第三步，解方程得到两个根后，根据墙长的限制条件判断根是否符合实际，舍去不合题意的根，最终得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知AB、CD为垂直于墙的边，因此与墙平行的边BC的长度为$ (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(26 - 2x) = 80$
整理方程得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
接下来检验解的合理性：
当$ x = 5 $时，$ BC = 26 - 2 × 5 = 16 \, \mathrm{m} $，$ 16 ＞ 15 $，超过墙长，不符合实际，舍去；
当$ x = 8 $时，$ BC = 26 - 2 × 8 = 10 \, \mathrm{m} $，$ 10 ＜ 15 $，符合墙长限制。
因此AB的长为8 m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是几何类方程应用的典型题型，解题的关键是准确用未知数表示出矩形各边的长度，易错点是容易忽略墙长的限制条件，未对求出的根进行合理性检验，导致误选不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
本题属于利用一元二次方程解决几何图形的实际问题，解题思路如下：第一步，设AB的长度为未知数，根据围栏总长度表示出矩形与墙平行的边的长度；第二步，结合矩形面积公式列出一元二次方程；第三步，解方程得到两个根后，根据墙长的限制条件判断根是否符合实际，舍去不合题意的根，最终得到AB的长度。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知AB、CD为垂直于墙的边，因此与墙平行的边BC的长度为$ (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(26 - 2x) = 80$
整理方程得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
接下来检验解的合理性：
当$ x = 5 $时，$ BC = 26 - 2 × 5 = 16 \, \mathrm{m} $，$ 16 ＞ 15 $，超过墙长，不符合实际，舍去；
当$ x = 8 $时，$ BC = 26 - 2 × 8 = 10 \, \mathrm{m} $，$ 10 ＜ 15 $，符合墙长限制。
因此AB的长为8 m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是几何类方程应用的典型题型，解题的关键是准确用未知数表示出矩形各边的长度，易错点是容易忽略墙长的限制条件，未对求出的根进行合理性检验，导致误选不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
6.有一个正两位数,如果个位上的数比十位上的数大1,并且十位上的数的平方比个位上的数大1,那么这个正两位数是
23
.答案
6.23
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题时首先明确两位数的数位特征：十位数字是1~9的正整数，个位数字是0~9的整数。我们可以先设十位数字为未知数，用含未知数的式子表示出个位数字，再根据题目给出的“十位上的数的平方比个位上的数大1”这个等量关系列方程求解，最后结合数位的取值要求筛选出符合条件的解，进而得到这个两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$ x $，由“个位上的数比十位上的数大1”可知，个位数字为$ x+1 $。
根据“十位上的数的平方比个位上的数大1”列方程得：
$ x^2 - (x+1) = 1 $
整理方程：
$ x^2 - x - 2 = 0 $
因式分解得：
$ (x-2)(x+1) = 0 $
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=-1 $
因为十位数字是正整数，所以$ x=-1 $不符合题意，舍去。
则个位数字为$ 2+1=3 $，所以这个两位数是$ 10×2 + 3 = 23 $。
【答案】
23
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题求解
【点评】
本题考查方程在数字问题中的应用，解题核心是根据数位关系合理设未知数、找准等量关系列方程，求解后要注意结合数位的实际取值要求排除不合题意的解，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题时首先明确两位数的数位特征：十位数字是1~9的正整数，个位数字是0~9的整数。我们可以先设十位数字为未知数，用含未知数的式子表示出个位数字，再根据题目给出的“十位上的数的平方比个位上的数大1”这个等量关系列方程求解，最后结合数位的取值要求筛选出符合条件的解，进而得到这个两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$ x $，由“个位上的数比十位上的数大1”可知，个位数字为$ x+1 $。
根据“十位上的数的平方比个位上的数大1”列方程得：
$ x^2 - (x+1) = 1 $
整理方程：
$ x^2 - x - 2 = 0 $
因式分解得：
$ (x-2)(x+1) = 0 $
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=-1 $
因为十位数字是正整数，所以$ x=-1 $不符合题意，舍去。
则个位数字为$ 2+1=3 $，所以这个两位数是$ 10×2 + 3 = 23 $。
【答案】
23
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题求解
【点评】
本题考查方程在数字问题中的应用，解题核心是根据数位关系合理设未知数、找准等量关系列方程，求解后要注意结合数位的实际取值要求排除不合题意的解，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
