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1.下列说法中,错误的是()
A.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
B.平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C.垂直于弦的直线必经过圆心
D.弦的垂直平分线必经过圆心
A.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
B.平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C.垂直于弦的直线必经过圆心
D.弦的垂直平分线必经过圆心
答案
C
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时首先要明确垂径定理及相关推论的成立条件，再逐一比对每个选项的描述是否符合定理要求，找出描述错误的选项即可。思考路径：先回忆垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，再对应各个推论的限制条件，逐个判断选项正误。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，若弦为直径时，两条互相平分的直径不一定垂直，该选项补充了“不是直径”的限制，描述正确；
B. 平分弧的直径是该弧的对称轴，必然垂直于这条弧所对的弦，描述正确；
C. 垂直于弦的直线有无数条，只有同时平分弦的直线才会经过圆心，并非所有垂直于弦的直线都过圆心，描述错误；
D. 圆心到弦两端点的距离都等于半径，即圆心在弦的垂直平分线上，因此弦的垂直平分线必经过圆心，描述正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及推论；线段垂直平分线性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对垂径定理及推论成立条件的掌握，解题时要注意区分各类相关结论的前提限制，避免因忽略条件错选。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时首先要明确垂径定理及相关推论的成立条件，再逐一比对每个选项的描述是否符合定理要求，找出描述错误的选项即可。思考路径：先回忆垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，再对应各个推论的限制条件，逐个判断选项正误。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，若弦为直径时，两条互相平分的直径不一定垂直，该选项补充了“不是直径”的限制，描述正确；
B. 平分弧的直径是该弧的对称轴，必然垂直于这条弧所对的弦，描述正确；
C. 垂直于弦的直线有无数条，只有同时平分弦的直线才会经过圆心，并非所有垂直于弦的直线都过圆心，描述错误；
D. 圆心到弦两端点的距离都等于半径，即圆心在弦的垂直平分线上，因此弦的垂直平分线必经过圆心，描述正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及推论；线段垂直平分线性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对垂径定理及推论成立条件的掌握，解题时要注意区分各类相关结论的前提限制，避免因忽略条件错选。
【难度系数】
0.8
2.半圆形纸片的半径为2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 cm。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
【分析】
遇到折叠类问题首先考虑折叠的性质：折痕是对应点连线的垂直平分线。本题中对折后点M与O重合，因此折痕CD垂直平分线段MO。要求弦CD的长度，结合圆的性质，可连接OC构造直角三角形，利用垂径定理可知CD=2CE，再通过勾股定理计算CE的长度即可得到CD的长。
【解析】
解：连接MO交CD于点E，连接OC。
由折叠的性质可得：CD垂直平分MO，因此MO⊥CD，且$OE=\frac{1}{2}MO$。
已知半圆的半径为2cm，因此$OC=MO=2\mathrm{cm}$，则$OE=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
因此$CD=2CE=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠的性质与圆的相关计算，解题的关键是利用折叠性质得到折痕与半径的位置关系，构造直角三角形求解，是圆的应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类问题首先考虑折叠的性质：折痕是对应点连线的垂直平分线。本题中对折后点M与O重合，因此折痕CD垂直平分线段MO。要求弦CD的长度，结合圆的性质，可连接OC构造直角三角形，利用垂径定理可知CD=2CE，再通过勾股定理计算CE的长度即可得到CD的长。
【解析】
解：连接MO交CD于点E，连接OC。
由折叠的性质可得：CD垂直平分MO，因此MO⊥CD，且$OE=\frac{1}{2}MO$。
已知半圆的半径为2cm，因此$OC=MO=2\mathrm{cm}$，则$OE=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
因此$CD=2CE=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠的性质与圆的相关计算，解题的关键是利用折叠性质得到折痕与半径的位置关系，构造直角三角形求解，是圆的应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3.数学活动课上,同学们要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径。小明的解决方案:在工件的圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD,交AB于点D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测得$AB=16\ \mathrm{cm},CD=4\ \mathrm{cm}$,则该圆形工件的半径为cm。
答案
解：设该圆形工件的圆心为O，半径为r cm，连接OA。
∵CD垂直平分AB，AB=16 cm，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{cm}$，且圆心O在直线CD上。
∴$OD = OC - CD = (r - 4)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
即 $r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$
展开得 $r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$
整理得 $8r = 80$
解得 $r=10$
所以该圆形工件的半径为$\boldsymbol{10}$ cm。
∵CD垂直平分AB，AB=16 cm，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{cm}$，且圆心O在直线CD上。
∴$OD = OC - CD = (r - 4)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
即 $r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$
展开得 $r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$
整理得 $8r = 80$
解得 $r=10$
所以该圆形工件的半径为$\boldsymbol{10}$ cm。
解析
【分析】
遇到残缺圆求半径的问题，我们可以利用垂径定理的相关结论：弦的垂直平分线经过圆心来解题。首先设该圆的圆心为O，半径为r cm，连接OA；根据CD是AB的垂直平分线，可知AD为AB长度的一半，且圆心O在直线CD上，即可用r表示出OD的长度；此时△OAD是直角三角形，结合勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
设该圆形工件的圆心为O，半径为r cm，连接OA。
∵CD垂直平分AB，AB=16 cm，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{cm}$，且圆心O在直线CD上。
∴$OD = OC - CD = (r - 4)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
即 $r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$
展开得 $r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$
整理得 $8r = 80$
解得 $r=10$
【答案】
10
【知识点】
垂径定理、勾股定理、一元一次方程应用
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，常用于解决残缺圆的半径求解问题，解题关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质构造直角三角形，将几何问题转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
遇到残缺圆求半径的问题，我们可以利用垂径定理的相关结论：弦的垂直平分线经过圆心来解题。首先设该圆的圆心为O，半径为r cm，连接OA；根据CD是AB的垂直平分线，可知AD为AB长度的一半，且圆心O在直线CD上，即可用r表示出OD的长度；此时△OAD是直角三角形，结合勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
设该圆形工件的圆心为O，半径为r cm，连接OA。
∵CD垂直平分AB，AB=16 cm，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=8\ \mathrm{cm}$，且圆心O在直线CD上。
∴$OD = OC - CD = (r - 4)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
即 $r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$
展开得 $r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$
整理得 $8r = 80$
解得 $r=10$
【答案】
10
【知识点】
垂径定理、勾股定理、一元一次方程应用
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，常用于解决残缺圆的半径求解问题，解题关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质构造直角三角形，将几何问题转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 如图，在$7×7$的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点。A，B，C三点均是格点。
(1)请你画出经过A，B，C三点的圆的圆心O。
(2)请你在$\overset{\frown}{AB}$上作点D，使$AD=AC$。
(1)请你画出经过A，B，C三点的圆的圆心O。
(2)请你在$\overset{\frown}{AB}$上作点D，使$AD=AC$。
答案
解：
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O。
(2) 以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，该弧与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为所求的点D。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O。
(2) 以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，该弧与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为所求的点D。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
解析
【分析】
(1) 要确定过A、B、C三点的圆的圆心，根据圆的性质，圆心到圆上各点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此只要作出弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是到A、B、C三点距离相等的点，即所求圆心O。
(2) 要得到$\overset{\frown}{AB}$上满足$AD=AC$的点D，根据圆的定义，到定点A的距离等于定长AC的所有点都在以A为圆心、AC长为半径的圆上，因此该圆与$\overset{\frown}{AB}$的交点就同时满足两个条件，即为所求的点D。
【解析】
(1) ①借助网格特点，分别作出线段AB的垂直平分线、线段AC的垂直平分线；②两条垂直平分线的交点即为圆心O。
(2) ①用圆规量取线段AC的长度，以点A为圆心，AC长为半径画弧；②找到该弧与$\overset{\frown}{AB}$的交点，即为所求的点D。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
【答案】
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O。
(2) 以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，该弧与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为所求的点D。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
【知识点】
线段垂直平分线性质，圆心的确定，圆的定义
【点评】
本题是基础作图类题目，核心考查圆相关的基本作图规则，解题时只要熟练掌握垂直平分线的性质和圆的定义，结合网格的特征就能快速完成作图。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定过A、B、C三点的圆的圆心，根据圆的性质，圆心到圆上各点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此只要作出弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是到A、B、C三点距离相等的点，即所求圆心O。
(2) 要得到$\overset{\frown}{AB}$上满足$AD=AC$的点D，根据圆的定义，到定点A的距离等于定长AC的所有点都在以A为圆心、AC长为半径的圆上，因此该圆与$\overset{\frown}{AB}$的交点就同时满足两个条件，即为所求的点D。
【解析】
(1) ①借助网格特点，分别作出线段AB的垂直平分线、线段AC的垂直平分线；②两条垂直平分线的交点即为圆心O。
(2) ①用圆规量取线段AC的长度，以点A为圆心，AC长为半径画弧；②找到该弧与$\overset{\frown}{AB}$的交点，即为所求的点D。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
【答案】
(1) 分别作线段AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O。
(2) 以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，该弧与$\overset{\frown}{AB}$的交点即为所求的点D。
（按上述步骤在网格中完成对应作图即可）
【知识点】
线段垂直平分线性质，圆心的确定，圆的定义
【点评】
本题是基础作图类题目，核心考查圆相关的基本作图规则，解题时只要熟练掌握垂直平分线的性质和圆的定义，结合网格的特征就能快速完成作图。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AD是$\odot O$的直径，BC是$\odot O$的弦，$AD ⊥ BC$，垂足为E，$BC=8$，$AD=10$。
(1)求OE的长。
(2)求$∠ B$的正弦值。
(1)求OE的长。
(2)求$∠ B$的正弦值。
答案
解：(1) 连接OB。
∵ AD是⊙O的直径，AD=10，
∴ ⊙O的半径OB=OA=5。
∵ AD⊥BC，BC=8，由垂径定理得：
BE = $\frac{1}{2}$BC = 4。
在Rt△OEB中，∠OEB=90°，由勾股定理：
OE = $\sqrt{OB^2 - BE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
(2) ∵ OA=5，OE=3，
∴ AE = OA + OE = 5 + 3 = 8。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
AB = $\sqrt{AE^2 + BE^2}$ = $\sqrt{8^2 + 4^2}$ = $4\sqrt{5}$，
∴ $\sin B$ = $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{8}{4\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上，(1) OE的长为3；(2) ∠B的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
∵ AD是⊙O的直径，AD=10，
∴ ⊙O的半径OB=OA=5。
∵ AD⊥BC，BC=8，由垂径定理得：
BE = $\frac{1}{2}$BC = 4。
在Rt△OEB中，∠OEB=90°，由勾股定理：
OE = $\sqrt{OB^2 - BE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
(2) ∵ OA=5，OE=3，
∴ AE = OA + OE = 5 + 3 = 8。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
AB = $\sqrt{AE^2 + BE^2}$ = $\sqrt{8^2 + 4^2}$ = $4\sqrt{5}$，
∴ $\sin B$ = $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{8}{4\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上，(1) OE的长为3；(2) ∠B的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
解析
【分析】
(1) 求OE的长时，OE位于直角△OEB中，因此先连接半径OB，首先根据直径长度求出圆的半径OB，再利用垂径定理得到BE的长度，最后通过勾股定理即可计算出OE的长度；(2) 求∠B的正弦值时，根据正弦的定义，在Rt△ABE中，∠B的正弦值等于它的对边AE与斜边AB的比值，因此先求出AE的长度，再用勾股定理算出AB的长度，最后计算比值并化简即可。
【解析】
(1) 连接OB。
∵ AD是$\odot O$的直径，$AD=10$，
∴ $\odot O$的半径$OB=OA=5$。
∵ $AD ⊥ BC$，$BC=8$，由垂径定理可得：
$BE = \frac{1}{2}BC = 4$。
在$Rt△ OEB$中，$∠ OEB=90°$，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
(2)
∵ $OA=5$，$OE=3$，
∴ $AE = OA + OE = 5 + 3 = 8$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，
$AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = 4\sqrt{5}$，
∴ $\sin B = \frac{AE}{AB} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $OE$的长为$3$；(2) $∠ B$的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合基础题，解题的核心是合理添加辅助线构造直角三角形，结合相关定理逐步推导计算即可，解题时注意三角函数比值需要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
(1) 求OE的长时，OE位于直角△OEB中，因此先连接半径OB，首先根据直径长度求出圆的半径OB，再利用垂径定理得到BE的长度，最后通过勾股定理即可计算出OE的长度；(2) 求∠B的正弦值时，根据正弦的定义，在Rt△ABE中，∠B的正弦值等于它的对边AE与斜边AB的比值，因此先求出AE的长度，再用勾股定理算出AB的长度，最后计算比值并化简即可。
【解析】
(1) 连接OB。
∵ AD是$\odot O$的直径，$AD=10$，
∴ $\odot O$的半径$OB=OA=5$。
∵ $AD ⊥ BC$，$BC=8$，由垂径定理可得：
$BE = \frac{1}{2}BC = 4$。
在$Rt△ OEB$中，$∠ OEB=90°$，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
(2)
∵ $OA=5$，$OE=3$，
∴ $AE = OA + OE = 5 + 3 = 8$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，
$AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = 4\sqrt{5}$，
∴ $\sin B = \frac{AE}{AB} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $OE$的长为$3$；(2) $∠ B$的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合基础题，解题的核心是合理添加辅助线构造直角三角形，结合相关定理逐步推导计算即可，解题时注意三角函数比值需要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
