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7.提升题如图,直线$y=2x$与直线$y=2x-6$分别交函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象于点$A,B$,则以$A,O,B$为顶点的三角形的面积是。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要计算△AOB的面积，首先观察到直线$y=2x$和$y=2x-6$的k值相同，两直线互相平行，根据平行线间距离处处相等的性质，可以将△AOB的面积转化为同底等高的△AOC的面积（C为直线$y=2x-6$与x轴的交点），简化计算。步骤如下：1. 联立$y=2x$和反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的解析式，求出点A的坐标；2. 求出直线$y=2x-6$与x轴的交点C的坐标；3. 计算△AOC的面积，即为△AOB的面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=\dfrac{2}{x}(x＞0) \end{cases}$，将$y=2x$代入$y=\dfrac{2}{x}$得：
$2x=\dfrac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，
∵$x＞0$，
∴$x=1$，代入$y=2x$得$y=2$，即$A(1,2)$。
2. 求直线$y=2x-6$与x轴的交点C：
令$y=0$，得$2x-6=0$，解得$x=3$，即$C(3,0)$，$OC=3$。
3. 转化面积：
∵直线$y=2x$和$y=2x-6$的斜率均为2，
∴两直线平行，
∴点B到直线OA（$y=2x$）的距离等于点C到直线OA的距离，
∴△AOB和△AOC以OA为底时，高相等，面积相等。
4. 计算△AOC的面积：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OC × \mathrm{点A的纵坐标}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$，
∴$S_{△ AOB}=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
函数交点计算，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题利用平行线间距离相等的性质将不易直接计算的三角形面积转化为易求的三角形面积，避免了复杂的坐标计算，是一次函数与反比例函数综合题中常用的面积计算技巧，需要掌握这类转化思想。
【难度系数】
0.6
要计算△AOB的面积，首先观察到直线$y=2x$和$y=2x-6$的k值相同，两直线互相平行，根据平行线间距离处处相等的性质，可以将△AOB的面积转化为同底等高的△AOC的面积（C为直线$y=2x-6$与x轴的交点），简化计算。步骤如下：1. 联立$y=2x$和反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的解析式，求出点A的坐标；2. 求出直线$y=2x-6$与x轴的交点C的坐标；3. 计算△AOC的面积，即为△AOB的面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=\dfrac{2}{x}(x＞0) \end{cases}$，将$y=2x$代入$y=\dfrac{2}{x}$得：
$2x=\dfrac{2}{x}$，整理得$x^2=1$，
∵$x＞0$，
∴$x=1$，代入$y=2x$得$y=2$，即$A(1,2)$。
2. 求直线$y=2x-6$与x轴的交点C：
令$y=0$，得$2x-6=0$，解得$x=3$，即$C(3,0)$，$OC=3$。
3. 转化面积：
∵直线$y=2x$和$y=2x-6$的斜率均为2，
∴两直线平行，
∴点B到直线OA（$y=2x$）的距离等于点C到直线OA的距离，
∴△AOB和△AOC以OA为底时，高相等，面积相等。
4. 计算△AOC的面积：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OC × \mathrm{点A的纵坐标}=\dfrac{1}{2}×3×2=3$，
∴$S_{△ AOB}=3$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
函数交点计算，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题利用平行线间距离相等的性质将不易直接计算的三角形面积转化为易求的三角形面积，避免了复杂的坐标计算，是一次函数与反比例函数综合题中常用的面积计算技巧，需要掌握这类转化思想。
【难度系数】
0.6
8.已知反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$。将$x=\dfrac{2}{3}$代入该函数的表达式中，所得函数值记为$y_1$；将$x=y_1+1$代入该函数的表达式中，所得函数值记为$y_2$；将$x=y_2+1$代入该函数的表达式中，所得函数值记为$y_3$……按此规律继续下去，则$y_{2026}=$。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$
解析
【分析】
本题是反比例函数与周期规律结合的题型，解题思路如下：①先按照题目给定的代入规则，依次计算前若干个函数值，观察数值变化规律，找到循环周期；②用所求项的序数2026除以循环周期，根据余数判断$y_{2026}$对应周期内的第几个值，即可求出结果。
【解析】
第一步：计算前几个函数值，找周期：
1. 当$x=\dfrac{2}{3}$时，$y_1=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
2. 当$x=y_1+1=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$时，$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2$；
3. 当$x=y_2+1=2+1=3$时，$y_3=-\dfrac{1}{3}$；
4. 当$x=y_3+1=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}$时，$y_4=-\dfrac{3}{2}=y_1$，由此可知函数值每3个为一个循环，循环组为：$-\dfrac{3}{2},2,-\dfrac{1}{3}$。
第二步：计算2026除以周期的余数：
$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$对应循环组的第1个值。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值、周期规律探究
【点评】
本题核心是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数定位所求项的数值，计算时要注意符号运算，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数与周期规律结合的题型，解题思路如下：①先按照题目给定的代入规则，依次计算前若干个函数值，观察数值变化规律，找到循环周期；②用所求项的序数2026除以循环周期，根据余数判断$y_{2026}$对应周期内的第几个值，即可求出结果。
【解析】
第一步：计算前几个函数值，找周期：
1. 当$x=\dfrac{2}{3}$时，$y_1=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
2. 当$x=y_1+1=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$时，$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2$；
3. 当$x=y_2+1=2+1=3$时，$y_3=-\dfrac{1}{3}$；
4. 当$x=y_3+1=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}$时，$y_4=-\dfrac{3}{2}=y_1$，由此可知函数值每3个为一个循环，循环组为：$-\dfrac{3}{2},2,-\dfrac{1}{3}$。
第二步：计算2026除以周期的余数：
$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$y_{2026}$对应循环组的第1个值。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数求值、周期规律探究
【点评】
本题核心是通过计算前几项找到循环周期，再利用余数定位所求项的数值，计算时要注意符号运算，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
三、解答题
9.如图,已知一次函数 $y=k_1x+b$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象相交于第一象限内的点 $A(1,6)$ 和点 $B(6,m)$,与 $x$ 轴相交于点 $C$。
(1)分别求出这两个函数的表达式。
(2)在 $y$ 轴右侧坐标平面内,是否存在点 $P$,使得以 $O,A,C,P$ 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点 $P$ 的坐标;若不存在,请说明理由。
9.如图,已知一次函数 $y=k_1x+b$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象相交于第一象限内的点 $A(1,6)$ 和点 $B(6,m)$,与 $x$ 轴相交于点 $C$。
(1)分别求出这两个函数的表达式。
(2)在 $y$ 轴右侧坐标平面内,是否存在点 $P$,使得以 $O,A,C,P$ 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点 $P$ 的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解：
(1) 将点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得：
$6=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=6$，
因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
将点$B(6,m)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{6}=1$，即$B(6,1)$。
将$A(1,6)$、$B(6,1)$代入一次函数$y=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + b = 6 \\6k_1 + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-1 \\b=7 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$。
(2) 存在，符合条件的点$P$的坐标为$(6,-6)$和$(8,6)$。
(1) 将点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得：
$6=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=6$，
因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
将点$B(6,m)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{6}=1$，即$B(6,1)$。
将$A(1,6)$、$B(6,1)$代入一次函数$y=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + b = 6 \\6k_1 + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-1 \\b=7 \end{cases}$，
因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$。
(2) 存在，符合条件的点$P$的坐标为$(6,-6)$和$(8,6)$。
解析
【分析】
(1) 求解两个函数表达式采用待定系数法：首先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例系数$k_2$即可得到反比例函数表达式；再将点B代入已求出的反比例函数，得到m的值确定B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，列二元一次方程组求解一次函数的系数，即可得到一次函数表达式。
(2) 先求出一次函数与x轴交点C的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分的性质（即两组对角顶点的中点坐标重合），分三种情况讨论对角线的组合，结合“y轴右侧”即点P横坐标大于0的限定条件，筛选出符合要求的P点坐标即可。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
① 将点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得$6=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=6$，因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
② 将点$B(6,m)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{6}=1$，即点B的坐标为$(6,1)$。
③ 将$A(1,6)$、$B(6,1)$代入一次函数$y=k_1x+b$，得到方程组：
$\begin{cases}k_1 + b = 6 \\6k_1 + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$5k_1=-5$，解得$k_1=-1$，将$k_1=-1$代入$k_1 + b = 6$，得$b=7$，因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$。
(2) 求点P的坐标：
首先求点C坐标：一次函数$y=-x+7$与x轴相交时$y=0$，代入得$0=-x+7$，解得$x=7$，即$C(7,0)$。
已知$O(0,0)$、$A(1,6)$、$C(7,0)$，设$P(x,y)$，以这四个点为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：
① 若AC为平行四边形的对角线，则AC与OP互相平分，AC的中点坐标为$(\frac{1+7}{2},\frac{6+0}{2})=(4,3)$，因此OP的中点也为$(4,3)$，解得$x=8$，$y=6$，即$P(8,6)$，横坐标大于0，符合y轴右侧的要求。
② 若OC为平行四边形的对角线，则OC与AP互相平分，OC的中点坐标为$(\frac{0+7}{2},\frac{0+0}{2})=(3.5,0)$，因此AP的中点也为$(3.5,0)$，解得$x=6$，$y=-6$，即$P(6,-6)$，横坐标大于0，符合要求。
③ 若OA为平行四边形的对角线，计算得点P横坐标为$-6$，不符合y轴右侧的要求，舍去。
综上，符合条件的点P存在。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(6,-6)}$和$\boldsymbol{(8,6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点问题；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了一次函数、反比例函数的基本性质和平行四边形的存在性问题，第一问属于基础题型，熟练掌握待定系数法即可求解；第二问需要结合平行四边形的性质分类讨论，注意题干中“y轴右侧”的限定条件，避免出现多余的解，对分类讨论思想和数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求解两个函数表达式采用待定系数法：首先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例系数$k_2$即可得到反比例函数表达式；再将点B代入已求出的反比例函数，得到m的值确定B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，列二元一次方程组求解一次函数的系数，即可得到一次函数表达式。
(2) 先求出一次函数与x轴交点C的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分的性质（即两组对角顶点的中点坐标重合），分三种情况讨论对角线的组合，结合“y轴右侧”即点P横坐标大于0的限定条件，筛选出符合要求的P点坐标即可。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
① 将点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得$6=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=6$，因此反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
② 将点$B(6,m)$代入$y=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{6}=1$，即点B的坐标为$(6,1)$。
③ 将$A(1,6)$、$B(6,1)$代入一次函数$y=k_1x+b$，得到方程组：
$\begin{cases}k_1 + b = 6 \\6k_1 + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$5k_1=-5$，解得$k_1=-1$，将$k_1=-1$代入$k_1 + b = 6$，得$b=7$，因此一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$。
(2) 求点P的坐标：
首先求点C坐标：一次函数$y=-x+7$与x轴相交时$y=0$，代入得$0=-x+7$，解得$x=7$，即$C(7,0)$。
已知$O(0,0)$、$A(1,6)$、$C(7,0)$，设$P(x,y)$，以这四个点为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：
① 若AC为平行四边形的对角线，则AC与OP互相平分，AC的中点坐标为$(\frac{1+7}{2},\frac{6+0}{2})=(4,3)$，因此OP的中点也为$(4,3)$，解得$x=8$，$y=6$，即$P(8,6)$，横坐标大于0，符合y轴右侧的要求。
② 若OC为平行四边形的对角线，则OC与AP互相平分，OC的中点坐标为$(\frac{0+7}{2},\frac{0+0}{2})=(3.5,0)$，因此AP的中点也为$(3.5,0)$，解得$x=6$，$y=-6$，即$P(6,-6)$，横坐标大于0，符合要求。
③ 若OA为平行四边形的对角线，计算得点P横坐标为$-6$，不符合y轴右侧的要求，舍去。
综上，符合条件的点P存在。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+7}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(6,-6)}$和$\boldsymbol{(8,6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点问题；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查了一次函数、反比例函数的基本性质和平行四边形的存在性问题，第一问属于基础题型，熟练掌握待定系数法即可求解；第二问需要结合平行四边形的性质分类讨论，注意题干中“y轴右侧”的限定条件，避免出现多余的解，对分类讨论思想和数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
10.如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来。在中点O的左侧悬挂一个物体,在中点O的右侧悬挂一个弹簧秤并竖直向下拉,使木杆保持水平。根据杠杆原理,若木杆保持水平,当物体与中点O的距离保持不变时,弹簧秤的示数y(单位:N)是弹簧秤与中点O的距离x(单位:cm)的反比例函数。已知当x=20时,y=30。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)移动弹簧秤的位置,若木杆仍处于水平状态,求弹簧秤的示数y的最小值。
(3)若弹簧秤的最大量程是100 N,求x的取值范围。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)移动弹簧秤的位置,若木杆仍处于水平状态,求弹簧秤的示数y的最小值。
(3)若弹簧秤的最大量程是100 N,求x的取值范围。
答案
解：
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=20$，$y=30$代入表达式，得
$30=\frac{k}{20}$，
解得$k=600$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{600}{x}$。
(2) 木杆总长100cm，O是木杆中点，因此弹簧秤与O点的最大距离为50cm，即自变量x满足$0＜x≤50$。
在$y=\frac{600}{x}$中，$k=600＞0$，当$0＜x≤50$时，y随x的增大而减小，
所以当$x=50$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=\frac{600}{50}=12$。
即弹簧秤的示数y的最小值为12N。
(3) 由弹簧秤最大量程为100N，得$y≤100$，即$\frac{600}{x}≤100$。
因为$x＞0$，不等式两边同乘x得$600≤100x$，
解得$x≥6$，
结合$0＜x≤50$，可得x的取值范围是$6≤ x≤50$。
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=20$，$y=30$代入表达式，得
$30=\frac{k}{20}$，
解得$k=600$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{600}{x}$。
(2) 木杆总长100cm，O是木杆中点，因此弹簧秤与O点的最大距离为50cm，即自变量x满足$0＜x≤50$。
在$y=\frac{600}{x}$中，$k=600＞0$，当$0＜x≤50$时，y随x的增大而减小，
所以当$x=50$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=\frac{600}{50}=12$。
即弹簧秤的示数y的最小值为12N。
(3) 由弹簧秤最大量程为100N，得$y≤100$，即$\frac{600}{x}≤100$。
因为$x＞0$，不等式两边同乘x得$600≤100x$，
解得$x≥6$，
结合$0＜x≤50$，可得x的取值范围是$6≤ x≤50$。
解析
【分析】
(1) 题目明确y是x的反比例函数，先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，再将已知的x、y对应值代入，求出待定系数k即可得到函数表达式。
(2) 求y的最小值需先确定x的取值范围：木杆总长100cm，O是中点，因此弹簧秤到O点的最大距离为50cm，即$0＜x≤50$。再结合反比例函数的增减性：当$k＞0$时，在$x＞0$区间内y随x增大而减小，因此x取最大值时y最小，代入计算即可。
(3) 弹簧秤最大量程为100N，即$y≤100$，将函数表达式代入得到关于x的不等式，解不等式后结合x的实际取值范围，就能得到x的最终取值范围。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=20$，$y=30$代入表达式，得
$30=\frac{k}{20}$，
解得$k=600$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{600}{x}（x＞0）$。
(2) 木杆总长100cm，O是木杆中点，因此弹簧秤与O点的最大距离为50cm，即自变量x满足$0＜x≤50$。
在$y=\frac{600}{x}$中，$k=600＞0$，当$0＜x≤50$时，y随x的增大而减小，
所以当$x=50$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=\frac{600}{50}=12$。
即弹簧秤的示数y的最小值为12N。
(3) 由弹簧秤最大量程为100N，得$y≤100$，即$\frac{600}{x}≤100$。
因为$x＞0$，不等式两边同乘x得$600≤100x$，
解得$x≥6$，
结合$0＜x≤50$，可得x的取值范围是$6≤x≤50$。
【答案】
(1) $y=\frac{600}{x}（x＞0）$
(2) $12\mathrm{N}$
(3) $6≤x≤50$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合杠杆平衡的实际情境考查反比例函数相关知识，解题时需结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用反比例函数的性质和不等式求解对应问题，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确y是x的反比例函数，先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，再将已知的x、y对应值代入，求出待定系数k即可得到函数表达式。
(2) 求y的最小值需先确定x的取值范围：木杆总长100cm，O是中点，因此弹簧秤到O点的最大距离为50cm，即$0＜x≤50$。再结合反比例函数的增减性：当$k＞0$时，在$x＞0$区间内y随x增大而减小，因此x取最大值时y最小，代入计算即可。
(3) 弹簧秤最大量程为100N，即$y≤100$，将函数表达式代入得到关于x的不等式，解不等式后结合x的实际取值范围，就能得到x的最终取值范围。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=20$，$y=30$代入表达式，得
$30=\frac{k}{20}$，
解得$k=600$，
因此y关于x的函数表达式为$y=\frac{600}{x}（x＞0）$。
(2) 木杆总长100cm，O是木杆中点，因此弹簧秤与O点的最大距离为50cm，即自变量x满足$0＜x≤50$。
在$y=\frac{600}{x}$中，$k=600＞0$，当$0＜x≤50$时，y随x的增大而减小，
所以当$x=50$时，y取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=\frac{600}{50}=12$。
即弹簧秤的示数y的最小值为12N。
(3) 由弹簧秤最大量程为100N，得$y≤100$，即$\frac{600}{x}≤100$。
因为$x＞0$，不等式两边同乘x得$600≤100x$，
解得$x≥6$，
结合$0＜x≤50$，可得x的取值范围是$6≤x≤50$。
【答案】
(1) $y=\frac{600}{x}（x＞0）$
(2) $12\mathrm{N}$
(3) $6≤x≤50$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合杠杆平衡的实际情境考查反比例函数相关知识，解题时需结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用反比例函数的性质和不等式求解对应问题，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
