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一、选择题
1. 下列说法中错误的是()
A.$-\dfrac{3}{2}x^2y$的系数是$-\dfrac{3}{2}$
B.数字0也是单项式
C.$\dfrac{2}{3}π xy$的系数是$\dfrac{2}{3}$
D.$-π x$是一次单项式
1. 下列说法中错误的是()
A.$-\dfrac{3}{2}x^2y$的系数是$-\dfrac{3}{2}$
B.数字0也是单项式
C.$\dfrac{2}{3}π xy$的系数是$\dfrac{2}{3}$
D.$-π x$是一次单项式
答案
C
解析
【分析】
本题考查单项式的相关概念，解题时需先明确单项式、单项式系数、单项式次数的定义，再逐个分析选项判断正误，其中需要注意π是常数，不是字母，这是本题的易错点。解题步骤：①回忆单项式的相关定义；②逐个验证每个选项的说法是否正确；③选出说法错误的选项。
【解析】
首先明确相关概念：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
对各选项逐一分析：
A. $-\dfrac{3}{2}x^2y$的数字因数是$-\dfrac{3}{2}$，即系数为$-\dfrac{3}{2}$，说法正确，不符合题意；
B. 单独的数字也是单项式，因此数字0是单项式，说法正确，不符合题意；
C. $π$是固定的常数，因此$\dfrac{2}{3}π xy$的数字因数是$\dfrac{2}{3}π$，即系数为$\dfrac{2}{3}π$，不是$\dfrac{2}{3}$，说法错误，符合题意；
D. $-π x$中字母$x$的次数为1，因此它是一次单项式，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的概念；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，主要易错点是易误将$π$当作字母，忽略$π$是常数，计算单项式系数时要将$π$计入数字因数部分。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式的相关概念，解题时需先明确单项式、单项式系数、单项式次数的定义，再逐个分析选项判断正误，其中需要注意π是常数，不是字母，这是本题的易错点。解题步骤：①回忆单项式的相关定义；②逐个验证每个选项的说法是否正确；③选出说法错误的选项。
【解析】
首先明确相关概念：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
对各选项逐一分析：
A. $-\dfrac{3}{2}x^2y$的数字因数是$-\dfrac{3}{2}$，即系数为$-\dfrac{3}{2}$，说法正确，不符合题意；
B. 单独的数字也是单项式，因此数字0是单项式，说法正确，不符合题意；
C. $π$是固定的常数，因此$\dfrac{2}{3}π xy$的数字因数是$\dfrac{2}{3}π$，即系数为$\dfrac{2}{3}π$，不是$\dfrac{2}{3}$，说法错误，符合题意；
D. $-π x$中字母$x$的次数为1，因此它是一次单项式，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的概念；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，主要易错点是易误将$π$当作字母，忽略$π$是常数，计算单项式系数时要将$π$计入数字因数部分。
【难度系数】
0.8
2.下面计算正确的是()
A.$6a - 5a = 1$
B.$a + 2a^2 = 3a^2$
C.$-(a - b) = -a + b$
D.$2(a + b) = 2a + b$
A.$6a - 5a = 1$
B.$a + 2a^2 = 3a^2$
C.$-(a - b) = -a + b$
D.$2(a + b) = 2a + b$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查整式加减的基础运算，解题时需结合合并同类项法则、去括号法则、乘法分配律对四个选项逐一判断：首先处理合并同类项的选项时，先判断各项是否为同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同），只有同类项才能合并，合并时仅系数相加减，字母和指数不变；处理去括号、带系数乘括号的选项时，要注意符号变化，以及不要漏乘括号内的项，最终选出计算正确的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：$6a$和$5a$是同类项，合并同类项得$6a-5a=(6-5)a=a$，结果不是1，故A错误；
2. 选项B：$a$的次数是1，$2a^2$的次数是2，二者不是同类项，不能合并，故B错误；
3. 选项C：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，因此$-(a-b)=-a+b$，故C正确；
4. 选项D：根据乘法分配律，$2(a+b)=2× a + 2× b=2a+2b$，漏乘了$b$的系数，故D错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，去括号法则，乘法分配律
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考查整式加减中的常见易错点，熟练掌握相关运算法则、注意运算时的符号问题和漏乘问题，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式加减的基础运算，解题时需结合合并同类项法则、去括号法则、乘法分配律对四个选项逐一判断：首先处理合并同类项的选项时，先判断各项是否为同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同），只有同类项才能合并，合并时仅系数相加减，字母和指数不变；处理去括号、带系数乘括号的选项时，要注意符号变化，以及不要漏乘括号内的项，最终选出计算正确的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：$6a$和$5a$是同类项，合并同类项得$6a-5a=(6-5)a=a$，结果不是1，故A错误；
2. 选项B：$a$的次数是1，$2a^2$的次数是2，二者不是同类项，不能合并，故B错误；
3. 选项C：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，因此$-(a-b)=-a+b$，故C正确；
4. 选项D：根据乘法分配律，$2(a+b)=2× a + 2× b=2a+2b$，漏乘了$b$的系数，故D错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项，去括号法则，乘法分配律
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考查整式加减中的常见易错点，熟练掌握相关运算法则、注意运算时的符号问题和漏乘问题，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.8
3.某校组织若干师生参加社会实践活动.若学校租用45座的客车$x$辆,则余下15人无座位;若租用60座的客车,则可少租1辆,且最后一辆还没有坐满.那么乘坐最后一辆60座客车的人数是()
A.$75-15x$
B.$135-15x$
C.$75+15x$
D.$135-60x$
A.$75-15x$
B.$135-15x$
C.$75+15x$
D.$135-60x$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先抓住总人数不变这一核心隐含条件，第一步先根据45座客车的租用情况求出师生总人数，第二步明确60座客车的租用数量：租用60座客车比45座少1辆，共$x-1$辆，其中除了最后一辆没坐满，前面$(x-2)$辆都是满员的，最后用总人数减去前$x-2$辆满员60座客车的总人数，即可得到最后一辆车的人数。
【解析】
1. 计算师生总人数：租用45座客车$x$辆时余下15人无座位，因此总人数为$45x + 15$人。
2. 分析60座客车的载客情况：租用60座客车的数量为$x-1$辆，其中前$(x-1-1)=x-2$辆全部坐满，每辆载客60人，这部分总人数为$60(x-2)$人。
3. 计算最后一辆60座客车的人数：
$\begin{aligned}&45x + 15 - 60(x-2)\\=&45x + 15 - 60x + 120\\=&135 - 15x\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题是代数式应用的常规题型，解题关键是找准总人数这一不变量，理清不同租车方案下车辆数和载客量的对应关系，计算时需注意去括号时的符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住总人数不变这一核心隐含条件，第一步先根据45座客车的租用情况求出师生总人数，第二步明确60座客车的租用数量：租用60座客车比45座少1辆，共$x-1$辆，其中除了最后一辆没坐满，前面$(x-2)$辆都是满员的，最后用总人数减去前$x-2$辆满员60座客车的总人数，即可得到最后一辆车的人数。
【解析】
1. 计算师生总人数：租用45座客车$x$辆时余下15人无座位，因此总人数为$45x + 15$人。
2. 分析60座客车的载客情况：租用60座客车的数量为$x-1$辆，其中前$(x-1-1)=x-2$辆全部坐满，每辆载客60人，这部分总人数为$60(x-2)$人。
3. 计算最后一辆60座客车的人数：
$\begin{aligned}&45x + 15 - 60(x-2)\\=&45x + 15 - 60x + 120\\=&135 - 15x\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题是代数式应用的常规题型，解题关键是找准总人数这一不变量，理清不同租车方案下车辆数和载客量的对应关系，计算时需注意去括号时的符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
4. 有下列结论:①$a^2＞0$;②$(-a)^4=a^4$;③$(-a)^5=a^5$;④$(a+2)^2＞0$;⑤$(a-1)^2+2＞0$;⑥若$(-2)^m＞0$,则$(-1)^m=1$;⑦若$(-2)^m＜0$,则$(-1)^m=-1$;⑧若$0＜a＜1$,则$a^2＜a$;⑨$(a-\frac{1}{2})^2+\frac{2}{3}$的最小值为$\frac{2}{3}$;⑩$7-(a-3)^2$的最大值为7. 其中正确的个数为()
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
A
解析
【分析】我们需要逐个判断10个结论的正误，判断时结合乘方的符号法则、平方的非负性（任何数的平方都是非负数，即≥0）、不等式的基本性质来分析，最后统计正确结论的个数即可。首先回忆相关规则：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何正整数次幂都是0；大于0小于1的数，平方后比本身小；平方的最小值为0，据此逐一验证即可。
【解析】逐个分析每个结论：
①当$a=0$时，$a^2=0$，故$a^2＞0$不成立，①错误；
②负数的偶次幂是正数，$(-a)^4=(-1)^4· a^4=a^4$，②正确；
③$(-a)^5=(-1)^5· a^5=-a^5≠ a^5$，③错误；
④当$a=-2$时，$(a+2)^2=0$，故$(a+2)^2＞0$不成立，④错误；
⑤$\because (a-1)^2≥0$，$\therefore (a-1)^2+2≥2＞0$，⑤正确；
⑥若$(-2)^m＞0$，说明$m$是偶数（负数的偶次幂为正），则$(-1)^m=1$，⑥正确；
⑦若$(-2)^m＜0$，说明$m$是奇数（负数的奇次幂为负），则$(-1)^m=-1$，⑦正确；
⑧若$0＜a＜1$，给不等式$a＜1$两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，得$a^2＜a$，⑧正确；
⑨$\because (a-\frac{1}{2})^2≥0$，$\therefore (a-\frac{1}{2})^2+\frac{2}{3}≥\frac{2}{3}$，当$a=\frac{1}{2}$时取最小值$\frac{2}{3}$，⑨正确；
⑩$\because (a-3)^2≥0$，$\therefore -(a-3)^2≤0$，$\therefore7-(a-3)^2≤7$，当$a=3$时取最大值7，⑩正确。
综上，正确的结论是②⑤⑥⑦⑧⑨⑩，共7个。
【答案】A
【知识点】乘方的符号法则；平方的非负性；不等式的性质
【点评】本题主要考查乘方的相关性质和平方的非负性，解题的关键是注意考虑特殊值0的情况，不要遗漏平方等于0的情形，避免判断①④时出错。
【难度系数】0.7
【解析】逐个分析每个结论：
①当$a=0$时，$a^2=0$，故$a^2＞0$不成立，①错误；
②负数的偶次幂是正数，$(-a)^4=(-1)^4· a^4=a^4$，②正确；
③$(-a)^5=(-1)^5· a^5=-a^5≠ a^5$，③错误；
④当$a=-2$时，$(a+2)^2=0$，故$(a+2)^2＞0$不成立，④错误；
⑤$\because (a-1)^2≥0$，$\therefore (a-1)^2+2≥2＞0$，⑤正确；
⑥若$(-2)^m＞0$，说明$m$是偶数（负数的偶次幂为正），则$(-1)^m=1$，⑥正确；
⑦若$(-2)^m＜0$，说明$m$是奇数（负数的奇次幂为负），则$(-1)^m=-1$，⑦正确；
⑧若$0＜a＜1$，给不等式$a＜1$两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，得$a^2＜a$，⑧正确；
⑨$\because (a-\frac{1}{2})^2≥0$，$\therefore (a-\frac{1}{2})^2+\frac{2}{3}≥\frac{2}{3}$，当$a=\frac{1}{2}$时取最小值$\frac{2}{3}$，⑨正确；
⑩$\because (a-3)^2≥0$，$\therefore -(a-3)^2≤0$，$\therefore7-(a-3)^2≤7$，当$a=3$时取最大值7，⑩正确。
综上，正确的结论是②⑤⑥⑦⑧⑨⑩，共7个。
【答案】A
【知识点】乘方的符号法则；平方的非负性；不等式的性质
【点评】本题主要考查乘方的相关性质和平方的非负性，解题的关键是注意考虑特殊值0的情况，不要遗漏平方等于0的情形，避免判断①④时出错。
【难度系数】0.7
5.瑞士数学教师巴尔末成功从光谱数据$\frac{9}{5},\frac{16}{12},\frac{25}{21},\frac{36}{32},\frac{49}{45},\dots$中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律，第10个数据是（）
A.$\frac{25}{24}$
B.$\frac{26}{25}$
C.$\frac{36}{35}$
D.$\frac{37}{36}$
A.$\frac{25}{24}$
B.$\frac{26}{25}$
C.$\frac{36}{35}$
D.$\frac{37}{36}$
答案
C
解析
【分析】
解决这类数列找规律的题目，我们可以把分数的分子和分母分开观察规律，再关联两者的关系。首先观察给出的前几个分数的分子，都是常见的完全平方数，先推导分子和项数n的关系，再对比分母和对应分子的差找到分母的规律，最后代入第10项的项数计算，结果约分后匹配选项即可。
【解析】
设这组数据的第n个数据（n为正整数）：
1. 找分子规律：
第1个数据分子：$9=3^2=(1+2)^2$
第2个数据分子：$16=4^2=(2+2)^2$
第3个数据分子：$25=5^2=(3+2)^2$
……
由此可得，第n个数据的分子为$(n+2)^2$。
2. 找分母规律：
第1个数据分母：$5=9-4=3^2-4$
第2个数据分母：$12=16-4=4^2-4$
第3个数据分母：$21=25-4=5^2-4$
……
由此可得，第n个数据的分母为$(n+2)^2 - 4$。
3. 计算第10个数据：
当n=10时，分子=$(10+2)^2=12^2=144$
分母=$144 - 4=140$
所以第10个数据为$\frac{144}{140}$，分子分母同时除以最大公因数4约分，得$\frac{36}{35}$。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，分数约分，完全平方数
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题核心是拆分分子分母分别找和项数的对应关系，计算后要注意将分数约分为最简形式再匹配选项，锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决这类数列找规律的题目，我们可以把分数的分子和分母分开观察规律，再关联两者的关系。首先观察给出的前几个分数的分子，都是常见的完全平方数，先推导分子和项数n的关系，再对比分母和对应分子的差找到分母的规律，最后代入第10项的项数计算，结果约分后匹配选项即可。
【解析】
设这组数据的第n个数据（n为正整数）：
1. 找分子规律：
第1个数据分子：$9=3^2=(1+2)^2$
第2个数据分子：$16=4^2=(2+2)^2$
第3个数据分子：$25=5^2=(3+2)^2$
……
由此可得，第n个数据的分子为$(n+2)^2$。
2. 找分母规律：
第1个数据分母：$5=9-4=3^2-4$
第2个数据分母：$12=16-4=4^2-4$
第3个数据分母：$21=25-4=5^2-4$
……
由此可得，第n个数据的分母为$(n+2)^2 - 4$。
3. 计算第10个数据：
当n=10时，分子=$(10+2)^2=12^2=144$
分母=$144 - 4=140$
所以第10个数据为$\frac{144}{140}$，分子分母同时除以最大公因数4约分，得$\frac{36}{35}$。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，分数约分，完全平方数
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题核心是拆分分子分母分别找和项数的对应关系，计算后要注意将分数约分为最简形式再匹配选项，锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
6. 写出一个含 $ x $ 的二次三项式：，
使得当 $ x = $时，代数式的值为15。
使得当 $ x = $时，代数式的值为15。
答案
解：
$x^2 + x + 3$；$3$
（注：答案不唯一，符合要求即可）
$x^2 + x + 3$；$3$
（注：答案不唯一，符合要求即可）
解析
【分析】
解题时首先要明确二次三项式的定义：含$x$的二次三项式需要满足三个条件：①式子中含有字母$x$；②最高次项的次数是2；③式子由3个单项式相加组成。我们可以先构造出二次项和一次项，再通过设定$x$的取值，计算出符合要求的常数项即可；也可以先写出完整的二次三项式，再代入计算找到使代数式值为15的$x$值，本题答案不唯一，满足要求即可。
【解析】
第一步：构造二次三项式的前两项，我们先选取二次项为$x^2$，一次项为$x$，设常数项为$a$，此时多项式为$x^2+x+a$。
第二步：选取一个合适的$x$值，比如令$x=3$，代入多项式要求其值为15，可得：
$3^2 + 3 + a = 15$
计算得：$9+3+a=15$，解得$a=3$。
第三步：验证：二次三项式$x^2+x+3$满足含$x$、最高次为2、共3项的要求，代入$x=3$得$3^2+3+3=15$，符合题目要求。
（注：也可构造其他符合要求的二次三项式，对应匹配正确的$x$值即可）
【答案】
$x^2 + x + 3$；$3$（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
多项式的相关概念；代数式求值
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对多项式的项数、次数定义的掌握，以及代数式代入求值的运算能力，解题时灵活选择构造方式即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次三项式的定义：含$x$的二次三项式需要满足三个条件：①式子中含有字母$x$；②最高次项的次数是2；③式子由3个单项式相加组成。我们可以先构造出二次项和一次项，再通过设定$x$的取值，计算出符合要求的常数项即可；也可以先写出完整的二次三项式，再代入计算找到使代数式值为15的$x$值，本题答案不唯一，满足要求即可。
【解析】
第一步：构造二次三项式的前两项，我们先选取二次项为$x^2$，一次项为$x$，设常数项为$a$，此时多项式为$x^2+x+a$。
第二步：选取一个合适的$x$值，比如令$x=3$，代入多项式要求其值为15，可得：
$3^2 + 3 + a = 15$
计算得：$9+3+a=15$，解得$a=3$。
第三步：验证：二次三项式$x^2+x+3$满足含$x$、最高次为2、共3项的要求，代入$x=3$得$3^2+3+3=15$，符合题目要求。
（注：也可构造其他符合要求的二次三项式，对应匹配正确的$x$值即可）
【答案】
$x^2 + x + 3$；$3$（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
多项式的相关概念；代数式求值
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对多项式的项数、次数定义的掌握，以及代数式代入求值的运算能力，解题时灵活选择构造方式即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
7.当$x=1$时，式子$2ax^3+3bx+4$的值是5，那么当$x=-1$时，式子$2ax^3+3bx+4$的值是。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先将x=1代入给定的代数式，求出2a+3b的整体值，再将x=-1代入代数式，将式子变形为含有2a+3b的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：当x=1时，将其代入式子$2ax^3+3bx+4$中，可得：
$2a×1^3 + 3b×1 + 4 = 5$
化简得：$2a + 3b + 4 = 5$，所以$2a + 3b = 1$。
当x=-1时，将其代入式子$2ax^3+3bx+4$中，可得：
$2a×(-1)^3 + 3b×(-1) + 4$
$= -2a - 3b + 4$
$= -(2a + 3b) + 4$
把$2a + 3b = 1$代入上式，得：
$-1 + 4 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心解题技巧是运用整体代入的思想，避开求解未知参数的具体值，大幅降低计算量，也考查了对奇数次幂符号变化的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先将x=1代入给定的代数式，求出2a+3b的整体值，再将x=-1代入代数式，将式子变形为含有2a+3b的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：当x=1时，将其代入式子$2ax^3+3bx+4$中，可得：
$2a×1^3 + 3b×1 + 4 = 5$
化简得：$2a + 3b + 4 = 5$，所以$2a + 3b = 1$。
当x=-1时，将其代入式子$2ax^3+3bx+4$中，可得：
$2a×(-1)^3 + 3b×(-1) + 4$
$= -2a - 3b + 4$
$= -(2a + 3b) + 4$
把$2a + 3b = 1$代入上式，得：
$-1 + 4 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心解题技巧是运用整体代入的思想，避开求解未知参数的具体值，大幅降低计算量，也考查了对奇数次幂符号变化的掌握。
【难度系数】
0.7
8.图中阴影部分的面积为。
答案
解：
长方形的面积为 $2a · b = 2ab$。
两个空白半圆的直径均为$2a$，半径为$a$，两个半圆的面积之和等价于一个半径为$a$的整圆的面积，即$π a^2$。
因此阴影部分的面积为 $2ab - π a^2$。
长方形的面积为 $2a · b = 2ab$。
两个空白半圆的直径均为$2a$，半径为$a$，两个半圆的面积之和等价于一个半径为$a$的整圆的面积，即$π a^2$。
因此阴影部分的面积为 $2ab - π a^2$。
解析
【分析】
求不规则阴影部分的面积，通常采用“整体减空白”的思路解题：第一步先确定整体图形是长为b、宽为2a的长方形，可通过长方形面积公式算出总面积；第二步观察空白部分，发现是两个直径均为2a的半圆，直径相同的两个半圆可拼接成一个完整的圆，先求出圆的半径，再通过圆的面积公式算出空白部分总面积；最后用长方形总面积减去空白部分的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算长方形的面积：
长方形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知长方形长为$b$，宽为$2a$，因此长方形面积为$2a · b=2ab$。
2. 计算空白部分的总面积：
两个空白半圆的直径均为$2a$，因此半圆的半径$r=2a÷2=a$；两个直径相同的半圆面积之和等价于1个半径为$a$的整圆的面积，圆的面积公式为$\mathrm{面积}=π r^2$，因此空白部分总面积为$π a^2$。
3. 计算阴影部分面积：
$\mathrm{阴影面积}=\mathrm{长方形面积}-\mathrm{空白部分面积}=2ab-π a^2$。
【答案】
$2ab-π a^2$
【知识点】
组合图形面积计算、长方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积求解，解题核心是利用割补法将分散的空白半圆转化为规则的整圆，简化计算过程，解题时要注意准确识别各规则图形的对应参数，避免混淆半径、直径等数据。
【难度系数】
0.7
求不规则阴影部分的面积，通常采用“整体减空白”的思路解题：第一步先确定整体图形是长为b、宽为2a的长方形，可通过长方形面积公式算出总面积；第二步观察空白部分，发现是两个直径均为2a的半圆，直径相同的两个半圆可拼接成一个完整的圆，先求出圆的半径，再通过圆的面积公式算出空白部分总面积；最后用长方形总面积减去空白部分的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算长方形的面积：
长方形面积公式为$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知长方形长为$b$，宽为$2a$，因此长方形面积为$2a · b=2ab$。
2. 计算空白部分的总面积：
两个空白半圆的直径均为$2a$，因此半圆的半径$r=2a÷2=a$；两个直径相同的半圆面积之和等价于1个半径为$a$的整圆的面积，圆的面积公式为$\mathrm{面积}=π r^2$，因此空白部分总面积为$π a^2$。
3. 计算阴影部分面积：
$\mathrm{阴影面积}=\mathrm{长方形面积}-\mathrm{空白部分面积}=2ab-π a^2$。
【答案】
$2ab-π a^2$
【知识点】
组合图形面积计算、长方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积求解，解题核心是利用割补法将分散的空白半圆转化为规则的整圆，简化计算过程，解题时要注意准确识别各规则图形的对应参数，避免混淆半径、直径等数据。
【难度系数】
0.7
9.已知$a,b$是有理数,定义一种新运算“$\otimes$”,满足$a\otimes b=3a-2b$.
(1)$(-3)\otimes2$的值是________;
(2)化简:$(2\otimes2x)\otimes(-3x)=\_\_\_\_\_\_$.
(1)$(-3)\otimes2$的值是________;
(2)化简:$(2\otimes2x)\otimes(-3x)=\_\_\_\_\_\_$.
答案
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{18-6x}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算“⊗”的规则：$a\otimes b$等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍。(1)问直接将$a=-3$、$b=2$代入运算规则计算即可；(2)问遵循运算顺序，先计算括号内的$2\otimes2x$，得到结果后将该结果作为新的$a$、$-3x$作为新的$b$，再次代入运算规则化简即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a\otimes b=3a-2b$，将$a=-3$，$b=2$代入得：
$\begin{aligned}(-3)\otimes2&=3×(-3)-2×2\\&=-9-4\\&=-13\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的$2\otimes2x$，此时$a=2$，$b=2x$：
$\begin{aligned}2\otimes2x&=3×2 - 2×2x\\&=6-4x\end{aligned}$
再计算$(6-4x)\otimes(-3x)$，此时$a=6-4x$，$b=-3x$：
$\begin{aligned}(6-4x)\otimes(-3x)&=3×(6-4x) - 2×(-3x)\\&=18-12x+6x\\&=18-6x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{18-6x}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的新定义运算题型，只要准确掌握给定的运算规则，按照先算括号内、再算括号外的顺序计算，注意符号的处理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算“⊗”的规则：$a\otimes b$等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍。(1)问直接将$a=-3$、$b=2$代入运算规则计算即可；(2)问遵循运算顺序，先计算括号内的$2\otimes2x$，得到结果后将该结果作为新的$a$、$-3x$作为新的$b$，再次代入运算规则化简即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a\otimes b=3a-2b$，将$a=-3$，$b=2$代入得：
$\begin{aligned}(-3)\otimes2&=3×(-3)-2×2\\&=-9-4\\&=-13\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的$2\otimes2x$，此时$a=2$，$b=2x$：
$\begin{aligned}2\otimes2x&=3×2 - 2×2x\\&=6-4x\end{aligned}$
再计算$(6-4x)\otimes(-3x)$，此时$a=6-4x$，$b=-3x$：
$\begin{aligned}(6-4x)\otimes(-3x)&=3×(6-4x) - 2×(-3x)\\&=18-12x+6x\\&=18-6x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) $\boldsymbol{18-6x}$
【知识点】
新定义运算，整式化简，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的新定义运算题型，只要准确掌握给定的运算规则，按照先算括号内、再算括号外的顺序计算，注意符号的处理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2024个格子中的整数是。
第10题表
第10题表
答案
解：
由任意三个相邻格子所填整数之和相等，可得：
$-4 + a + b = a + b + c$，解得$c=-4$；
$a + b + c = b + c + 6$，解得$a=6$。
由此可知格子中的数按$-4$，$6$，$b$循环排列。
观察表格，第9个格子的数为$-2$，循环中第3个数对应位置3、6、9……，因此$b=-2$。
即数列的循环周期为3，循环内容为$-4$，$6$，$-2$。
计算得$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环中的第2个数。
所以第2024个格子中的整数是$\boldsymbol{6}$。
由任意三个相邻格子所填整数之和相等，可得：
$-4 + a + b = a + b + c$，解得$c=-4$；
$a + b + c = b + c + 6$，解得$a=6$。
由此可知格子中的数按$-4$，$6$，$b$循环排列。
观察表格，第9个格子的数为$-2$，循环中第3个数对应位置3、6、9……，因此$b=-2$。
即数列的循环周期为3，循环内容为$-4$，$6$，$-2$。
计算得$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环中的第2个数。
所以第2024个格子中的整数是$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
首先根据题目“任意三个相邻格子所填整数之和都相等”的条件，通过列等式消去相同项，先求出a和c的值，初步确定数列的循环规律；再结合表格中已知的第9个格子的数，确定循环中的第三个数值b，得到完整的循环周期；最后用2024除以循环周期，根据余数判断第2024个格子对应的数即可。
【解析】
解：
∵任意三个相邻格子所填整数之和相等，
∴前三个数的和等于第2~4个数的和，即$-4 + a + b = a + b + c$，
等式两边同时减去$a+b$，解得$c=-4$；
同理，第2~4个数的和等于第3~5个数的和，即$a + b + c = b + c + 6$，
等式两边同时减去$b+c$，解得$a=6$。
此时可得格子中的数按$-4$，$6$，$b$三个数为一个周期循环排列。
观察表格，第9个格子的数为$-2$，周期中第3个数对应位置为3、6、9……，因此$b=-2$，即数列的循环周期为3，循环序列为：$-4$，$6$，$-2$。
计算$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环序列中的第2个数。
所以第2024个格子中的整数是6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
数字规律探究、周期问题、等式的性质
【点评】
本题是典型的数字周期规律题，解题的核心是利用“相邻三个数和相等”的条件推导出数列的循环特征，结合已知位置的数值确定完整循环组，再通过带余除法快速定位目标位置的数值，掌握规律推导方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
首先根据题目“任意三个相邻格子所填整数之和都相等”的条件，通过列等式消去相同项，先求出a和c的值，初步确定数列的循环规律；再结合表格中已知的第9个格子的数，确定循环中的第三个数值b，得到完整的循环周期；最后用2024除以循环周期，根据余数判断第2024个格子对应的数即可。
【解析】
解：
∵任意三个相邻格子所填整数之和相等，
∴前三个数的和等于第2~4个数的和，即$-4 + a + b = a + b + c$，
等式两边同时减去$a+b$，解得$c=-4$；
同理，第2~4个数的和等于第3~5个数的和，即$a + b + c = b + c + 6$，
等式两边同时减去$b+c$，解得$a=6$。
此时可得格子中的数按$-4$，$6$，$b$三个数为一个周期循环排列。
观察表格，第9个格子的数为$-2$，周期中第3个数对应位置为3、6、9……，因此$b=-2$，即数列的循环周期为3，循环序列为：$-4$，$6$，$-2$。
计算$2024÷3=674······2$，余数为2，对应循环序列中的第2个数。
所以第2024个格子中的整数是6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
数字规律探究、周期问题、等式的性质
【点评】
本题是典型的数字周期规律题，解题的核心是利用“相邻三个数和相等”的条件推导出数列的循环特征，结合已知位置的数值确定完整循环组，再通过带余除法快速定位目标位置的数值，掌握规律推导方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
