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7. 如图25－3－4是一个矩形木门ABCD，有一根木杆与门的对角线恰好相等，将木杆横放，木杆比门宽BC多4 dm；将木杆竖放，木杆比门高AB多2 dm. 则木杆的长为
10
dm.答案
7.10
解析
【分析】
解题时首先明确木杆长度等于矩形对角线长度，我们可以通过设木杆长度为未知数，分别表示出门的高和宽，再利用矩形的直角特征结合勾股定理建立等量关系，列一元二次方程求解，最后结合实际意义对所得的根进行取舍即可得到答案。
【解析】
设木杆的长为$ x $ dm，由题意可知：
矩形门的宽$ BC=(x-4) $ dm，高$ AB=(x-2) $ dm，且矩形对角线$ AC=x $ dm。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ ∠ B=90° $，
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理得：$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $，
代入对应量可得方程：
$(x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 8x + 16 = x^2$
$x^2 - 12x + 20 = 0$
因式分解得$ (x-10)(x-2)=0 $，解得$ x_1=10 $，$ x_2=2 $。
当$ x=2 $时，$ BC=x-4=-2 $，长度不能为负，不符合实际，舍去。
∴ 木杆的长为10 dm。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题考查方程思想在几何问题中的应用，解题关键是根据勾股定理找到等量关系列出方程，求解后要注意结合实际问题的意义验根，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确木杆长度等于矩形对角线长度，我们可以通过设木杆长度为未知数，分别表示出门的高和宽，再利用矩形的直角特征结合勾股定理建立等量关系，列一元二次方程求解，最后结合实际意义对所得的根进行取舍即可得到答案。
【解析】
设木杆的长为$ x $ dm，由题意可知：
矩形门的宽$ BC=(x-4) $ dm，高$ AB=(x-2) $ dm，且矩形对角线$ AC=x $ dm。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ ∠ B=90° $，
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理得：$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $，
代入对应量可得方程：
$(x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 8x + 16 = x^2$
$x^2 - 12x + 20 = 0$
因式分解得$ (x-10)(x-2)=0 $，解得$ x_1=10 $，$ x_2=2 $。
当$ x=2 $时，$ BC=x-4=-2 $，长度不能为负，不符合实际，舍去。
∴ 木杆的长为10 dm。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题考查方程思想在几何问题中的应用，解题关键是根据勾股定理找到等量关系列出方程，求解后要注意结合实际问题的意义验根，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
1.【数学文化】下面是改编自《九章算术》中的一道题:今有二人同所立.甲行率六,乙行率四.乙东行,甲南行十步而邪东北与乙会.问:甲、乙行各几何? 大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为6,乙的速度为4.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲走了(
A.26步
B.30步
C.32步
D.36步
D
)A.26步
B.30步
C.32步
D.36步
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先抓住“同时出发到相遇，两人运动时间相等”这一核心条件，结合速度可表示出两人的路程。再分析运动路径：甲向南走的10步、乙向东走的路程、甲斜向走的路程恰好构成直角三角形，利用勾股定理即可建立方程求解，最后代入得到甲的总路程。
【解析】
设甲乙二人从出发到相遇用时为$ t $。
根据路程=速度×时间，可得：
乙向东走的路程为$ 4t $步，甲走的总路程为$ 6t $步，因此甲斜向北偏东走的路程为$ (6t - 10) $步。
由运动路径可知，甲向南走的10步、乙向东走的$ 4t $步、甲斜向走的$ (6t-10) $步构成直角三角形，其中斜边长为$ (6t-10) $步，根据勾股定理列方程：
$10^2 + (4t)^2 = (6t - 10)^2$
展开并整理方程：
$100 + 16t^2 = 36t^2 - 120t + 100$
移项合并同类项得：
$20t^2 - 120t = 0$
因式分解得：
$20t(t - 6) = 0$
解得$ t_1=0 $（不符合实际，舍去），$ t_2=6 $。
因此甲走的总路程为$ 6t = 6×6 = 36 $步。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；行程问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合古代数学文化命题，将行程问题与几何图形性质结合考查，解题关键是理清运动路径对应的几何结构，找准等量关系列方程求解，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先抓住“同时出发到相遇，两人运动时间相等”这一核心条件，结合速度可表示出两人的路程。再分析运动路径：甲向南走的10步、乙向东走的路程、甲斜向走的路程恰好构成直角三角形，利用勾股定理即可建立方程求解，最后代入得到甲的总路程。
【解析】
设甲乙二人从出发到相遇用时为$ t $。
根据路程=速度×时间，可得：
乙向东走的路程为$ 4t $步，甲走的总路程为$ 6t $步，因此甲斜向北偏东走的路程为$ (6t - 10) $步。
由运动路径可知，甲向南走的10步、乙向东走的$ 4t $步、甲斜向走的$ (6t-10) $步构成直角三角形，其中斜边长为$ (6t-10) $步，根据勾股定理列方程：
$10^2 + (4t)^2 = (6t - 10)^2$
展开并整理方程：
$100 + 16t^2 = 36t^2 - 120t + 100$
移项合并同类项得：
$20t^2 - 120t = 0$
因式分解得：
$20t(t - 6) = 0$
解得$ t_1=0 $（不符合实际，舍去），$ t_2=6 $。
因此甲走的总路程为$ 6t = 6×6 = 36 $步。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；行程问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合古代数学文化命题，将行程问题与几何图形性质结合考查，解题关键是理清运动路径对应的几何结构，找准等量关系列方程求解，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
2. 如图25－3－5，要设计一幅长为25 cm，宽为15 cm的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为1：2，彩带所占面积是图案面积的$\frac{1}{3}$，求横向彩带的宽度.
图25－3－5
图25－3－5
答案
2.解:设横向彩带的宽度为 x cm,则纵向彩带的宽度为 2x cm.
由题意,得
$(25-4x)(15-2x)=25×15×(1-\frac{1}{3}),$
整理,得 $8x^2-110x+125=0$,
解得 $x_1=\frac{5}{4},x_2=\frac{25}{2}$(不合题意,舍去).
答:横向彩带的宽度为 $\frac{5}{4}$ cm.
由题意,得
$(25-4x)(15-2x)=25×15×(1-\frac{1}{3}),$
整理,得 $8x^2-110x+125=0$,
解得 $x_1=\frac{5}{4},x_2=\frac{25}{2}$(不合题意,舍去).
答:横向彩带的宽度为 $\frac{5}{4}$ cm.
解析
【分析】
解题时先根据横、竖向彩带的宽度比设未知数，把横向彩带宽度设为x cm，则竖向彩带宽度为2x cm。由于彩带横竖交叉分布，可通过平移的方法将所有空白区域拼接成一个新的矩形，简化空白面积的计算：空白矩形的长等于原矩形长减去两条竖向彩带的总宽度，空白矩形的宽等于原矩形宽减去两条横向彩带的总宽度。已知彩带面积占总面积的$\frac{1}{3}$，因此空白面积占总面积的$\frac{2}{3}$，据此列一元二次方程求解，最后要检验根是否符合实际场景，舍去不合理的根。
【解析】
解：设横向彩带的宽度为x cm，则纵向彩带的宽度为2x cm。
由题意，空白部分面积为原图案面积的$1-\frac{1}{3}$，因此列方程：
$(25-4x)(15-2x)=25×15×(1-\frac{1}{3})$
整理，得 $8x^2-110x+125=0$
解得 $x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{25}{2}$
当$x=\frac{25}{2}$时，$15-2x=-10＜0$，不符合实际情况，故舍去。
答：横向彩带的宽度为$\frac{5}{4}$ cm。
【答案】
$\frac{5}{4}$ cm
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.矩形面积计算
3.一元二次方程的求解
【点评】
本题属于几何图形面积类应用题，核心解题技巧是通过平移空白区域将分散的面积转化为规则矩形的面积，降低计算难度，求解后需注意结合实际意义对方程的根进行筛选，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
解题时先根据横、竖向彩带的宽度比设未知数，把横向彩带宽度设为x cm，则竖向彩带宽度为2x cm。由于彩带横竖交叉分布，可通过平移的方法将所有空白区域拼接成一个新的矩形，简化空白面积的计算：空白矩形的长等于原矩形长减去两条竖向彩带的总宽度，空白矩形的宽等于原矩形宽减去两条横向彩带的总宽度。已知彩带面积占总面积的$\frac{1}{3}$，因此空白面积占总面积的$\frac{2}{3}$，据此列一元二次方程求解，最后要检验根是否符合实际场景，舍去不合理的根。
【解析】
解：设横向彩带的宽度为x cm，则纵向彩带的宽度为2x cm。
由题意，空白部分面积为原图案面积的$1-\frac{1}{3}$，因此列方程：
$(25-4x)(15-2x)=25×15×(1-\frac{1}{3})$
整理，得 $8x^2-110x+125=0$
解得 $x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{25}{2}$
当$x=\frac{25}{2}$时，$15-2x=-10＜0$，不符合实际情况，故舍去。
答：横向彩带的宽度为$\frac{5}{4}$ cm。
【答案】
$\frac{5}{4}$ cm
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.矩形面积计算
3.一元二次方程的求解
【点评】
本题属于几何图形面积类应用题，核心解题技巧是通过平移空白区域将分散的面积转化为规则矩形的面积，降低计算难度，求解后需注意结合实际意义对方程的根进行筛选，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
3.一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原来的两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数。
答案
3.解:设原来的两位数的十位数字为 x,
由题意,得:
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x,$
整理,得 $11x^2-7x-30=0$,
解得 $x_1=2,x_2=-\frac{15}{11}$(负值舍去),
$\therefore x+4=6.$
答:原来的两位数为 26.
由题意,得:
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x,$
整理,得 $11x^2-7x-30=0$,
解得 $x_1=2,x_2=-\frac{15}{11}$(负值舍去),
$\therefore x+4=6.$
答:原来的两位数为 26.
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；②设未知数：已知个位数字比十位数字大4，设原来的两位数十位数字为x，则个位数字为x+4，即可分别表示出原两位数和对调后的新两位数；③找等量关系：根据题干给出的“原来的两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列方程；④解方程后，结合十位数字是1~9的正整数的实际意义，舍去不符合要求的根，最终计算出原来的两位数即可。
【解析】
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为$x+4$。
由题意列方程得：
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$
整理方程：
展开左右两边后移项合并，得$11x^2-7x-30=0$
解该方程，得$x_1=2$，$x_2=-\frac{15}{11}$
因为十位数字为正整数，所以$x=-\frac{15}{11}$不符合实际意义，舍去。
则个位数字为$x+4=2+4=6$，因此原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；一元二次方程求解
【点评】
本题属于方程应用的基础常见题型，解题核心是正确表示出原两位数和对调后的新两位数，准确提取题干等量关系列方程，求解后要注意结合数字的实际取值范围舍去不符合要求的根，整体考察基础的方程建模能力。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；②设未知数：已知个位数字比十位数字大4，设原来的两位数十位数字为x，则个位数字为x+4，即可分别表示出原两位数和对调后的新两位数；③找等量关系：根据题干给出的“原来的两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列方程；④解方程后，结合十位数字是1~9的正整数的实际意义，舍去不符合要求的根，最终计算出原来的两位数即可。
【解析】
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为$x+4$。
由题意列方程得：
$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$
整理方程：
展开左右两边后移项合并，得$11x^2-7x-30=0$
解该方程，得$x_1=2$，$x_2=-\frac{15}{11}$
因为十位数字为正整数，所以$x=-\frac{15}{11}$不符合实际意义，舍去。
则个位数字为$x+4=2+4=6$，因此原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；一元二次方程求解
【点评】
本题属于方程应用的基础常见题型，解题核心是正确表示出原两位数和对调后的新两位数，准确提取题干等量关系列方程，求解后要注意结合数字的实际取值范围舍去不符合要求的根，整体考察基础的方程建模能力。
【难度系数】
0.7
