9. 数学活动课中，老师出示了如下一道数学探究题：

（1）思路启发:老师引导大家回忆之前数学课上曾经探索过的两个问题:
①如图①,为测量池塘宽AB,在同一平面内找到一点O,连结AO,BO并分别延长至点C,D,使$OC=OA$,$OD=OB$,连结CD。若测得$CD=28$ m,则池塘宽$AB=$ m。
②已知一个三角形的两条边长分别为5,9,则它的第三条边长$x$的取值范围是。
（2）解决问题:根据上述思路,大家感悟到两点:①可以通过构造全等三角形来找到等长的线段;②可以通过构造三角形,由两条边的长,确定第三条边长的取值范围。请利用图②,解决老师出示的探究题。

9. （1）①28；②$4＜x＜14$。
（2）如图,延长 AD 至点 E,使 $DE=AD$,连结 BE。可证$△ BDE≌△ CDA$,得 $BE=CA=9$。在$△ ABE$ 中,$9-5＜AE＜9+5$,所以 $2＜AD＜7$。

【分析】
（1）①要得到AB的长度，可通过证明△AOB与△COD全等得到AB与CD相等。已知OA=OC，OB=OD，加上对顶角相等，满足SAS全等判定条件，即可直接得到AB=CD。②已知三角形两条边长，求第三边范围，直接利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入数值计算即可。
（2）要求中线AD的取值范围，已知AB和AC的长度，需要把这两条边和AD转化到同一个三角形中。看到AD是BC边上的中线，可采用倍长中线法构造全等三角形：延长AD到E使DE=AD，证明△BDE和△CDA全等，将AC转化为BE，此时AB、BE、AE在同一个△ABE中，用三边关系求出AE的范围，再结合AE=2AD即可求出AD的取值范围。
【解析】
（1）①在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\ ∠ AOB=∠ COD（对顶角相等）\\ OB=OD\end{array} $
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD=28m。
②根据三角形三边关系，第三边x满足：
$9-5 ＜ x ＜ 9+5$，即$4 ＜ x ＜ 14$。
（2）延长AD至点E，使$DE=AD$，连结BE。
∵D是BC的中点，
∴$BD=CD$。
在△BDE和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDE=∠ CDA（对顶角相等）\\ DE=AD\end{array} $
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴$BE=AC=9$。
在△ABE中，根据三角形三边关系：
$BE - AB ＜ AE ＜ BE + AB$
代入AB=5，BE=9得：$9-5 ＜ AE ＜ 9+5$，即$4 ＜ AE ＜ 14$。
又
∵$AE=AD+DE=2AD$，
∴$4 ＜ 2AD ＜14$，两边同时除以2得：$2 ＜ AD ＜7$。
【答案】
（1）①28；②$4＜x＜14$。
（2）如图,延长 AD 至点 E,使 $DE=AD$,连结 BE。可证$△ BDE≌△ CDA$,得 $BE=CA=9$。在$△ ABE$ 中,$9-5＜AE＜9+5$,所以 $2＜AD＜7$。
【知识点】
SAS全等判定，三角形三边关系，全等三角形的性质
【点评】
本题结合了全等三角形构造与三角形三边关系的应用，倍长中线是解决含中线类几何问题的常用辅助线方法，该方法能将分散的已知边转移到同一个三角形中，结合三边关系即可快速求解未知线段的取值范围，需要熟练掌握这种辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7