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一、选择题
1. 如图，$△ ABC$的三个顶点都在同一个圆上。将$△ ABC$绕点A顺时针旋转，得到$△ AB'C'$，点B,C的对应点分别为点$B'$,$C'$，且点$B'$恰好落在此圆上。若$∠ C=114°$,则$∠ BAB'=(\ )$
A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
(第1题) (第2题)
1. 如图，$△ ABC$的三个顶点都在同一个圆上。将$△ ABC$绕点A顺时针旋转，得到$△ AB'C'$，点B,C的对应点分别为点$B'$,$C'$，且点$B'$恰好落在此圆上。若$∠ C=114°$,则$∠ BAB'=(\ )$
A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
(第1题) (第2题)
答案
D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，结合△ABC是圆内接三角形、点B'落在原圆上的条件，可知A、C、B、B'四点共圆，利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠AB'B的度数；第二步，根据旋转的性质可得旋转前后对应边AB=AB'，推出△ABB'为等腰三角形，得到两个底角相等；第三步，利用三角形内角和定理即可求出旋转角∠BAB'的度数。
【解析】
解：
∵A、C、B、B'四点都在△ABC的外接圆上，即四边形ACB'B是圆内接四边形
∴∠ACB + ∠AB'B = 180°（圆内接四边形对角互补）
已知∠ACB=114°，代入得：
∠AB'B = 180° - 114° = 66°
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'
∴AB = AB'（旋转前后对应边相等）
∴△ABB'为等腰三角形，∠ABB' = ∠AB'B = 66°
根据三角形内角和为180°可得：
∠BAB' = 180° - ∠ABB' - ∠AB'B = 180° - 66° - 66° = 48°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆内接四边形性质 2. 旋转的性质 3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将圆、旋转、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是识别共圆点构成的圆内接四边形，再结合旋转得到的边角关系推导计算，需要学生熟练掌握各模块的基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，结合△ABC是圆内接三角形、点B'落在原圆上的条件，可知A、C、B、B'四点共圆，利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠AB'B的度数；第二步，根据旋转的性质可得旋转前后对应边AB=AB'，推出△ABB'为等腰三角形，得到两个底角相等；第三步，利用三角形内角和定理即可求出旋转角∠BAB'的度数。
【解析】
解：
∵A、C、B、B'四点都在△ABC的外接圆上，即四边形ACB'B是圆内接四边形
∴∠ACB + ∠AB'B = 180°（圆内接四边形对角互补）
已知∠ACB=114°，代入得：
∠AB'B = 180° - 114° = 66°
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'
∴AB = AB'（旋转前后对应边相等）
∴△ABB'为等腰三角形，∠ABB' = ∠AB'B = 66°
根据三角形内角和为180°可得：
∠BAB' = 180° - ∠ABB' - ∠AB'B = 180° - 66° - 66° = 48°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆内接四边形性质 2. 旋转的性质 3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将圆、旋转、等腰三角形的性质结合考查，解题关键是识别共圆点构成的圆内接四边形，再结合旋转得到的边角关系推导计算，需要学生熟练掌握各模块的基础性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
2.如图，AB是$\odot O$的切线，B为切点，连接AO并延长，交$\odot O$于点C，连接BC。若$∠ C=20°$，则$∠ A=(\quad)$
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质，连接切点与圆心得到直角，再结合圆的半径相等推出等腰三角形得到等角，接着利用三角形外角的性质求出∠AOB的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。具体思考步骤：①看到切线，优先连接圆心和切点，得到垂直关系；②圆的半径相等，可得△OBC为等腰三角形，底角相等；③利用三角形外角等于不相邻两内角和算出∠AOB；④结合直角三角形两锐角和为90°，计算∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$，
∵OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ OBC=∠ C=20°$，
∵$∠ AOB$是$△ BOC$的外角，
∴$∠ AOB=∠ C+∠ OBC=20°+20°=40°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A+∠ AOB=90°$，
∴$∠ A=90°-40°=50°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，结合三角形相关角度关系进行推导，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用切线的性质，连接切点与圆心得到直角，再结合圆的半径相等推出等腰三角形得到等角，接着利用三角形外角的性质求出∠AOB的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠A的度数。具体思考步骤：①看到切线，优先连接圆心和切点，得到垂直关系；②圆的半径相等，可得△OBC为等腰三角形，底角相等；③利用三角形外角等于不相邻两内角和算出∠AOB；④结合直角三角形两锐角和为90°，计算∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$，
∵OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴$∠ OBC=∠ C=20°$，
∵$∠ AOB$是$△ BOC$的外角，
∴$∠ AOB=∠ C+∠ OBC=20°+20°=40°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A+∠ AOB=90°$，
∴$∠ A=90°-40°=50°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是熟练掌握切线的性质，结合三角形相关角度关系进行推导，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3.如图,在水平桌面上,将一块含$30°$角的直角三角尺$ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转到$△ A'B'C$的位置。若$AB$的长为$30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,则顶点$B$从开始到结束经过的路径长为()
A.$20π\ \mathrm{cm}$
B.$30π\ \mathrm{cm}$
C.$20\sqrt{3}π\ \mathrm{cm}$
D.$40π\ \mathrm{cm}$
A.$20π\ \mathrm{cm}$
B.$30π\ \mathrm{cm}$
C.$20\sqrt{3}π\ \mathrm{cm}$
D.$40π\ \mathrm{cm}$
答案
A
解析
【分析】
要计算顶点B经过的路径长，首先明确点B的运动轨迹是以点C为圆心、BC长为半径的圆弧，解题需分三步：①利用直角三角形的性质求出半径BC的长度；②结合旋转的性质和平角的定义，求出圆弧对应的圆心角（即旋转角）的度数；③代入弧长公式计算路径长度即可。
【解析】
已知△ABC是含30°角的直角三角尺，∠B=90°，∠A=30°，因此∠ACB=60°。
在Rt△ABC中，AB=30√3 cm，由$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AB}$得：
$BC = AB·\tan30° = 30\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 30\ \mathrm{cm}$。
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，即$∠ A'CB'=∠ ACB=60°$。
因为点B、C、A'在同一条直线上，平角为180°，因此旋转角$∠ BCB'=180°-∠ A'CB'=180°-60°=120°$。
点B经过的路径是圆心角为120°、半径$r=30\ \mathrm{cm}$的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$l=\frac{120×π×30}{180}=20π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，弧长计算，直角三角形的性质
【点评】
本题属于旋转与弧长计算结合的基础综合题，解题核心是准确判断动点的运动轨迹，找到圆弧对应的圆心角和半径，再代入公式求解即可。
【难度系数】
0.7
要计算顶点B经过的路径长，首先明确点B的运动轨迹是以点C为圆心、BC长为半径的圆弧，解题需分三步：①利用直角三角形的性质求出半径BC的长度；②结合旋转的性质和平角的定义，求出圆弧对应的圆心角（即旋转角）的度数；③代入弧长公式计算路径长度即可。
【解析】
已知△ABC是含30°角的直角三角尺，∠B=90°，∠A=30°，因此∠ACB=60°。
在Rt△ABC中，AB=30√3 cm，由$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AB}$得：
$BC = AB·\tan30° = 30\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 30\ \mathrm{cm}$。
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，即$∠ A'CB'=∠ ACB=60°$。
因为点B、C、A'在同一条直线上，平角为180°，因此旋转角$∠ BCB'=180°-∠ A'CB'=180°-60°=120°$。
点B经过的路径是圆心角为120°、半径$r=30\ \mathrm{cm}$的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$l=\frac{120×π×30}{180}=20π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，弧长计算，直角三角形的性质
【点评】
本题属于旋转与弧长计算结合的基础综合题，解题核心是准确判断动点的运动轨迹，找到圆弧对应的圆心角和半径，再代入公式求解即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图，A,B,C,D是$\odot O$上的四个点，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。若$∠ AOB=84°$，则$∠ ODC=$()
A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
A.$42°$
B.$44°$
C.$46°$
D.$48°$
答案
A
解析
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，∴$∠ COD=∠ AOB=84°$。
∵OC、OD是$\odot O$的半径，∴OC=OD，$△ OCD$为等腰三角形，
∴$∠ ODC=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-84°}{2}=42°$。
∵OC、OD是$\odot O$的半径，∴OC=OD，$△ OCD$为等腰三角形，
∴$∠ ODC=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-84°}{2}=42°$。
5. 提升题 如图，已知$\odot P$与$x$轴和$y$轴都相切，$OP$的延长线与$\odot P$相交于点$A$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$。若点$P$的坐标为$(1,1)$，则$k$的值为()
A.$\sqrt{2}+1$
B.$3$
C.$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
D.$3+\sqrt{2}$
A.$\sqrt{2}+1$
B.$3$
C.$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
D.$3+\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】解题时先从已知条件入手：首先由⊙P和x轴、y轴都相切，结合点P坐标可确定圆的半径，再判断直线OP的解析式，得到点A横纵坐标相等的特征；接着用勾股定理计算OP的长度，结合PA是半径得到OA的总长度；然后设出点A的坐标，利用勾股定理求出坐标值，最后代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
1. 确定基础量：已知点$P(1,1)$，$\odot P$与x轴、y轴都相切，因此$\odot P$的半径$r=1$；直线OP过原点和$(1,1)$，解析式为$y=x$，故点A的横、纵坐标相等。
2. 计算OA长度：由勾股定理得$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因为A在OP延长线且在$\odot P$上，$PA=r=1$，因此$OA=OP+PA=\sqrt{2}+1$。
3. 求点A坐标：设$A(a,a)\ (a＞0)$，由OA长度可得$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}+1$，化简得$a\sqrt{2}=\sqrt{2}+1$，解得$a=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$。
4. 计算k值：反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点A，故$k=a^2$，代入得：
$k=(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}})^2=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2}=\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$。
【答案】C
【知识点】切线的性质，反比例函数的坐标特征，勾股定理
【点评】本题是几何与函数的综合题，解题关键是抓住点A在第一象限角平分线上的特征，结合线段长度求出点A坐标，再代入反比例函数求解即可。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 确定基础量：已知点$P(1,1)$，$\odot P$与x轴、y轴都相切，因此$\odot P$的半径$r=1$；直线OP过原点和$(1,1)$，解析式为$y=x$，故点A的横、纵坐标相等。
2. 计算OA长度：由勾股定理得$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因为A在OP延长线且在$\odot P$上，$PA=r=1$，因此$OA=OP+PA=\sqrt{2}+1$。
3. 求点A坐标：设$A(a,a)\ (a＞0)$，由OA长度可得$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}+1$，化简得$a\sqrt{2}=\sqrt{2}+1$，解得$a=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$。
4. 计算k值：反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点A，故$k=a^2$，代入得：
$k=(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}})^2=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2}=\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$。
【答案】C
【知识点】切线的性质，反比例函数的坐标特征，勾股定理
【点评】本题是几何与函数的综合题，解题关键是抓住点A在第一象限角平分线上的特征，结合线段长度求出点A坐标，再代入反比例函数求解即可。
【难度系数】0.6
6. 如图，EF是$\odot O$的直径，正方形ABCD的边AB与$\odot O$相切于点E，CD是$\odot O$的弦，且与EF相交于点G。若$FG=4$，则$DG$的长为。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
首先根据切线的性质可得EF垂直AB，结合正方形对边平行的性质推出EF垂直CD，即可用垂径定理得到DG是CD的一半；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出OG、正方形边长、DG的长度，最后在直角三角形ODG中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OE=OF=r$，直径$EF=2r$。
$\because AB$与$\odot O$相切于点$E$，$\therefore EF⊥ AB$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，
$\therefore EF⊥ CD$，根据垂径定理可得$DG=CG=\frac{1}{2}CD$。
$\because FG=4$，$\therefore OG=OF-FG=r-4$，
正方形边长等于AB、CD的水平距离，即$CD=AB=EG=EF-FG=2r-4$，
$\therefore DG=\frac{1}{2}CD=r-2$。
在$Rt△ ODG$中，由勾股定理得：
$OD^2=OG^2+DG^2$，即$r^2=(r-4)^2+(r-2)^2$
展开整理得：$r^2-12r+20=0$
解得$r_1=10$，$r_2=2$（$r=2$时$OG$为负，不符合实际，舍去）
$\therefore DG=r-2=10-2=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合圆和正方形的性质考查几何计算，解题的关键是合理设未知数，利用几何关系表示线段长度，再通过勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据切线的性质可得EF垂直AB，结合正方形对边平行的性质推出EF垂直CD，即可用垂径定理得到DG是CD的一半；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出OG、正方形边长、DG的长度，最后在直角三角形ODG中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OE=OF=r$，直径$EF=2r$。
$\because AB$与$\odot O$相切于点$E$，$\therefore EF⊥ AB$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，
$\therefore EF⊥ CD$，根据垂径定理可得$DG=CG=\frac{1}{2}CD$。
$\because FG=4$，$\therefore OG=OF-FG=r-4$，
正方形边长等于AB、CD的水平距离，即$CD=AB=EG=EF-FG=2r-4$，
$\therefore DG=\frac{1}{2}CD=r-2$。
在$Rt△ ODG$中，由勾股定理得：
$OD^2=OG^2+DG^2$，即$r^2=(r-4)^2+(r-2)^2$
展开整理得：$r^2-12r+20=0$
解得$r_1=10$，$r_2=2$（$r=2$时$OG$为负，不符合实际，舍去）
$\therefore DG=r-2=10-2=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合圆和正方形的性质考查几何计算，解题的关键是合理设未知数，利用几何关系表示线段长度，再通过勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
7.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体已经过半，液体的最大深度$CD=8\ \mathrm{cm}$。当瓶内液体升高1 cm时，截面圆中弦AB的长减少了cm。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题是圆在实际场景中的应用问题，解题核心是运用垂径定理和勾股定理计算弦长。首先明确圆的半径为5cm，液体最大深度指液面到球形底部D的距离：第一步先根据初始液体深度算出圆心O到初始弦AB的距离，结合垂径定理和勾股定理求出初始AB的长度；第二步计算液面升高1cm后，圆心到新液面弦的距离，再次用垂径定理和勾股定理求出新的弦长；最后将两次弦长作差即可得到减少的长度。
【解析】
解：已知球形部分半径$OA=OD=5\ \mathrm{cm}$，
初始液体深度$CD=8\ \mathrm{cm}$，则圆心到弦$AB$的距离：
$OC=CD-OD=8-5=3\ \mathrm{cm}$
由垂径定理可知$CD⊥ AB$且$AB=2AC$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$
因此初始弦长$AB=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
液体升高$1\ \mathrm{cm}$后，液体深度变为$8+1=9\ \mathrm{cm}$，
此时圆心到新液面弦的距离为$9-5=4\ \mathrm{cm}$，
同理可得新弦长的一半为$\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，新弦长为$2×3=6\ \mathrm{cm}$。
则弦长减少了$8-6=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题关键是准确找到圆心到弦的距离，熟练运用垂径定理将弦长计算转化为直角三角形的边长计算即可，解题时要注意液面升高时圆心到弦的距离的变化规律。
【难度系数】
0.7
本题是圆在实际场景中的应用问题，解题核心是运用垂径定理和勾股定理计算弦长。首先明确圆的半径为5cm，液体最大深度指液面到球形底部D的距离：第一步先根据初始液体深度算出圆心O到初始弦AB的距离，结合垂径定理和勾股定理求出初始AB的长度；第二步计算液面升高1cm后，圆心到新液面弦的距离，再次用垂径定理和勾股定理求出新的弦长；最后将两次弦长作差即可得到减少的长度。
【解析】
解：已知球形部分半径$OA=OD=5\ \mathrm{cm}$，
初始液体深度$CD=8\ \mathrm{cm}$，则圆心到弦$AB$的距离：
$OC=CD-OD=8-5=3\ \mathrm{cm}$
由垂径定理可知$CD⊥ AB$且$AB=2AC$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$
因此初始弦长$AB=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
液体升高$1\ \mathrm{cm}$后，液体深度变为$8+1=9\ \mathrm{cm}$，
此时圆心到新液面弦的距离为$9-5=4\ \mathrm{cm}$，
同理可得新弦长的一半为$\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，新弦长为$2×3=6\ \mathrm{cm}$。
则弦长减少了$8-6=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关计算，解题关键是准确找到圆心到弦的距离，熟练运用垂径定理将弦长计算转化为直角三角形的边长计算即可，解题时要注意液面升高时圆心到弦的距离的变化规律。
【难度系数】
0.7
