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8.如图,以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心,以AC的长为半径作弧,得到$\overset{\frown}{CE}$。连接AC,AE。若正六边形的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,则$\overset{\frown}{CE}$的长为。
答案
解：
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ $AB=BC=CD=DE=EF=FA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，每个内角为$120°$，即$∠ ABC=∠ BAF=∠ AFE=120°$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴ $∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
同理可得$∠ FAE=30°$，
∴ $∠ CAE=∠ BAF-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$。
过点B作$BH⊥ AC$于点H，
则$AH=AB·\cos∠ BAC=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\cos30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，
∴ $AC=2AH=2$。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60$，$r=AC=2$，
得$\overset{\frown}{CE}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
$\frac{2π}{3}$
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ $AB=BC=CD=DE=EF=FA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，每个内角为$120°$，即$∠ ABC=∠ BAF=∠ AFE=120°$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴ $∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
同理可得$∠ FAE=30°$，
∴ $∠ CAE=∠ BAF-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$。
过点B作$BH⊥ AC$于点H，
则$AH=AB·\cos∠ BAC=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\cos30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，
∴ $AC=2AH=2$。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60$，$r=AC=2$，
得$\overset{\frown}{CE}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
$\frac{2π}{3}$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CE}$的长度，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可知需要先求出两个核心量：弧对应的圆心角$∠ CAE$的度数、半径$AC$的长度。第一步利用正六边形的性质：各边相等，每个内角均为$120°$，结合等腰三角形底角相等的特征，算出$∠ BAC$、$∠ FAE$的度数，进而得到圆心角$∠ CAE$的度数；第二步通过作等腰$△ ABC$底边上的高，利用三角函数求出$AC$的长度；最后将两个量代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ $AB=BC=CD=DE=EF=FA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，每个内角为$120°$，即$∠ ABC=∠ BAF=∠ AFE=120°$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴ $∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
同理可得$∠ FAE=30°$，
∴ $∠ CAE=∠ BAF-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$。
过点B作$BH⊥ AC$于点H，
则$AH=AB·\cos∠ BAC=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\cos30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，
由等腰三角形三线合一可得$AC=2AH=2$。
将$n=60$，$r=AC=2$代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
得$\overset{\frown}{CE}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}$
【知识点】
正六边形的性质、弧长计算、解直角三角形
【点评】
本题是基础几何综合题，重点考察正多边形性质与弧长公式的结合运用，解题关键是通过正六边形内角特征、等腰三角形性质求出圆心角，再通过解直角三角形得到半径，对学生的基础几何分析能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算$\overset{\frown}{CE}$的长度，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可知需要先求出两个核心量：弧对应的圆心角$∠ CAE$的度数、半径$AC$的长度。第一步利用正六边形的性质：各边相等，每个内角均为$120°$，结合等腰三角形底角相等的特征，算出$∠ BAC$、$∠ FAE$的度数，进而得到圆心角$∠ CAE$的度数；第二步通过作等腰$△ ABC$底边上的高，利用三角函数求出$AC$的长度；最后将两个量代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ $AB=BC=CD=DE=EF=FA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，每个内角为$120°$，即$∠ ABC=∠ BAF=∠ AFE=120°$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴ $∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
同理可得$∠ FAE=30°$，
∴ $∠ CAE=∠ BAF-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$。
过点B作$BH⊥ AC$于点H，
则$AH=AB·\cos∠ BAC=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\cos30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，
由等腰三角形三线合一可得$AC=2AH=2$。
将$n=60$，$r=AC=2$代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
得$\overset{\frown}{CE}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2π}{3}$
【知识点】
正六边形的性质、弧长计算、解直角三角形
【点评】
本题是基础几何综合题，重点考察正多边形性质与弧长公式的结合运用，解题关键是通过正六边形内角特征、等腰三角形性质求出圆心角，再通过解直角三角形得到半径，对学生的基础几何分析能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ ABC=90°$，$\tan ∠ ACB=\frac{1}{2}$，$AD=\frac{3}{2}AB$，连接$AC$，$BD$，两线交于点$E$，则$\frac{AE}{CE}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{11}}{22}}$
解析
【分析】
首先由∠ABC=90°结合圆周角定理推论可得AC是⊙O的直径，因此∠ADC=90°；接下来通过设参数的方式表示AB、BC、AD的长度，用勾股定理计算出AC、DC的长度；再利用同弧所对圆周角相等，找到两对相似三角形，分别得到BE与AE、BE与CE的数量关系，联立两个关系即可消去BE，求出AE与CE的比值。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，四边形ABCD内接于⊙O，
∴AC是⊙O的直径，∠ADC=90°。
设AB=2k（k＞0），
∵$\tan ∠ ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=4k。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+(4k)^2}=2\sqrt{5}k$。
∵$AD=\frac{3}{2}AB$，
∴$AD=\frac{3}{2}× 2k=3k$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5}k)^2-(3k)^2}=\sqrt{11}k$。
∵∠ADE和∠BCE都对应弧AB，∠DAE和∠CBE都对应弧DC，
∴∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$，即$BE=\frac{4}{3}AE$ ①。
∵∠ABE和∠DCE都对应弧AD，∠BAE和∠CDE都对应弧BC，
∴∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{DC}=\frac{2k}{\sqrt{11}k}=\frac{2}{\sqrt{11}}$，即$BE=\frac{2}{\sqrt{11}}CE$ ②。
联立①②得：$\frac{4}{3}AE=\frac{2}{\sqrt{11}}CE$，
整理得：$\frac{AE}{CE}=\frac{2}{\sqrt{11}}× \frac{3}{4}=\frac{3}{2\sqrt{11}}=\frac{3\sqrt{11}}{22}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{11}}{22}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题综合了圆的性质、相似三角形与勾股定理的应用，通过设参数表示边长、利用相似三角形建立线段关系的方法，能够简化计算，快速得到所求线段的比值，解题的关键是准确找到对应相似三角形。
【难度系数】
0.3
首先由∠ABC=90°结合圆周角定理推论可得AC是⊙O的直径，因此∠ADC=90°；接下来通过设参数的方式表示AB、BC、AD的长度，用勾股定理计算出AC、DC的长度；再利用同弧所对圆周角相等，找到两对相似三角形，分别得到BE与AE、BE与CE的数量关系，联立两个关系即可消去BE，求出AE与CE的比值。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，四边形ABCD内接于⊙O，
∴AC是⊙O的直径，∠ADC=90°。
设AB=2k（k＞0），
∵$\tan ∠ ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=4k。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+(4k)^2}=2\sqrt{5}k$。
∵$AD=\frac{3}{2}AB$，
∴$AD=\frac{3}{2}× 2k=3k$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5}k)^2-(3k)^2}=\sqrt{11}k$。
∵∠ADE和∠BCE都对应弧AB，∠DAE和∠CBE都对应弧DC，
∴∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$，即$BE=\frac{4}{3}AE$ ①。
∵∠ABE和∠DCE都对应弧AD，∠BAE和∠CDE都对应弧BC，
∴∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{DC}=\frac{2k}{\sqrt{11}k}=\frac{2}{\sqrt{11}}$，即$BE=\frac{2}{\sqrt{11}}CE$ ②。
联立①②得：$\frac{4}{3}AE=\frac{2}{\sqrt{11}}CE$，
整理得：$\frac{AE}{CE}=\frac{2}{\sqrt{11}}× \frac{3}{4}=\frac{3}{2\sqrt{11}}=\frac{3\sqrt{11}}{22}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{11}}{22}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题综合了圆的性质、相似三角形与勾股定理的应用，通过设参数表示边长、利用相似三角形建立线段关系的方法，能够简化计算，快速得到所求线段的比值，解题的关键是准确找到对应相似三角形。
【难度系数】
0.3
10. 提升题▶如图，在正方形ABCD中，连接AC，在AC上截取AE=AD，作△ADE的外接圆，分别交AB，CD于点F，G，连接DF，交AC于点M，连接EF。有下列结论：①$∠ DFE=45°$；② $DE = EF$；③ $S_{△ ACD} ＜ S_{\mathrm{四边形}ADEF}$；④$∠ EFB=∠ AFD$。其中正确的是________（填序号）。
答案
解：
1. 证明结论①：
在正方形ABCD中，∠DAC=45°，A、D、E、F四点共圆，∠DFE和∠DAE都是弧DE所对的圆周角，因此∠DFE=∠DAE=45°，①正确。
2. 证明结论②：
由∠DAE=∠EAF=45°，可知它们所对的弧DE和弧EF度数相等，同圆中等弧对等弦，因此DE=EF，②正确。
3. 分析结论③：
设正方形边长为a，通过坐标法结合鞋带公式计算可得$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}a^2$，四边形ADEF的面积也等于$\frac{1}{2}a^2$，即$S_{△ ACD}=S_{四边形ADEF}$，因此$S_{△ ACD}＜S_{四边形ADEF}$不成立，③错误。
4. 证明结论④：
由弧AD对应的圆周角∠AFD=67.5°，又∠AFE=112.5°，结合A-F-B共线，得∠EFB=180°-∠AFE=67.5°，因此∠EFB=∠AFD，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。
1. 证明结论①：
在正方形ABCD中，∠DAC=45°，A、D、E、F四点共圆，∠DFE和∠DAE都是弧DE所对的圆周角，因此∠DFE=∠DAE=45°，①正确。
2. 证明结论②：
由∠DAE=∠EAF=45°，可知它们所对的弧DE和弧EF度数相等，同圆中等弧对等弦，因此DE=EF，②正确。
3. 分析结论③：
设正方形边长为a，通过坐标法结合鞋带公式计算可得$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}a^2$，四边形ADEF的面积也等于$\frac{1}{2}a^2$，即$S_{△ ACD}=S_{四边形ADEF}$，因此$S_{△ ACD}＜S_{四边形ADEF}$不成立，③错误。
4. 证明结论④：
由弧AD对应的圆周角∠AFD=67.5°，又∠AFE=112.5°，结合A-F-B共线，得∠EFB=180°-∠AFE=67.5°，因此∠EFB=∠AFD，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
本题是正方形与圆结合的多结论判断题，解题时可结合正方形性质、圆周角相关定理逐一判断每个结论：1. 对于角度类结论①④，利用同弧所对圆周角相等、圆内接四边形对角互补的性质推导角度关系；2. 对于线段相等结论②，利用相等圆周角对应等弧，等弧对等弦的性质判断；3. 对于面积类结论③，可设正方形边长为参数，分别计算三角形和四边形面积比较大小。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，AC为对角线，因此∠DAC=∠CAB=45°，△ADE的外接圆交AB、CD于F、G，故A、D、E、F四点共圆。
1. 判断结论①：
∠DFE和∠DAE都是弧DE所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，因此∠DFE=∠DAE=45°，故①正确。
2. 判断结论②：
∠DAE=∠EAF=45°，两个角分别对应弧DE和弧EF，相等的圆周角对应相等的弧，因此弧DE=弧EF，同圆中等弧对等弦，故DE=EF，②正确。
3. 判断结论③：
设正方形边长为a，可得$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × a × a=\frac{1}{2}a^2$，通过面积计算可证四边形ADEF的面积也为$\frac{1}{2}a^2$，即$S_{△ ACD}=S_{四边形ADEF}$，因此$S_{△ ACD}＜S_{四边形ADEF}$不成立，③错误。
4. 判断结论④：
因为AD=AE，∠DAE=45°，所以$∠ AED=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，∠AFD和∠AED都是弧AD所对的圆周角，故∠AFD=∠AED=67.5°；又因为圆内接四边形对角互补，所以∠ADE+∠AFE=180°，得∠AFE=180°-67.5°=112.5°，结合A、F、B共线，$∠ EFB=180°-∠ AFE=180°-112.5°=67.5°$，因此∠EFB=∠AFD，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，等弧对等弦
【点评】
本题为几何综合类多结论判断题，需要灵活运用正方形、圆的相关性质逐一推导结论，对逻辑推理能力有一定要求，解题时注意结合图形分析角度、线段、面积的对应关系。
【难度系数】
0.6
本题是正方形与圆结合的多结论判断题，解题时可结合正方形性质、圆周角相关定理逐一判断每个结论：1. 对于角度类结论①④，利用同弧所对圆周角相等、圆内接四边形对角互补的性质推导角度关系；2. 对于线段相等结论②，利用相等圆周角对应等弧，等弧对等弦的性质判断；3. 对于面积类结论③，可设正方形边长为参数，分别计算三角形和四边形面积比较大小。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，AC为对角线，因此∠DAC=∠CAB=45°，△ADE的外接圆交AB、CD于F、G，故A、D、E、F四点共圆。
1. 判断结论①：
∠DFE和∠DAE都是弧DE所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，因此∠DFE=∠DAE=45°，故①正确。
2. 判断结论②：
∠DAE=∠EAF=45°，两个角分别对应弧DE和弧EF，相等的圆周角对应相等的弧，因此弧DE=弧EF，同圆中等弧对等弦，故DE=EF，②正确。
3. 判断结论③：
设正方形边长为a，可得$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × a × a=\frac{1}{2}a^2$，通过面积计算可证四边形ADEF的面积也为$\frac{1}{2}a^2$，即$S_{△ ACD}=S_{四边形ADEF}$，因此$S_{△ ACD}＜S_{四边形ADEF}$不成立，③错误。
4. 判断结论④：
因为AD=AE，∠DAE=45°，所以$∠ AED=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，∠AFD和∠AED都是弧AD所对的圆周角，故∠AFD=∠AED=67.5°；又因为圆内接四边形对角互补，所以∠ADE+∠AFE=180°，得∠AFE=180°-67.5°=112.5°，结合A、F、B共线，$∠ EFB=180°-∠ AFE=180°-112.5°=67.5°$，因此∠EFB=∠AFD，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，等弧对等弦
【点评】
本题为几何综合类多结论判断题，需要灵活运用正方形、圆的相关性质逐一推导结论，对逻辑推理能力有一定要求，解题时注意结合图形分析角度、线段、面积的对应关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 如图，已知点 E 在△ABC 的边 AB 上，∠C＝90°，以 AE 为直径的⊙O 与 BC 相切于点 D。
(1) 求证：AD 平分∠BAC。
(2) 已知∠B＝30°，AD＝2√3，求阴影部分的面积。
11. 如图，已知点 E 在△ABC 的边 AB 上，∠C＝90°，以 AE 为直径的⊙O 与 BC 相切于点 D。
(1) 求证：AD 平分∠BAC。
(2) 已知∠B＝30°，AD＝2√3，求阴影部分的面积。
答案
(1) 证明：
连接OD，
∵ BC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥BC，
又∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
∴ OD//AC，
∴ ∠ODA=∠DAC，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC。
(2) 解：
∵ ∠B=30°，∠C=90°，
∴ ∠BAC=60°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠DAC=30°，
∴ ∠B=∠BAD，
∴ BD=AD=2√3，
在Rt△BDO中，∠B=30°，OD⊥BC，
∴ ∠BOD=90°-∠B=60°，
由$\tan B=\frac{OD}{BD}$，即$\tan30°=\frac{OD}{2\sqrt{3}}$，
解得$OD=2$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × BD × OD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODE}=\frac{60π × OD^2}{360}=\frac{60π × 4}{360}=\frac{2π}{3}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BOD}-S_{\mathrm{扇形}ODE}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$。
答：阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$。
连接OD，
∵ BC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥BC，
又∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
∴ OD//AC，
∴ ∠ODA=∠DAC，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC。
(2) 解：
∵ ∠B=30°，∠C=90°，
∴ ∠BAC=60°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠DAC=30°，
∴ ∠B=∠BAD，
∴ BD=AD=2√3，
在Rt△BDO中，∠B=30°，OD⊥BC，
∴ ∠BOD=90°-∠B=60°，
由$\tan B=\frac{OD}{BD}$，即$\tan30°=\frac{OD}{2\sqrt{3}}$，
解得$OD=2$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × BD × OD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODE}=\frac{60π × OD^2}{360}=\frac{60π × 4}{360}=\frac{2π}{3}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BOD}-S_{\mathrm{扇形}ODE}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$。
答：阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明AD平分∠BAC，需证∠BAD=∠CAD。已知BC是⊙O的切线，首先连接切点与圆心OD，根据切线性质可得OD⊥BC；结合∠C=90°可知OD与AC都垂直于BC，因此OD//AC，可得内错角∠ODA=∠CAD；再根据同圆半径相等，OA=OD，推出∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到∠OAD=∠DAC，证明AD平分∠BAC。
(2) 阴影部分为不规则图形，可采用割补法，用△BOD的面积减去扇形ODE的面积求解。首先根据三角形内角和，由∠B=30°、∠C=90°算出∠BAC=60°，结合(1)的结论得∠BAD=∠DAC=30°，可得∠B=∠BAD，因此BD=AD；再在Rt△BOD中利用30°角的三角函数值求出OD的长度，分别计算△BOD的面积和圆心角为60°的扇形ODE的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 证明：
连接OD，
∵ BC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥BC，
又
∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
∴ OD//AC，
∴ ∠ODA=∠DAC，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC。
(2) 解：
∵ ∠B=30°，∠C=90°，
∴ ∠BAC=60°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠DAC=30°，
∴ ∠B=∠BAD，
∴ BD=AD=2√3，
在Rt△BDO中，∠B=30°，OD⊥BC，
∴ ∠BOD=90°-∠B=60°，
由$\tan B=\frac{OD}{BD}$，即$\tan30°=\frac{OD}{2\sqrt{3}}$，
解得$OD=2$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × BD × OD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODE}=\frac{60π × OD^2}{360}=\frac{60π × 4}{360}=\frac{2π}{3}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BOD}-S_{\mathrm{扇形}ODE}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) AD平分∠BAC，证明成立；
(2) 阴影部分的面积为$\boxed{2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}}$。
【知识点】
切线的性质，角平分线的判定，扇形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型考题，解题的核心是掌握“遇切线，连半径”的辅助线构造方法，第一问结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系；第二问运用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，同时需要熟练运用三角函数、扇形面积公式进行计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD平分∠BAC，需证∠BAD=∠CAD。已知BC是⊙O的切线，首先连接切点与圆心OD，根据切线性质可得OD⊥BC；结合∠C=90°可知OD与AC都垂直于BC，因此OD//AC，可得内错角∠ODA=∠CAD；再根据同圆半径相等，OA=OD，推出∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到∠OAD=∠DAC，证明AD平分∠BAC。
(2) 阴影部分为不规则图形，可采用割补法，用△BOD的面积减去扇形ODE的面积求解。首先根据三角形内角和，由∠B=30°、∠C=90°算出∠BAC=60°，结合(1)的结论得∠BAD=∠DAC=30°，可得∠B=∠BAD，因此BD=AD；再在Rt△BOD中利用30°角的三角函数值求出OD的长度，分别计算△BOD的面积和圆心角为60°的扇形ODE的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 证明：
连接OD，
∵ BC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥BC，
又
∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
∴ OD//AC，
∴ ∠ODA=∠DAC，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC。
(2) 解：
∵ ∠B=30°，∠C=90°，
∴ ∠BAC=60°，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠DAC=30°，
∴ ∠B=∠BAD，
∴ BD=AD=2√3，
在Rt△BDO中，∠B=30°，OD⊥BC，
∴ ∠BOD=90°-∠B=60°，
由$\tan B=\frac{OD}{BD}$，即$\tan30°=\frac{OD}{2\sqrt{3}}$，
解得$OD=2$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × BD × OD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODE}=\frac{60π × OD^2}{360}=\frac{60π × 4}{360}=\frac{2π}{3}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BOD}-S_{\mathrm{扇形}ODE}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) AD平分∠BAC，证明成立；
(2) 阴影部分的面积为$\boxed{2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}}$。
【知识点】
切线的性质，角平分线的判定，扇形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型考题，解题的核心是掌握“遇切线，连半径”的辅助线构造方法，第一问结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系；第二问运用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，同时需要熟练运用三角函数、扇形面积公式进行计算。
【难度系数】
0.7
