11. 提升题 如图，已知点$A(-4,2)$，$B(n,-4)$是一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象的两个交点。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式。
(2)不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＞0$的解集为________。
(3)若$P$为$x$轴负半轴上一点，且$S_{△ AOP}=S_{△ AOB}$，请仅用无刻度的直尺作出点$P$，并直接写出点$P$的坐标。

解：(1) 将点$A(-4,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，得
$2=\dfrac{m}{-4}$，解得$m=-8$，
因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{8}{x}}$。
将点$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，得
$-4=-\dfrac{8}{n}$，解得$n=2$，即$B(2,-4)$。
将$A(-4,2)$、$B(2,-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得
$\begin{cases}-4k + b = 2 \\2k + b = -4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=-2 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x-2}$。
(2) 不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＞0$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方对应的自变量取值范围，结合两个交点坐标，可得解集为$\boldsymbol{x＜-4或0＜x＜2}$。
(3) 作图：连接AB，交x轴于点$C(-2,0)$，在x轴负半轴上取点P，使$OP=6$，点P即为所求。
点P的坐标为$\boldsymbol{(-6,0)}$。

【分析】
(1) 求解函数表达式用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数m，先将已知点A坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数表达式；再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，得到B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，即可得到一次函数表达式。
(2) 不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＞0$等价于$kx+b＞\dfrac{m}{x}$，几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集，注意反比例函数自变量x不能为0。
(3) 先求$△ AOB$的面积：先找到一次函数与x轴的交点，将$△ AOB$拆分为两个同底的小三角形计算面积；$△ AOP$以OP为底，高为点A纵坐标的绝对值，根据面积相等求出OP的长度，结合P在x轴负半轴即可得到P点坐标，作图时先找到AB与x轴的交点，再根据OP长度确定P点位置。
【解析】
(1) ① 求反比例函数表达式：
将点$A(-4,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$2=\dfrac{m}{-4}$，解得$m=-8$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$。
② 求点B坐标：
将$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，得$-4=-\dfrac{8}{n}$，解得$n=2$，即$B(2,-4)$。
③ 求一次函数表达式：
将$A(-4,2)$、$B(2,-4)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-4k + b = 2 \\2k + b = -4 \end{cases}$，
两式相减消去b得$-6k=6$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-4k + b = 2$，得$4+b=2$，解得$b=-2$，
因此一次函数的表达式为$y=-x-2$。
(2) 不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＞0$即一次函数值大于反比例函数值，结合图象交点$A(-4,2)$、$B(2,-4)$，可得解集为$x＜-4$或$0＜x＜2$。
(3) 先求$△ AOB$面积：一次函数$y=-x-2$与x轴交点为$C(-2,0)$，$OC=2$，
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=6$。
设$P(p,0)$（$p＜0$），则$OP=-p$，$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}×(-p)×2=-p$，
由$S_{△ AOP}=S_{△ AOB}$得$-p=6$，解得$p=-6$。
作图：连接AB，交x轴于点$C(-2,0)$，在x轴负半轴上取点P，使$OP=6$，点P即为所求。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{8}{x}}$；
(2) $\boldsymbol{x＜-4或0＜x＜2}$；
(3) 点P坐标为$\boldsymbol{(-6,0)}$，作图见解析。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了函数解析式求解的基础方法，也考查了数形结合思想、面积公式的灵活应用，需要熟练掌握两类函数的性质，提升问题转化和读图分析能力。
【难度系数】
0.6

12. 提升题▶如图，等边三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，且$AC⊥x$轴。已知$S_{△ ABC}=\sqrt{3}$。
(1)求该反比例函数的表达式。
(2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

解：(1) 设等边$△ ABC$的边长为$a$，
由等边三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}$，
解得$a^2=4$，即$a=2$（边长为正数），
$\therefore AC=BC=AB=2$。
$\because AC⊥ x$轴，$\therefore ∠ OAC=90°$，
又$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ OAB=90°-60°=30°$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=2$，$∠ AOB=90°$，$∠ OAB=30°$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=1$，$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore$ 点$A$坐标为$(\sqrt{3},0)$，点$C$坐标为$(\sqrt{3},2)$。
将$C(\sqrt{3},2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，
$\therefore$ 该反比例函数的表达式为$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}(x＞0)$。
(2) 存在满足条件的点$N$。
若四边形$ABCN$是菱形，则$AN// BC$，$CN// AB$，且$AN=CN=AB=BC=2$。
已知点$A(\sqrt{3},0)$，$B(0,1)$，$C(\sqrt{3},2)$，
点$B$向右平移$\sqrt{3}$个单位、向上平移1个单位得到点$C$，
将点$A$按相同规则平移，得点$N$的坐标为$(\sqrt{3}+\sqrt{3},0+1)$，即$(2\sqrt{3},1)$。
验证：将$x=2\sqrt{3}$代入$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$，得$y=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1$，
$\therefore$ 点$N(2\sqrt{3},1)$在反比例函数$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象上，符合要求。
综上，存在点$N$，坐标为$(2\sqrt{3},1)$。

【分析】
(1) 求反比例函数表达式需要先确定图象上点C的坐标。首先利用等边三角形的面积公式求出三角形的边长，再结合AC垂直x轴的条件推导出∠OAB的度数，在Rt△AOB中计算出OA、OB的长度，进而得到点A和点C的坐标，最后将点C坐标代入反比例函数解析式求出k值即可。
(2) 判断是否存在点N使四边形ABCN是菱形，根据菱形对边平行且相等、四边相等的性质，可按照点B到点C的平移规则平移点A得到点N的坐标，再验证该点是否在反比例函数图象上即可。
【解析】
(1) 设等边$△ ABC$的边长为$a$，
由等边三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}$，
解得$a^2=4$，即$a=2$（边长为正数），
$\therefore AC=BC=AB=2$。
$\because AC⊥ x$轴，$\therefore ∠ OAC=90°$，
又$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ OAB=90°-60°=30°$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=2$，$∠ AOB=90°$，$∠ OAB=30°$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=1$，$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore$ 点$A$坐标为$(\sqrt{3},0)$，点$C$坐标为$(\sqrt{3},2)$。
将$C(\sqrt{3},2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，
$\therefore$ 该反比例函数的表达式为$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}(x＞0)$。
(2) 存在满足条件的点$N$。
若四边形$ABCN$是菱形，则$AN// BC$，$CN// AB$，且$AN=CN=AB=BC=2$。
已知点$A(\sqrt{3},0)$，$B(0,1)$，$C(\sqrt{3},2)$，
点$B$向右平移$\sqrt{3}$个单位、向上平移1个单位得到点$C$，
将点$A$按相同规则平移，得点$N$的坐标为$(\sqrt{3}+\sqrt{3},0+1)$，即$(2\sqrt{3},1)$。
验证：将$x=2\sqrt{3}$代入$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$，得$y=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1$，
$\therefore$ 点$N(2\sqrt{3},1)$在反比例函数$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象上，符合要求。
【答案】
(1) $y=\frac{2\sqrt{3}}{x}(x＞0)$；(2) 存在，点$N$的坐标为$(2\sqrt{3},1)$
【知识点】
反比例函数的性质、等边三角形的性质、菱形的判定与性质
【点评】
本题结合了反比例函数与几何图形的性质，既考查了待定系数法求函数解析式，也考查了坐标与图形平移的规律，需要学生熟练掌握几何图形的性质，具备较好的数形结合能力。
【难度系数】
0.6