登录
1.下列说法正确的是()
A.连接圆上任意两点之间的部分叫作弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.直径是弦，弦也是直径
D.圆上任意两点之间的部分叫作弧
A.连接圆上任意两点之间的部分叫作弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.直径是弦，弦也是直径
D.圆上任意两点之间的部分叫作弧
答案
D
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需逐一回忆弦、弧、等弧、直径的准确定义，抓住每个概念的关键词，逐个比对选项判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，选项中表述为“两点之间的部分”，表述错误，故A不符合题意。
选项B：等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，故B不符合题意。
选项C：直径是过圆心的特殊弦，因此直径是弦，但弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径，故C不符合题意。
选项D：弧的定义就是圆上任意两点之间的部分，表述正确，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
弦的定义；弧的定义；等弧的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于混淆各概念的关键词，学习相关内容时要准确记忆概念的限定条件，避免因概念理解模糊失分。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需逐一回忆弦、弧、等弧、直径的准确定义，抓住每个概念的关键词，逐个比对选项判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，选项中表述为“两点之间的部分”，表述错误，故A不符合题意。
选项B：等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，故B不符合题意。
选项C：直径是过圆心的特殊弦，因此直径是弦，但弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径，故C不符合题意。
选项D：弧的定义就是圆上任意两点之间的部分，表述正确，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
弦的定义；弧的定义；等弧的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于混淆各概念的关键词，学习相关内容时要准确记忆概念的限定条件，避免因概念理解模糊失分。
【难度系数】
0.8
2.已知$\odot O$的半径是3，点P在$\odot O$上，则点P到圆心O的距离d满足
（）
A.$d＜3$
B.$d=3$
C.$d＞3$
D.$d=6$
（）
A.$d＜3$
B.$d=3$
C.$d＞3$
D.$d=6$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确点与圆的三类位置关系对应的数量规律：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。本题已知圆的半径和点在圆上的条件，直接匹配对应规律即可推导结果。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，且点P在$\odot O$上，根据点在圆上的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径，可得点P到圆心O的距离$d=r=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是记忆点和圆不同位置关系下距离与半径的大小关系，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先明确点与圆的三类位置关系对应的数量规律：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。本题已知圆的半径和点在圆上的条件，直接匹配对应规律即可推导结果。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，且点P在$\odot O$上，根据点在圆上的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径，可得点P到圆心O的距离$d=r=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是记忆点和圆不同位置关系下距离与半径的大小关系，掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.点P,Q与$\odot O$的位置如图所示。若$OP=8$,$OQ=6$,则$\odot O$的直径可能是（）
A.10
B.12
C.13
D.16
A.10
B.12
C.13
D.16
答案
C
解析
【分析】首先回忆点与圆的位置关系对应的数量规律：点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径。观察图形可知点P在⊙O外，点Q在⊙O内，结合已知的OP、OQ长度，先求出半径的取值范围，再推导直径的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】设$\odot O$的半径为$r$。
∵ 点$P$在$\odot O$外，
∴ 点$P$到圆心$O$的距离大于半径，即$r ＜ OP=8$；
∵ 点$Q$在$\odot O$内，
∴ 点$Q$到圆心$O$的距离小于半径，即$r ＞ OQ=6$；
综上可得半径$r$的取值范围为$6 ＜ r ＜ 8$，
则$\odot O$的直径$d=2r$的取值范围为$12 ＜ d ＜ 16$。
观察各选项，只有13满足$12＜13＜16$，符合要求。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题考查点与圆位置关系的实际应用，解题核心是根据点的位置推导出半径的取值范围，再转化为直径的范围筛选选项，是对基础位置关系判定规律的直接应用。
【难度系数】0.8
【解析】设$\odot O$的半径为$r$。
∵ 点$P$在$\odot O$外，
∴ 点$P$到圆心$O$的距离大于半径，即$r ＜ OP=8$；
∵ 点$Q$在$\odot O$内，
∴ 点$Q$到圆心$O$的距离小于半径，即$r ＞ OQ=6$；
综上可得半径$r$的取值范围为$6 ＜ r ＜ 8$，
则$\odot O$的直径$d=2r$的取值范围为$12 ＜ d ＜ 16$。
观察各选项，只有13满足$12＜13＜16$，符合要求。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【点评】本题考查点与圆位置关系的实际应用，解题核心是根据点的位置推导出半径的取值范围，再转化为直径的范围筛选选项，是对基础位置关系判定规律的直接应用。
【难度系数】0.8
4.已知$\odot O$的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程$x^2 -4x -5=0$的一个根，则点P在$\odot O$（填“内”“外”或“上”）。
答案
上
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，需先明确两个核心量：圆的半径、点P到圆心的距离d。首先根据直径求出圆的半径，再解一元二次方程得到d的可能取值，结合距离的非负性舍去不合理的负根，最后比较d和半径的大小即可得出结论：若d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
【解析】
1. 求$\odot O$的半径
已知$\odot O$的直径为10，因此半径$r=\frac{10}{2}=5$。
2. 解一元二次方程求d的可能值
解方程$x^2-4x-5=0$，因式分解得：
$(x-5)(x+1)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
3. 确定d的取值并判断位置
由于点到圆心的距离d为非负数，故舍去负根$x=-1$，得$d=5$。
此时$d=r=5$，因此点P在$\odot O$上。
【答案】
上
【知识点】
点与圆的位置关系判定；解一元二次方程；距离的非负性
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和点与圆位置关系判定两个考点结合，解题时需注意距离不能为负数，要舍去方程的负根，避免因忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.8
要判断点P与$\odot O$的位置关系，需先明确两个核心量：圆的半径、点P到圆心的距离d。首先根据直径求出圆的半径，再解一元二次方程得到d的可能取值，结合距离的非负性舍去不合理的负根，最后比较d和半径的大小即可得出结论：若d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
【解析】
1. 求$\odot O$的半径
已知$\odot O$的直径为10，因此半径$r=\frac{10}{2}=5$。
2. 解一元二次方程求d的可能值
解方程$x^2-4x-5=0$，因式分解得：
$(x-5)(x+1)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
3. 确定d的取值并判断位置
由于点到圆心的距离d为非负数，故舍去负根$x=-1$，得$d=5$。
此时$d=r=5$，因此点P在$\odot O$上。
【答案】
上
【知识点】
点与圆的位置关系判定；解一元二次方程；距离的非负性
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和点与圆位置关系判定两个考点结合，解题时需注意距离不能为负数，要舍去方程的负根，避免因忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，DE⊥AC于点E。
(1)求DE的长。
(2)若以点A为圆心作$\odot A$，B，C，D，E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求$\odot A$的半径r的取值范围。
(1)求DE的长。
(2)若以点A为圆心作$\odot A$，B，C，D，E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求$\odot A$的半径r的取值范围。
答案
解：
(1) 在矩形ABCD中，∠ADC=90°，CD=AB=3。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
$\because S_{△ ADC} = \frac{1}{2} · AD · CD = \frac{1}{2} · AC · DE$，
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × DE$，
解得 $DE = \frac{12}{5}$。
(2) 分别计算各点到点A的距离：
$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，
在$Rt△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{16}{5}$。
将四个距离从小到大排序得：$3 ＜ \frac{16}{5} ＜ 4 ＜ 5$。
要使B,C,D,E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，半径r需要大于最小距离3，同时小于最大距离5，
即$\odot A$的半径r的取值范围是$3 ＜ r ＜ 5$。
(1) 在矩形ABCD中，∠ADC=90°，CD=AB=3。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
$\because S_{△ ADC} = \frac{1}{2} · AD · CD = \frac{1}{2} · AC · DE$，
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × DE$，
解得 $DE = \frac{12}{5}$。
(2) 分别计算各点到点A的距离：
$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，
在$Rt△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{16}{5}$。
将四个距离从小到大排序得：$3 ＜ \frac{16}{5} ＜ 4 ＜ 5$。
要使B,C,D,E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，半径r需要大于最小距离3，同时小于最大距离5，
即$\odot A$的半径r的取值范围是$3 ＜ r ＜ 5$。
解析
【分析】
(1) 求DE的长时，首先利用矩形的性质得到△ADC是直角三角形，先通过勾股定理求出对角线AC的长度；再观察DE是△ADC中AC边上的高，可利用同一个三角形面积的两种不同计算方法（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式，即可求解DE的长度。
(2) 求半径r的取值范围时，需依据点和圆的位置关系：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；大于半径时，点在圆外。先分别计算B、C、D、E四点到点A的距离，找到这四个距离的最小值和最大值；要满足至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，半径r需要大于最小距离（保证距离最小的点在圆内），同时小于最大距离（保证距离最大的点在圆外），即可得到r的取值范围。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠ADC=90°，CD=AB=3。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
$\because S_{△ ADC} = \frac{1}{2} · AD · CD = \frac{1}{2} · AC · DE$，
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × DE$，
解得 $DE = \frac{12}{5}$。
(2) 分别计算各点到点A的距离：
$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，
在$Rt△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{16}{5}$。
将四个距离从小到大排序得：$3 ＜ \frac{16}{5} ＜ 4 ＜ 5$。
要使B,C,D,E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，半径r需要大于最小距离3，同时小于最大距离5，
即$\odot A$的半径r的取值范围是$3 ＜ r ＜ 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=\frac{12}{5}}$
(2) $\boldsymbol{3 ＜ r ＜ 5}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题综合考查了几何图形中的线段计算和位置关系判断，第一问使用面积法求三角形的高是几何计算中的常用技巧，第二问的关键是明确点和圆的位置关系与点到圆心距离、半径大小的对应关系，整体侧重对基础方法和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求DE的长时，首先利用矩形的性质得到△ADC是直角三角形，先通过勾股定理求出对角线AC的长度；再观察DE是△ADC中AC边上的高，可利用同一个三角形面积的两种不同计算方法（两直角边乘积的一半、底乘高的一半）列等式，即可求解DE的长度。
(2) 求半径r的取值范围时，需依据点和圆的位置关系：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；大于半径时，点在圆外。先分别计算B、C、D、E四点到点A的距离，找到这四个距离的最小值和最大值；要满足至少1个点在圆内、至少1个点在圆外，半径r需要大于最小距离（保证距离最小的点在圆内），同时小于最大距离（保证距离最大的点在圆外），即可得到r的取值范围。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠ADC=90°，CD=AB=3。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
$\because S_{△ ADC} = \frac{1}{2} · AD · CD = \frac{1}{2} · AC · DE$，
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 5 × DE$，
解得 $DE = \frac{12}{5}$。
(2) 分别计算各点到点A的距离：
$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，
在$Rt△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{16}{5}$。
将四个距离从小到大排序得：$3 ＜ \frac{16}{5} ＜ 4 ＜ 5$。
要使B,C,D,E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，半径r需要大于最小距离3，同时小于最大距离5，
即$\odot A$的半径r的取值范围是$3 ＜ r ＜ 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=\frac{12}{5}}$
(2) $\boldsymbol{3 ＜ r ＜ 5}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题综合考查了几何图形中的线段计算和位置关系判断，第一问使用面积法求三角形的高是几何计算中的常用技巧，第二问的关键是明确点和圆的位置关系与点到圆心距离、半径大小的对应关系，整体侧重对基础方法和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
