5. 已知:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连结DE。
（1）求证:△AED≌△ACD。
（2）若BD=3 cm,DE=1 cm,求BC的长。

5. （1）因为 AD 平分$∠ BAC$,所以$∠ EAD = ∠ CAD$。在$△ AED$ 和$△ ACD$ 中,由 $AE=AC,∠ EAD=∠ CAD,AD=AD$,得$△ AED≌△ ACD(SAS)$。
（2）因为$△ AED≌△ ACD$,所以 $DC = DE = 1\mathrm{cm}$,所以 $BC = BD + DC = 4\mathrm{cm}$。

【分析】
（1）要证明△AED≌△ACD，先梳理已知条件：AD平分∠BAC可得一组对应角相等，已知AE=AC，还有两个三角形的公共边AD，刚好满足SAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
（2）求BC的长度，已知BD的长，只需求出DC的长即可。利用第一问的全等结论，根据全等三角形对应边相等可推出DC=DE，代入DE的长度得到DC的长，再将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD。
在△AED和△ACD中：
$\begin{cases}AE = AC（已知）\\∠EAD = ∠CAD（角平分线的定义）\\AD = AD（公共边）\end{cases}$
∴△AED≌△ACD（SAS）。
（2）解：
∵△AED≌△ACD，
∴DC = DE（全等三角形对应边相等），
已知DE=1cm，
∴DC=1cm，
又
∵BD=3cm，
∴BC = BD + DC = 3 + 1 = 4（cm）。
【答案】
（1）△AED≌△ACD得证；
（2）BC的长为4cm。
【知识点】
角平分线的定义；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题的关键是先找到全等的判定条件证明三角形全等，再借助全等的性质求解线段长度，掌握全等三角形的判定定理和对应性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$△ ABC ≌ △ DBC$，连结AD，延长CB，交AD于点E。
（1）若$∠ CAB = 35°$，$∠ ACD = 76°$，求$∠ CBD$的度数。
（2）求证：$△ ABE ≌ △ DBE$。

6. （1）因为$△ ABC≌△ DBC$,所以$∠ CDB = ∠ CAB = 35°,∠ ACB = ∠ DCB$。因为$∠ ACD = 76°$,所以$∠ ACB = ∠ DCB = 38°$。所以$∠ CBD = 180° - ∠ CDB - ∠ DCB = 180° - 35° - 38° = 107°$。
（2）因为$△ ABC≌△ DBC$,所以$∠ CBA = ∠ CBD,AB = DB$,所以$∠ ABE = ∠ DBE$。由 $BE = BE,∠ ABE = ∠ DBE,AB = DB$,可证$△ ABE≌△ DBE(SAS)$。

【分析】
（1）求∠CBD的度数，首先利用已知△ABC≌△DBC的性质，得到对应角∠CDB=∠CAB、∠ACB=∠DCB；再结合∠ACD的度数求出∠DCB的度数，最后在△BCD中利用三角形内角和为180°即可算出∠CBD的度数。
（2）要证明△ABE≌△DBE，先从已知全等三角形出发，得到AB=DB、∠ABC=∠DBC，进而推出∠ABE=∠DBE；再结合公共边BE，用SAS全等判定定理即可完成证明。
【解析】
（1）解：$\because △ ABC≌△ DBC$，
$\therefore ∠ CDB=∠ CAB=35°$，$∠ ACB=∠ DCB$。
$\because ∠ ACD=∠ ACB+∠ DCB=76°$，
$\therefore ∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACD=38°$。
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ CBD=180°-∠ CDB-∠ DCB=180°-35°-38°=107°$。
（2）证明：$\because △ ABC≌△ DBC$，
$\therefore AB=DB$，$∠ CBA=∠ CBD$。
$\because ∠ ABE+∠ CBA=180°$，$∠ DBE+∠ CBD=180°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DBE$。
在$△ ABE$和$△ DBE$中：
$\begin{cases}AB=DB\\∠ ABE=∠ DBE\\BE=BE(公共边)\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DBE(\mathrm{SAS})$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{107°}$；
（2）$\boldsymbol{△ ABE≌△ DBE}$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定（SAS）
【点评】
本题属于全等三角形性质与判定的基础应用题，解题时需要先从已知全等关系中提取对应边、对应角相等的条件，再结合三角形内角和、补角的性质推导所需的边角关系，即可解决角度计算和全等证明的问题，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8

7. 已知在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$AC=A'C'$，$BC=B'C'$。
（1）（多选题）添加下列条件，能判定$△ ABC≌△ A'B'C'$的是()。
A. $∠ A=∠ A'$ B. $∠ B=∠ B'$ C. $∠ C=∠ C'$ D. $AB=A'B'$
（2）小明认为：若$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积相等，则能判定$△ ABC≌△ A'B'C'$。
你赞同小明的意见吗？请画图说明。

7. （1）CD
（2）不赞同。可以画$∠ C$与$∠ C'$互补的两个三角形。图略。

【分析】
（1）题目已知△ABC和△A'B'C'中有两组边对应相等：AC=A'C'、BC=B'C'，需结合三角形全等判定定理判断选项：已知两边对应相等时，只有添加第三边相等（SSS）或添加两组边的夹角相等（SAS）可判定全等，两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能作为全等判定依据。逐一分析选项：A选项∠A、B选项∠B都是已知边的对角，属于SSA，无法判定全等；C选项∠C是两组已知边的夹角，满足SAS可判定全等；D选项AB=A'B'是第三边相等，满足SSS可判定全等。
（2）要判断面积相等时是否全等，结合三角形面积公式分析：两边对应相等的三角形，面积由两边的夹角决定，当两个夹角互补时，对应边上的高相等，面积相等但夹角不同，三角形不全等，因此不赞同小明的意见，可构造两边相等、夹角互补的两个三角形举例。
【解析】
（1）已知AC=A'C'，BC=B'C'：
选项A：∠A=∠A'，为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定全等，不符合要求；
选项B：∠B=∠B'，同样为SSA，不能判定全等，不符合要求；
选项C：∠C=∠C'，是两组对应边的夹角相等，根据SAS判定定理，可证△ABC≌△A'B'C'，符合要求；
选项D：AB=A'B'，三组对应边都相等，根据SSS判定定理，可证△ABC≌△A'B'C'，符合要求。
因此选CD。
（2）不赞同小明的意见。
理由：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知AC=A'C'，BC=B'C'，若∠C+∠C'=180°（两角互补），分别过点A作BC边上的高、过点A'作B'C'边上的高，两条高的长度相等，因此两个三角形面积相等，但∠C≠∠C'，两个三角形形状不同，不全等。
画图示例：画等长线段BC、B'C'，以C为顶点作60°角，在角边上截取AC为定长；以C'为顶点作120°角，在角边上截取A'C'=AC，连接AB、A'B'，所得两个三角形面积相等但不全等。（图略）
【答案】
（1）CD
（2）不赞同。可以画$∠ C$与$∠ C'$互补的两个三角形。图略。
【知识点】
三角形全等的判定，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查三角形全等的判定规则，需注意SSA不能作为全等判定依据，同时要理解两边相等的三角形面积相等不一定全等的原理，易错点是混淆全等判定的边角对应关系，多选时易误选SSA对应的选项。
【难度系数】
0.7

8. 如图，在$△ ABC$中，$BE$，$CF$分别是$AC$，$AB$边上的高线。在$BE$上取一点$D$，使得$BD=AC$，在$CF$的延长线上取一点$G$，使得$CG=AB$，连结$AD$，$AG$。
（1）求证：$△ AGC ≌ △ DAB$。
（2）判断线段$AD$和$AG$有何特殊的位置关系，并说明理由。

8. （1）因为 BE,CF 分别是 AC,AB 边上的高线,所以$∠ BEA = 90°,∠ CFA = 90°$,所以$∠ ACG + ∠ CAB = 90°,∠ DBA + ∠ CAB = 90°$,所以$∠ ACG = ∠ DBA$。又因为 $AC = DB,CG = AB$,所以$△ AGC≌△ DAB(SAS)$。
（2）$AG ⊥ AD$。理由如下:因为$△ AGC≌△ DAB$,所以$∠ G = ∠ BAD$。又因为$∠ G + ∠ GAB = 90°$,所以$∠ BAD + ∠ GAB = 90°$,即$∠ GAD = 90°$,所以 $AG ⊥ AD$。

【分析】
（1）要证明△AGC≌△DAB，已知给出两组边相等：BD=AC，CG=AB，根据SAS全等判定定理，仅需证明两组边的夹角∠ACG=∠DBA即可。由BE、CF是三角形的高线可得90°角，利用“同角的余角相等”即可推出这组夹角相等，满足SAS条件即可证全等。
（2）判断AD和AG的位置关系，可先猜想是否垂直。结合第一问的全等结论，可得对应角∠G=∠BAD，再根据CF是AB边上的高，可知△AGF中∠G+∠GAB=90°，通过角的等量代换即可得到∠GAD=90°，从而得到垂直关系。
【解析】
（1）证明：
∵BE，CF分别是AC，AB边上的高线，
∴∠BEA=90°，∠CFA=90°，
∴∠ACG + ∠CAB = 90°，∠DBA + ∠CAB = 90°，
∴∠ACG = ∠DBA（同角的余角相等）。
在△AGC和△DAB中，
$\{\begin{array}{l}AC = DB（已知）\\∠ACG = ∠DBA（已证）\\CG = AB（已知）\end{array} $
∴△AGC≌△DAB（SAS）。
（2）解：AG⊥AD，理由如下：
由（1）知△AGC≌△DAB，
∴∠G = ∠BAD（全等三角形的对应角相等）。
∵CF是AB边上的高线，
∴∠GFA=90°，
∴∠G + ∠GAB = 90°（直角三角形两锐角互余），
将∠G替换为∠BAD，得∠BAD + ∠GAB = 90°，即∠GAD=90°，
∴AG⊥AD。
【答案】（1）△AGC≌△DAB得证；（2）AG⊥AD
【知识点】三角形全等的判定（SAS），全等三角形的性质，同角的余角相等
【点评】本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是先利用高线的性质推导等角，结合已知边的条件证明全等，再通过全等的性质进行角的等量代换，推导得到线段的位置关系，掌握角的互余推导和全等的判定、性质是解题的关键。
【难度系数】0.7