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12.如图，BE是$\odot O$的直径，半径$OA⊥$弦$BC$于点$D$，连接$AE$，$EC$。
(1)若$∠ AEC = 28°$，求$∠ AOB$的度数。
(2)若$∠ AEB=∠ B$，$BC=6$，求$\odot O$的半径。
(1)若$∠ AEC = 28°$，求$∠ AOB$的度数。
(2)若$∠ AEB=∠ B$，$BC=6$，求$\odot O$的半径。
答案
解：
(1)
∵ 半径$OA ⊥$弦$BC$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（垂径定理），
∵ $∠ AEC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴ $∠ AOB = 2∠ AEC$，
∵ $∠ AEC=28°$，
∴ $∠ AOB=2×28°=56°$。
(2)
∵ $BE$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BCE=90°$，即$EC⊥ BC$，
又∵ $OA⊥ BC$，
∴ $OA// EC$，
∵ $∠ AEB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴ $∠ AEB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AEB=∠ B$，
∴ $∠ AOB=2∠ B$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
∴ $∠ AOB + ∠ B=90°$，
代入得$2∠ B + ∠ B=90°$，
解得$∠ B=30°$，
∵ $OA⊥ BC$，$BC=6$，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=3$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ B=30°$，
∴ $OD=\frac{1}{2}OB=\frac{r}{2}$，
由勾股定理得：$OD^2 + BD^2 = OB^2$，
即$(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得$\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
∵ $r＞0$，
∴ $r=2\sqrt{3}$。
答：$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$。
(1)
∵ 半径$OA ⊥$弦$BC$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（垂径定理），
∵ $∠ AEC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴ $∠ AOB = 2∠ AEC$，
∵ $∠ AEC=28°$，
∴ $∠ AOB=2×28°=56°$。
(2)
∵ $BE$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BCE=90°$，即$EC⊥ BC$，
又∵ $OA⊥ BC$，
∴ $OA// EC$，
∵ $∠ AEB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
∴ $∠ AEB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AEB=∠ B$，
∴ $∠ AOB=2∠ B$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
∴ $∠ AOB + ∠ B=90°$，
代入得$2∠ B + ∠ B=90°$，
解得$∠ B=30°$，
∵ $OA⊥ BC$，$BC=6$，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=3$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ B=30°$，
∴ $OD=\frac{1}{2}OB=\frac{r}{2}$，
由勾股定理得：$OD^2 + BD^2 = OB^2$，
即$(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得$\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
∵ $r＞0$，
∴ $r=2\sqrt{3}$。
答：$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 看到半径垂直弦的条件，首先利用垂径定理得到等弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再结合圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ AEC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，二者对应弧相等，代入已知角度即可求出$∠ AOB$。
(2) 首先由$BE$是直径，可得直径所对的圆周角为直角，即$∠ BCE=90°$，结合$OA⊥ BC$可推出$OA// EC$；再根据圆周角定理，$∠ AEB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，因此$∠ AEB=\frac{1}{2}∠ AOB$，结合已知$∠ AEB=∠ B$，可得到$∠ AOB$与$∠ B$的数量关系；在$\mathrm{Rt}△ ODB$中利用两锐角互余求出$∠ B=30°$，再由垂径定理得到$BD$的长度，设半径为$r$，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
$\because$ 半径$OA ⊥$弦$BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（垂径定理），
$\because ∠ AEC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ AOB = 2∠ AEC$，
$\because ∠ AEC=28°$，
$\therefore ∠ AOB=2×28°=56°$。
(2)
$\because BE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BCE=90°$，即$EC⊥ BC$，
又$\because OA⊥ BC$，
$\therefore OA// EC$，
$\because ∠ AEB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ AEB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
$\because ∠ AEB=∠ B$，
$\therefore ∠ AOB=2∠ B$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
$\therefore ∠ AOB + ∠ B=90°$，
代入得$2∠ B + ∠ B=90°$，
解得$∠ B=30°$，
$\because OA⊥ BC$，$BC=6$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ B=30°$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OB=\frac{r}{2}$，
由勾股定理得：$OD^2 + BD^2 = OB^2$，
即$(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得$\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
$\because r＞0$，
$\therefore r=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$∠ AOB$的度数为$\boxed{56°}$；
(2)$\odot O$的半径为$\boxed{2\sqrt{3}}$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的核心性质与直角三角形的计算结合考查，解题关键是熟练运用垂径定理、圆周角定理完成角度和线段的转化，是圆章节的经典常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 看到半径垂直弦的条件，首先利用垂径定理得到等弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再结合圆周角与圆心角的关系：同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ AEC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，二者对应弧相等，代入已知角度即可求出$∠ AOB$。
(2) 首先由$BE$是直径，可得直径所对的圆周角为直角，即$∠ BCE=90°$，结合$OA⊥ BC$可推出$OA// EC$；再根据圆周角定理，$∠ AEB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，因此$∠ AEB=\frac{1}{2}∠ AOB$，结合已知$∠ AEB=∠ B$，可得到$∠ AOB$与$∠ B$的数量关系；在$\mathrm{Rt}△ ODB$中利用两锐角互余求出$∠ B=30°$，再由垂径定理得到$BD$的长度，设半径为$r$，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
$\because$ 半径$OA ⊥$弦$BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（垂径定理），
$\because ∠ AEC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
$\therefore ∠ AOB = 2∠ AEC$，
$\because ∠ AEC=28°$，
$\therefore ∠ AOB=2×28°=56°$。
(2)
$\because BE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BCE=90°$，即$EC⊥ BC$，
又$\because OA⊥ BC$，
$\therefore OA// EC$，
$\because ∠ AEB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ AEB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
$\because ∠ AEB=∠ B$，
$\therefore ∠ AOB=2∠ B$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，
$\therefore ∠ AOB + ∠ B=90°$，
代入得$2∠ B + ∠ B=90°$，
解得$∠ B=30°$，
$\because OA⊥ BC$，$BC=6$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=3$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ B=30°$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OB=\frac{r}{2}$，
由勾股定理得：$OD^2 + BD^2 = OB^2$，
即$(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得$\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
$\because r＞0$，
$\therefore r=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$∠ AOB$的度数为$\boxed{56°}$；
(2)$\odot O$的半径为$\boxed{2\sqrt{3}}$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的核心性质与直角三角形的计算结合考查，解题关键是熟练运用垂径定理、圆周角定理完成角度和线段的转化，是圆章节的经典常考题型。
【难度系数】
0.7
13. 提升题 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上（不与点A，B重合），$AD⊥ CD$。
（1）若$BC=3$，$AB=5$，求AC的长。
（2）若AC是$∠ DAB$的平分线，求证：直线CD是$\odot O$的切线。
（1）若$BC=3$，$AB=5$，求AC的长。
（2）若AC是$∠ DAB$的平分线，求证：直线CD是$\odot O$的切线。
答案
解：(1)
∵ AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴ ∠ACB = 90°。
在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = 4。
(2) 证明：
连接OC，
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC = ∠CAB。
∵ OA = OC，
∴ ∠CAB = ∠OCA，
∴ ∠DAC = ∠OCA，
∴ OC // AD。
∵ AD ⊥ CD，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠OCD = ∠ADC = 90°，即OC ⊥ CD。
又∵ OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，
∴ 直线CD是⊙O的切线。
∵ AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴ ∠ACB = 90°。
在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，由勾股定理得：
AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = 4。
(2) 证明：
连接OC，
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC = ∠CAB。
∵ OA = OC，
∴ ∠CAB = ∠OCA，
∴ ∠DAC = ∠OCA，
∴ OC // AD。
∵ AD ⊥ CD，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠OCD = ∠ADC = 90°，即OC ⊥ CD。
又∵ OC是⊙O的半径，点C在⊙O上，
∴ 直线CD是⊙O的切线。
解析
【分析】
（1）解题思路：看到AB是$\odot O$的直径，首先根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，直接用勾股定理即可求出AC的长。
（2）解题思路：要证明直线CD是圆的切线，根据切线的判定定理，需要证明CD垂直于过点C的半径，因此先作辅助线连接OC；已知AC是角平分线，可得$∠ DAC=∠ CAB$，再结合OA=OC（同圆半径相等），等边对等角得$∠ CAB=∠ OCA$，通过等量代换得到$∠ DAC=∠ OCA$，可推出$OC// AD$；又已知$AD⊥ CD$，根据平行线的性质可得$OC⊥ CD$，结合OC是半径，即可证明CD是切线。
【解析】
(1)
∵ AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
∴ $∠ ACB = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
(2) 证明：
连接OC，
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAB$。
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ CAB = ∠ OCA$，
∴ $∠ DAC = ∠ OCA$，
∴ $OC // AD$。
∵ $AD ⊥ CD$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ OCD = ∠ ADC = 90°$，即$OC ⊥ CD$。
又
∵ OC是$\odot O$的半径，点C在$\odot O$上，
∴ 直线CD是$\odot O$的切线。
【答案】
（1）AC的长为4；（2）直线CD是$\odot O$的切线，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，切线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问侧重对直径所对圆周角性质和勾股定理的直接应用，难度较低；第二问是切线证明的常规题型，需掌握“连半径，证垂直”的常用辅助线做法，同时融合了角平分线、平行线的性质、等腰三角形性质等知识点，有助于巩固几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：看到AB是$\odot O$的直径，首先根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，直接用勾股定理即可求出AC的长。
（2）解题思路：要证明直线CD是圆的切线，根据切线的判定定理，需要证明CD垂直于过点C的半径，因此先作辅助线连接OC；已知AC是角平分线，可得$∠ DAC=∠ CAB$，再结合OA=OC（同圆半径相等），等边对等角得$∠ CAB=∠ OCA$，通过等量代换得到$∠ DAC=∠ OCA$，可推出$OC// AD$；又已知$AD⊥ CD$，根据平行线的性质可得$OC⊥ CD$，结合OC是半径，即可证明CD是切线。
【解析】
(1)
∵ AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
∴ $∠ ACB = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=5$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
(2) 证明：
连接OC，
∵ AC平分$∠ DAB$，
∴ $∠ DAC = ∠ CAB$。
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ CAB = ∠ OCA$，
∴ $∠ DAC = ∠ OCA$，
∴ $OC // AD$。
∵ $AD ⊥ CD$，
∴ $∠ ADC = 90°$，
∴ $∠ OCD = ∠ ADC = 90°$，即$OC ⊥ CD$。
又
∵ OC是$\odot O$的半径，点C在$\odot O$上，
∴ 直线CD是$\odot O$的切线。
【答案】
（1）AC的长为4；（2）直线CD是$\odot O$的切线，证明成立。
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，切线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问侧重对直径所对圆周角性质和勾股定理的直接应用，难度较低；第二问是切线证明的常规题型，需掌握“连半径，证垂直”的常用辅助线做法，同时融合了角平分线、平行线的性质、等腰三角形性质等知识点，有助于巩固几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图,已知四边形ABCD内接于$\odot O$,连接BD,$∠ BAD = 105°$,$∠ DBC=75°$。
(1)求证:$BD=CD$。
(2)若$\odot O$的半径为5,求BC的长。
(1)求证:$BD=CD$。
(2)若$\odot O$的半径为5,求BC的长。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
∵ $∠ BAD = 105°$，
∴ $∠ BCD = 180° - 105° = 75°$。
又∵ $∠ DBC = 75°$，
∴ $∠ BCD = ∠ DBC$，
∴ $BD = CD$。
---
(2) 解：
在$△ BCD$中，
$∠ BDC = 180° - ∠ DBC - ∠ BCD = 180° - 75° - 75° = 30°$。
连接$OB$、$OC$，
由圆周角定理得：$∠ BOC = 2∠ BDC = 60°$。
∵ $OB = OC = 5$（$\odot O$半径为5），
∴ $△ BOC$是等边三角形，
∴ $BC = OB = 5$。
答：$BC$的长为$\boldsymbol{5}$。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
∵ $∠ BAD = 105°$，
∴ $∠ BCD = 180° - 105° = 75°$。
又∵ $∠ DBC = 75°$，
∴ $∠ BCD = ∠ DBC$，
∴ $BD = CD$。
---
(2) 解：
在$△ BCD$中，
$∠ BDC = 180° - ∠ DBC - ∠ BCD = 180° - 75° - 75° = 30°$。
连接$OB$、$OC$，
由圆周角定理得：$∠ BOC = 2∠ BDC = 60°$。
∵ $OB = OC = 5$（$\odot O$半径为5），
∴ $△ BOC$是等边三角形，
∴ $BC = OB = 5$。
答：$BC$的长为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$BD=CD$，可通过证明$△ BCD$中两个底角相等，利用等角对等边推导。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的$∠ BAD$的度数求出$∠ BCD$的度数，再和$∠ DBC$的度数对比，即可得到两角相等，完成证明。
(2) 要求$BC$的长度，已知圆的半径，可连接$OB$、$OC$构造圆心角，先通过三角形内角和求出$∠ BDC$的度数，再根据圆周角定理得到对应圆心角$∠ BOC$的度数，结合$OB=OC$判断$△ BOC$的形状，即可求出$BC$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
∵ $∠ BAD = 105°$，
∴ $∠ BCD = 180° - 105° = 75°$。
又
∵ $∠ DBC = 75°$，
∴ $∠ BCD = ∠ DBC$，
∴ $BD = CD$。
(2) 解：
在$△ BCD$中，
$∠ BDC = 180° - ∠ DBC - ∠ BCD = 180° - 75° - 75° = 30°$。
连接$OB$、$OC$，
由圆周角定理得：$∠ BOC = 2∠ BDC = 60°$。
∵ $OB = OC = 5$（$\odot O$半径为5），
∴ $△ BOC$是等边三角形，
∴ $BC = OB = 5$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆的相关性质，结合特殊三角形的判定方法求解，构造半径得到圆心角是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明$BD=CD$，可通过证明$△ BCD$中两个底角相等，利用等角对等边推导。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的$∠ BAD$的度数求出$∠ BCD$的度数，再和$∠ DBC$的度数对比，即可得到两角相等，完成证明。
(2) 要求$BC$的长度，已知圆的半径，可连接$OB$、$OC$构造圆心角，先通过三角形内角和求出$∠ BDC$的度数，再根据圆周角定理得到对应圆心角$∠ BOC$的度数，结合$OB=OC$判断$△ BOC$的形状，即可求出$BC$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
∵ $∠ BAD = 105°$，
∴ $∠ BCD = 180° - 105° = 75°$。
又
∵ $∠ DBC = 75°$，
∴ $∠ BCD = ∠ DBC$，
∴ $BD = CD$。
(2) 解：
在$△ BCD$中，
$∠ BDC = 180° - ∠ DBC - ∠ BCD = 180° - 75° - 75° = 30°$。
连接$OB$、$OC$，
由圆周角定理得：$∠ BOC = 2∠ BDC = 60°$。
∵ $OB = OC = 5$（$\odot O$半径为5），
∴ $△ BOC$是等边三角形，
∴ $BC = OB = 5$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆的相关性质，结合特殊三角形的判定方法求解，构造半径得到圆心角是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
