7.如图①,将一个边长为$a$的正方形纸片剪去两个长方形,得到一个“S”的图案,如图②所示.再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图③所示.则新长方形的周长可表示为 ()


A.$2a - 3b$
B.$2a - 4b$
C.$4a - 8b$
D.$4a - 10b$

C

【分析】要解决这道题，首先需要结合图形确定剪下的两个小长方形的尺寸，再推导拼接后新长方形的长和宽，最后利用长方形周长公式计算即可。第一步：观察图形可知，剪下的两个小长方形拼接后，新长方形的长为$a-b$，宽为$a-3b$；第二步：根据长方形周长公式，将长和宽代入化简，就能得到结果。
【解析】
解：由图形的边长关系可得，两个剪下的小长方形拼接后，新长方形的长为$a - b$，宽为$a - 3b$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
$\begin{aligned}C&=2×[(a - b)+(a - 3b)]\\&=2×(2a - 4b)\\&=4a - 8b\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】列代数式；整式的加减
【点评】本题结合几何图形考查代数式的列式与化简，解题关键是准确提取图形中的边长信息，确定拼接后长方形的长宽，计算时需注意去括号的符号规则。
【难度系数】0.7

8.某中学七(1)班师生去野外远足,第一段路程,他们沿着光明路走了$(5a+2)m$到达健身广场,然后又沿着滨河大道走了第二段路程到达文化公园,第二段路程比第一段路程多$4(6a-25)m$.
(1)师生在这两段路程中共走了多少米?
(2)师生在文化公园短暂停留后,又开始了第三段路程,第三段路程比第一段路程少$(a-10)m$,那么师生一共走了多少路程?
(3)如果$a=200$,全程师生行走的平均速度为$80 m/min$,那么师生一共走了多长时间?

解：
(1) 第二段路程为：
$(5a+2)+4(6a-25)=5a+2+24a-100=29a-98$
两段路程总和为：
$(5a+2)+(29a-98)=34a-96$
答：师生在这两段路程中共走了$(34a-96)$米。
(2) 第三段路程为：
$(5a+2)-(a-10)=5a+2-a+10=4a+12$
三段总路程为：
$(34a-96)+(4a+12)=38a-84$
答：师生一共走了$(38a-84)$米。
(3) 当$a=200$时，代入总路程表达式：
$38a-84=38×200-84=7516$
行走时间为：
$7516÷80=93.95(\mathrm{min})$
答：师生一共走了93.95分钟。

【分析】
解决这道题需要逐步梳理各段路程的数量关系：
1. 第(1)问：先根据“第二段路程比第一段多$4(6a-25)m$”，用第一段路程加上多出的长度求出第二段路程，再将两段路程相加，合并同类项得到两段总路程；
2. 第(2)问：根据“第三段路程比第一段少$(a-10)m$”，用第一段路程减去少的长度求出第三段路程，再加上前两段的总路程，合并同类项得到全程总路程；
3. 第(3)问：先将$a=200$代入第(2)问得到的总路程代数式求出总路程，再根据“时间=路程÷速度”计算出行走时间即可。
【解析】
(1) 先计算第二段路程：
$\begin{aligned}(5a+2)+4(6a-25)&=5a+2+24a-100\\&=29a-98\end{aligned}$
两段路程总和为：
$\begin{aligned}(5a+2)+(29a-98)&=34a-96\end{aligned}$
答：师生在这两段路程中共走了$(34a-96)$米。
(2) 先计算第三段路程：
$\begin{aligned}(5a+2)-(a-10)&=5a+2-a+10\\&=4a+12\end{aligned}$
三段总路程为：
$\begin{aligned}(34a-96)+(4a+12)&=38a-84\end{aligned}$
答：师生一共走了$(38a-84)$米。
(3) 当$a=200$时，代入总路程表达式：
$\begin{aligned}38a-84&=38×200-84\\&=7600-84\\&=7516\end{aligned}$
根据时间=路程÷速度，行走时间为：
$7516÷80=93.95(\mathrm{min})$
答：师生一共走了93.95分钟。
【答案】
(1) $(34a-96)$米；(2) $(38a-84)$米；(3) $93.95\ \mathrm{min}$
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 代数式求值
3. 行程问题公式
【点评】
本题结合生活场景考查整式加减的实际应用，解题核心是准确梳理各段路程的数量关系，去括号时注意符号变化，合并同类项、代入求值和行程计算时需保证运算准确性。
【难度系数】
0.7

9. 将7张相同的小长方形纸片(如图①)按图②所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为$S_1$和$S_2$.已知小长方形纸片的长为$a$，宽为$b$，且$a＞b$.

(1)当$a=9,b=2,AD=30$时,求长方形ABCD的面积及$S_1 - S_2$的值；
(2)当$AD=30$时,请用含$a,b$的式子表示$S_1 - S_2$的值；
(3)若$AB$长度不变,$AD$变长,将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内,而$S_1 - S_2$的值总保持不变,直接写出$a,b$满足的关系式.

解：
(1) 由图可得 $AB = a + 4b$，
当 $a=9,b=2$ 时，$AB = 9 + 4×2 = 17$，
长方形 $ABCD$ 的面积为 $AD· AB = 30×17 = 510$，
$S_1 = a·(AD - 3b) = 9×(30 - 3×2) = 216$，
$S_2 = 4b·(AD - a) = 4×2×(30 - 9) = 168$，
$S_1 - S_2 = 216 - 168 = 48$。
(2) 当 $AD=30$ 时，
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(30 - 3b) - 4b(30 - a)\\&= 30a - 3ab - 120b + 4ab\\&= ab + 30a - 120b\end{aligned}$
(3) 设 $AD=x$，
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x - 3b) - 4b(x - a)\\&= ax - 3ab - 4bx + 4ab\\&= (a - 4b)x + ab\end{aligned}$
$\because S_1 - S_2$ 的值与 $x$ 无关，
$\therefore a - 4b = 0$，即 $a=4b$。
最终 $a,b$ 满足的关系式为 $\boldsymbol{a=4b}$。

【分析】
解题的核心是先从图形中提取各边的长度关系：①长方形ABCD的宽AB = 小长方形的长a + 4个小长方形的宽b，即$AB=a+4b$；②右下角长方形$S_1$的长为AD减去左侧3个竖放小长方形的总宽度3b，宽为a，即$S_1$的长=$AD-3b$，宽=a；③左上角长方形$S_2$的长为AD减去小长方形的长a，宽为4个小长方形的宽b，即$S_2$的长=$AD-a$，宽=4b。
(1) 先代入a、b的值求出AB，再用长方形面积公式算ABCD的面积，再分别计算$S_1$、$S_2$的面积，最后求差即可。
(2) 把$AD=30$代入$S_1-S_2$的代数式，合并同类项化简即可。
(3) 设AD为x，把$S_1-S_2$整理为关于x的代数式，若值和x无关，则x的系数为0，由此列等式求a、b的关系。
【解析】
(1) 由图可知$AB = a + 4b$，
当$a=9，b=2$时，$AB = 9 + 4×2 = 17$，
长方形ABCD的面积$= AD×AB = 30×17 = 510$；
$S_1$的面积$= a×(AD - 3b) = 9×(30 - 3×2) = 9×24 = 216$，
$S_2$的面积$= 4b×(AD - a) = 4×2×(30 - 9) = 8×21 = 168$，
所以$S_1 - S_2 = 216 - 168 = 48$。
(2) 当$AD=30$时：
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(30 - 3b) - 4b(30 - a)\\&= 30a - 3ab - 120b + 4ab\\&= ab + 30a - 120b\end{aligned}$
(3) 设AD的长度为x，
$\begin{aligned}S_1 - S_2 &= a(x - 3b) - 4b(x - a)\\&= ax - 3ab - 4bx + 4ab\\&= (a - 4b)x + ab\end{aligned}$
因为$S_1 - S_2$的值与x无关，所以x的系数为0，即$a - 4b = 0$，得$a = 4b$。
【答案】
(1) 长方形ABCD的面积为$\boldsymbol{510}$，$S_1 - S_2$的值为$\boldsymbol{48}$；
(2) $S_1 - S_2 = \boldsymbol{ab + 30a - 120b}$；
(3) $\boldsymbol{a=4b}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式值与变量无关的条件
【点评】
本题结合几何图形考查整式加减的实际应用，解题关键是准确从图形中得到各边的数量关系，正确列出代数式并化简，其中理解“代数式的值与某个变量无关即该变量的系数为0”是解决第三问的核心，这类题型是整式章节的常考题型。
【难度系数】
0.7