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24. 将一质量为0.5 kg的小球从高度为4 m、长为6 m的斜面上，由静止向下运动至水平面，小球在向下运动过程中，重力所做的功和克服摩擦力所做功之差等于小球A的动能变化量。已知动能的表达式为$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2$，g取10 N/kg。
（1）若小球到达水平面的速度为4 m/s，小球的动能为多大？
（2）求小球在整个向下运动的过程克服摩擦力做的功。
（3）求小球在斜面上向下运动时受到的摩擦力大小。
（1）若小球到达水平面的速度为4 m/s，小球的动能为多大？
（2）求小球在整个向下运动的过程克服摩擦力做的功。
（3）求小球在斜面上向下运动时受到的摩擦力大小。
答案
24. （1）4 J （2）16 J （3）2.67 N
解析
【分析】
本题考查动能的计算、动能定理的应用，解题思路如下：（1）直接利用动能定义式 $ E_k=\frac{1}{2}mv^2 $，代入已知质量和速度计算动能；（2）根据题意，重力做功与克服摩擦力做功的差等于动能变化量，先算重力做功，结合第一问的动能变化求出克服摩擦力做功；（3）利用克服摩擦力做功公式 $ W_f=f· s $，代入已求的克服摩擦力功和斜面长度，计算摩擦力大小。
【解析】
（1）根据动能公式 $ E_k=\frac{1}{2}mv^2 $，代入 $ m=0.5\ \mathrm{kg} $、$ v=4\ \mathrm{m/s} $：
$ E_k=\frac{1}{2} × 0.5\ \mathrm{kg} × (4\ \mathrm{m/s})^2 = 4\ \mathrm{J} $；
（2）重力做功 $ W_G=mgh $，代入 $ m=0.5\ \mathrm{kg} $、$ g=10\ \mathrm{N/kg} $、$ h=4\ \mathrm{m} $：
$ W_G=0.5\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 4\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{J} $；
由题意 $ W_G - W_f=\Delta E_k $，其中 $ \Delta E_k=E_k=4\ \mathrm{J} $，则克服摩擦力做功：
$ W_f=W_G - \Delta E_k=20\ \mathrm{J}-4\ \mathrm{J}=16\ \mathrm{J} $；
（3）克服摩擦力做功 $ W_f=f· L $（$ L=6\ \mathrm{m} $为斜面长度），则摩擦力大小：
$ f=\frac{W_f}{L}=\frac{16\ \mathrm{J}}{6\ \mathrm{m}}\approx2.67\ \mathrm{N} $；
【答案】（1）4 J；（2）16 J；（3）2.67 N
【知识点】动能计算、动能定理、摩擦力做功
【点评】本题为力学基础应用题，结合动能公式和动能定理解题，步骤清晰，考查学生对基本公式的掌握与应用能力，属于中等难度的基础题。
【难度系数】0.7
本题考查动能的计算、动能定理的应用，解题思路如下：（1）直接利用动能定义式 $ E_k=\frac{1}{2}mv^2 $，代入已知质量和速度计算动能；（2）根据题意，重力做功与克服摩擦力做功的差等于动能变化量，先算重力做功，结合第一问的动能变化求出克服摩擦力做功；（3）利用克服摩擦力做功公式 $ W_f=f· s $，代入已求的克服摩擦力功和斜面长度，计算摩擦力大小。
【解析】
（1）根据动能公式 $ E_k=\frac{1}{2}mv^2 $，代入 $ m=0.5\ \mathrm{kg} $、$ v=4\ \mathrm{m/s} $：
$ E_k=\frac{1}{2} × 0.5\ \mathrm{kg} × (4\ \mathrm{m/s})^2 = 4\ \mathrm{J} $；
（2）重力做功 $ W_G=mgh $，代入 $ m=0.5\ \mathrm{kg} $、$ g=10\ \mathrm{N/kg} $、$ h=4\ \mathrm{m} $：
$ W_G=0.5\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 4\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{J} $；
由题意 $ W_G - W_f=\Delta E_k $，其中 $ \Delta E_k=E_k=4\ \mathrm{J} $，则克服摩擦力做功：
$ W_f=W_G - \Delta E_k=20\ \mathrm{J}-4\ \mathrm{J}=16\ \mathrm{J} $；
（3）克服摩擦力做功 $ W_f=f· L $（$ L=6\ \mathrm{m} $为斜面长度），则摩擦力大小：
$ f=\frac{W_f}{L}=\frac{16\ \mathrm{J}}{6\ \mathrm{m}}\approx2.67\ \mathrm{N} $；
【答案】（1）4 J；（2）16 J；（3）2.67 N
【知识点】动能计算、动能定理、摩擦力做功
【点评】本题为力学基础应用题，结合动能公式和动能定理解题，步骤清晰，考查学生对基本公式的掌握与应用能力，属于中等难度的基础题。
【难度系数】0.7
25. 光滑斜面甲与水平面AB平滑连接，从斜面甲高H处由静止释放小球，小球运动到B点静止，如图17(a)所示。如果在AB上的C点平滑拼接另一光滑斜面乙，如图17(b)所示，已知AB＝3AC，回答下列问题：
（1）如果小球从斜面甲高H处由静止释放，说明小球在乙斜面到达的最大高度h与H的数量关系并说明理由；
（2）要使小球在斜面乙上到达的最大高度变为2h，小球应在斜面甲上多高处静止释放，并说明理由。
（1）如果小球从斜面甲高H处由静止释放，说明小球在乙斜面到达的最大高度h与H的数量关系并说明理由；
（2）要使小球在斜面乙上到达的最大高度变为2h，小球应在斜面甲上多高处静止释放，并说明理由。
答案
25. （1）由于图(a)中小球运动到B点静止，减少的机械能就是小球在AB上由于摩擦而损失的机械能；图(b)中$AB=3AC$，所以在AC上小球的机械能减少了$\dfrac{1}{3}$，在光滑斜面乙能到达的高度$h=\dfrac{2}{3}H$ （2）若要使小球在斜面乙上到达高度为$2h$，即$\dfrac{4}{3}H$，由于AC上损失的机械能不变，所以小球在斜面甲上释放的高度应为$\dfrac{4}{3}H+\dfrac{1}{3}H=\dfrac{5}{3}H$
解析
【分析】
首先明确：斜面光滑时，小球在斜面上运动无能量损失，仅水平面AB段因摩擦损失机械能。图(a)中，小球从高H处释放到B点静止，初始重力势能全部用于克服AB段摩擦力做功；图(b)中AB=3AC，故AC段长度为AB的1/3，小球在AC段损失的机械能为总损失的1/3，剩余机械能转化为乙斜面的重力势能，据此推导h与H的关系；第二问同理，根据目标高度计算所需总机械能，反推释放高度。
【解析】
（1）设小球质量为m，AB段长度为s，则AC=s/3。
图(a)中，小球从高H处静止释放，初始重力势能为$E_{p1}=mgH$，运动到B点静止，全部机械能用于克服AB段摩擦力做功，即$W_f=mgH$。
图(b)中，小球从甲斜面高H处释放，运动到C点时，克服AC段摩擦力做功$W_f'=\frac{AC}{AB}W_f=\frac{1}{3}mgH$，因此到达C点时剩余机械能为：
$E_C=E_{p1}-W_f'=mgH-\frac{1}{3}mgH=\frac{2}{3}mgH$。
由于乙斜面光滑，小球在乙斜面上机械能守恒，到达最大高度h时，重力势能等于$E_C$，即$mgh=\frac{2}{3}mgH$，解得$h=\frac{2}{3}H$。
（2）若要小球在乙斜面上到达高度为2h，此时重力势能为$mg·2h=mg·\frac{4}{3}H$。
小球从甲斜面释放后，经过AC段克服摩擦力做功仍为$\frac{1}{3}mgH$，因此初始总机械能需满足：
$E_{总}=W_f'+mg·2h=\frac{1}{3}mgH+\frac{4}{3}mgH=\frac{5}{3}mgH$。
初始总机械能等于甲斜面释放高度对应的重力势能，即$mgH'=\frac{5}{3}mgH$，解得$H'=\frac{5}{3}H$。
【答案】
（1）$h=\frac{2}{3}H$；（2）应在斜面甲上高$\frac{5}{3}H$处静止释放。
【知识点】
机械能转化、摩擦力做功、重力势能
【点评】
本题结合能量守恒与摩擦力做功，考查学生对机械能变化的分析能力，关键是明确不同阶段能量的损失情况，利用能量关系推导物理量，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确：斜面光滑时，小球在斜面上运动无能量损失，仅水平面AB段因摩擦损失机械能。图(a)中，小球从高H处释放到B点静止，初始重力势能全部用于克服AB段摩擦力做功；图(b)中AB=3AC，故AC段长度为AB的1/3，小球在AC段损失的机械能为总损失的1/3，剩余机械能转化为乙斜面的重力势能，据此推导h与H的关系；第二问同理，根据目标高度计算所需总机械能，反推释放高度。
【解析】
（1）设小球质量为m，AB段长度为s，则AC=s/3。
图(a)中，小球从高H处静止释放，初始重力势能为$E_{p1}=mgH$，运动到B点静止，全部机械能用于克服AB段摩擦力做功，即$W_f=mgH$。
图(b)中，小球从甲斜面高H处释放，运动到C点时，克服AC段摩擦力做功$W_f'=\frac{AC}{AB}W_f=\frac{1}{3}mgH$，因此到达C点时剩余机械能为：
$E_C=E_{p1}-W_f'=mgH-\frac{1}{3}mgH=\frac{2}{3}mgH$。
由于乙斜面光滑，小球在乙斜面上机械能守恒，到达最大高度h时，重力势能等于$E_C$，即$mgh=\frac{2}{3}mgH$，解得$h=\frac{2}{3}H$。
（2）若要小球在乙斜面上到达高度为2h，此时重力势能为$mg·2h=mg·\frac{4}{3}H$。
小球从甲斜面释放后，经过AC段克服摩擦力做功仍为$\frac{1}{3}mgH$，因此初始总机械能需满足：
$E_{总}=W_f'+mg·2h=\frac{1}{3}mgH+\frac{4}{3}mgH=\frac{5}{3}mgH$。
初始总机械能等于甲斜面释放高度对应的重力势能，即$mgH'=\frac{5}{3}mgH$，解得$H'=\frac{5}{3}H$。
【答案】
（1）$h=\frac{2}{3}H$；（2）应在斜面甲上高$\frac{5}{3}H$处静止释放。
【知识点】
机械能转化、摩擦力做功、重力势能
【点评】
本题结合能量守恒与摩擦力做功，考查学生对机械能变化的分析能力，关键是明确不同阶段能量的损失情况，利用能量关系推导物理量，难度适中。
【难度系数】
0.6
