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一、选择题
1. $2\tan 45° - \sqrt{2}\cos 45°$的值为（）
A.$1-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$1$
D.$3$
1. $2\tan 45° - \sqrt{2}\cos 45°$的值为（）
A.$1-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$1$
D.$3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的相关运算，解题时首先要回忆45°角的正切值和余弦值，再将对应数值代入原式，遵循实数混合运算“先乘除后加减”的顺序计算，最终匹配选项得到答案。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
将数值代入原式计算：
$\begin{aligned}2\tan45° - \sqrt{2}\cos45°&=2×1 - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2 - \frac{(\sqrt{2})^2}{2}\\&=2 - \frac{2}{2}\\&=2-1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，运算难度低，只要准确牢记常见特殊角的三角函数值，按照运算规则认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的相关运算，解题时首先要回忆45°角的正切值和余弦值，再将对应数值代入原式，遵循实数混合运算“先乘除后加减”的顺序计算，最终匹配选项得到答案。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
将数值代入原式计算：
$\begin{aligned}2\tan45° - \sqrt{2}\cos45°&=2×1 - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2 - \frac{(\sqrt{2})^2}{2}\\&=2 - \frac{2}{2}\\&=2-1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，运算难度低，只要准确牢记常见特殊角的三角函数值，按照运算规则认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2.如图,在边长为1的正方形网格中,AB与CD相交于点E,则$\sin ∠ AEC$的值为()
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要求∠AEC的正弦值，我们可以通过构造直角三角形的方法求解：首先在网格中建立平面直角坐标系，确定各点坐标，求出直线AB、CD的解析式，得到交点E的坐标，再过点C作AB的垂线，得到含∠AEC的直角三角形，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以点A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则各点坐标为：A(0,0)，B(1,1)，C(0,1)，D(3,0)。
1. 求直线解析式：
直线AB过(0,0)、(1,1)，其解析式为$y=x$；
直线CD过(0,1)、(3,0)，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得$\begin{cases}b=1\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{3}\\b=1\end{cases}$，即CD的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+1$。
2. 求交点E的坐标：
联立$\begin{cases}y=x\\y=-\dfrac{1}{3}x+1\end{cases}$，解得$x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{3}{4}$，即$E(\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{4})$。
3. 求CE的长度：
由两点距离公式，$CE=\sqrt{(\dfrac{3}{4}-0)^2+(\dfrac{3}{4}-1)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$。
4. 求点C到AB的距离CF：
过点C作$CF⊥ AB$于F，直线AB的一般式为$x-y=0$，根据点到直线的距离公式，$CF=\dfrac{|0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 计算$\sin∠ AEC$：
在$Rt△ CFE$中，$∠ CFE=90°$，根据正弦的定义：
$\sin∠ AEC=\dfrac{CF}{CE}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{10}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，一次函数解析式，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题核心是将所求锐角转化到直角三角形中，通过坐标法求出对应边的长度，再利用三角函数定义求解，锻炼了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
要求∠AEC的正弦值，我们可以通过构造直角三角形的方法求解：首先在网格中建立平面直角坐标系，确定各点坐标，求出直线AB、CD的解析式，得到交点E的坐标，再过点C作AB的垂线，得到含∠AEC的直角三角形，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以点A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则各点坐标为：A(0,0)，B(1,1)，C(0,1)，D(3,0)。
1. 求直线解析式：
直线AB过(0,0)、(1,1)，其解析式为$y=x$；
直线CD过(0,1)、(3,0)，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标得$\begin{cases}b=1\\3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{3}\\b=1\end{cases}$，即CD的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x+1$。
2. 求交点E的坐标：
联立$\begin{cases}y=x\\y=-\dfrac{1}{3}x+1\end{cases}$，解得$x=\dfrac{3}{4},y=\dfrac{3}{4}$，即$E(\dfrac{3}{4},\dfrac{3}{4})$。
3. 求CE的长度：
由两点距离公式，$CE=\sqrt{(\dfrac{3}{4}-0)^2+(\dfrac{3}{4}-1)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$。
4. 求点C到AB的距离CF：
过点C作$CF⊥ AB$于F，直线AB的一般式为$x-y=0$，根据点到直线的距离公式，$CF=\dfrac{|0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 计算$\sin∠ AEC$：
在$Rt△ CFE$中，$∠ CFE=90°$，根据正弦的定义：
$\sin∠ AEC=\dfrac{CF}{CE}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{10}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，一次函数解析式，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题核心是将所求锐角转化到直角三角形中，通过坐标法求出对应边的长度，再利用三角函数定义求解，锻炼了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
3.如果一个反比例函数的图象在它所在的每一象限内，y的值随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是()
A.(3,1)
B.(2,-1)
C.(-2,4)
D.(0,0)
A.(3,1)
B.(2,-1)
C.(-2,4)
D.(0,0)
答案
A
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），若图象在每一象限内$y$随$x$的增大而减小，说明比例系数$k＞0$；同时反比例函数的自变量$x$和函数值$y$都不能为0，因此先排除坐标含0的选项。再根据反比例函数上任意一点的横、纵坐标的乘积等于$k$，计算剩余选项的横纵坐标乘积，选出乘积为正的选项即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
1. 由题意，函数在每一象限内$y$随$x$的增大而减小，可得$k＞0$；
2. 反比例函数中$x\ne0$，$y\ne0$，因此点$(0,0)$不可能在函数图象上，排除D选项；
3. 反比例函数图象上的点满足$k=xy$，我们计算剩余选项的横纵坐标乘积：
A选项：$3×1=3＞0$，符合$k＞0$的要求；
B选项：$2×(-1)=-2＜0$，不符合$k＞0$的要求；
C选项：$(-2)×4=-8＜0$，不符合$k＞0$的要求。
因此只有A选项的点可能在该函数图象上。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先根据函数的增减性确定比例系数$k$的符号，再结合反比例函数上点的坐标满足$xy=k$的规律逐一判断选项即可，需注意反比例函数的图象永远不会经过原点。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），若图象在每一象限内$y$随$x$的增大而减小，说明比例系数$k＞0$；同时反比例函数的自变量$x$和函数值$y$都不能为0，因此先排除坐标含0的选项。再根据反比例函数上任意一点的横、纵坐标的乘积等于$k$，计算剩余选项的横纵坐标乘积，选出乘积为正的选项即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
1. 由题意，函数在每一象限内$y$随$x$的增大而减小，可得$k＞0$；
2. 反比例函数中$x\ne0$，$y\ne0$，因此点$(0,0)$不可能在函数图象上，排除D选项；
3. 反比例函数图象上的点满足$k=xy$，我们计算剩余选项的横纵坐标乘积：
A选项：$3×1=3＞0$，符合$k＞0$的要求；
B选项：$2×(-1)=-2＜0$，不符合$k＞0$的要求；
C选项：$(-2)×4=-8＜0$，不符合$k＞0$的要求。
因此只有A选项的点可能在该函数图象上。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先根据函数的增减性确定比例系数$k$的符号，再结合反比例函数上点的坐标满足$xy=k$的规律逐一判断选项即可，需注意反比例函数的图象永远不会经过原点。
【难度系数】
0.8
4.反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，$AB// x$轴。若$△ ABC$的面积为4，则$k$的值为（）
A.8
B.－8
C.－4
D.－2
A.8
B.－8
C.－4
D.－2
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数上点的坐标特征，结合AB平行x轴的性质表示出△ABC的底和高：AB的长度等于点A横坐标的绝对值，AB边上的高等于点A的纵坐标；再根据三角形面积公式列等式，结合点A在反比例函数图象上满足$k=xy$，即可求出$k$的值，注意结合反比例函数所在象限判断$k$的符号。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，由图象可知点A在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$。
∵$AB// x$轴，点B在y轴上，
∴点B的坐标为$(0,y)$，$AB$的长度为$0-x=-x$，
△ABC的边AB上的高为点A的纵坐标$y$（即直线AB与x轴的距离）。
已知$S_{△ ABC}=4$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × (-x) × y = 4$
整理得$-xy=8$，即$xy=-8$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-8$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题，解题关键是结合平行线的性质找到三角形的底、高与点A坐标的关系，再结合反比例函数的坐标特征求解，要注意k的符号与函数图象所在象限的对应关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用反比例函数上点的坐标特征，结合AB平行x轴的性质表示出△ABC的底和高：AB的长度等于点A横坐标的绝对值，AB边上的高等于点A的纵坐标；再根据三角形面积公式列等式，结合点A在反比例函数图象上满足$k=xy$，即可求出$k$的值，注意结合反比例函数所在象限判断$k$的符号。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，由图象可知点A在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$。
∵$AB// x$轴，点B在y轴上，
∴点B的坐标为$(0,y)$，$AB$的长度为$0-x=-x$，
△ABC的边AB上的高为点A的纵坐标$y$（即直线AB与x轴的距离）。
已知$S_{△ ABC}=4$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × (-x) × y = 4$
整理得$-xy=8$，即$xy=-8$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-8$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题，解题关键是结合平行线的性质找到三角形的底、高与点A坐标的关系，再结合反比例函数的坐标特征求解，要注意k的符号与函数图象所在象限的对应关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$5×6$的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三个格点,则$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角的度数是()
A.$75°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
A.$75°$
B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
要确定弧AC所对的圆心角，首先需找到圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理，圆心在任意弦的垂直平分线上，因此先分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；再连接圆心与A、C两点，通过网格计算线段长度，利用勾股定理逆定理判断△AOC的形状，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$B(1,3)$，$A(2,4)$，$C(5,3)$。
1. 找圆心：弦BC在水平线上，其中点坐标为$(3,3)$，故BC的垂直平分线为直线$x=3$；
弦AB的中点为$(1.5,3.5)$，AB的斜率为$\frac{4-3}{2-1}=1$，因此AB的垂直平分线斜率为$-1$，可得其方程为$y-3.5=-(x-1.5)$，即$y=-x+5$；
两条垂直平分线的交点为圆心O，将$x=3$代入$y=-x+5$，得$y=2$，即圆心O坐标为$(3,2)$。
2. 求圆心角：连接OA、OC，计算各线段长度的平方：
$OA^2=(3-2)^2+(2-4)^2=1+4=5$，
$OC^2=(5-3)^2+(3-2)^2=4+1=5$，
$AC^2=(5-2)^2+(3-4)^2=9+1=10$，
因此$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ AOC$为直角三角形，$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理逆定理 3.圆心角定义
【点评】
本题结合网格考查圆的基础性质，解题核心是利用垂径定理确定圆心位置，再通过勾股定理逆定理判断角度，既考查了基础知识的应用，也锻炼了数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
要确定弧AC所对的圆心角，首先需找到圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理，圆心在任意弦的垂直平分线上，因此先分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；再连接圆心与A、C两点，通过网格计算线段长度，利用勾股定理逆定理判断△AOC的形状，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$B(1,3)$，$A(2,4)$，$C(5,3)$。
1. 找圆心：弦BC在水平线上，其中点坐标为$(3,3)$，故BC的垂直平分线为直线$x=3$；
弦AB的中点为$(1.5,3.5)$，AB的斜率为$\frac{4-3}{2-1}=1$，因此AB的垂直平分线斜率为$-1$，可得其方程为$y-3.5=-(x-1.5)$，即$y=-x+5$；
两条垂直平分线的交点为圆心O，将$x=3$代入$y=-x+5$，得$y=2$，即圆心O坐标为$(3,2)$。
2. 求圆心角：连接OA、OC，计算各线段长度的平方：
$OA^2=(3-2)^2+(2-4)^2=1+4=5$，
$OC^2=(5-3)^2+(3-2)^2=4+1=5$，
$AC^2=(5-2)^2+(3-4)^2=9+1=10$，
因此$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ AOC$为直角三角形，$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理逆定理 3.圆心角定义
【点评】
本题结合网格考查圆的基础性质，解题核心是利用垂径定理确定圆心位置，再通过勾股定理逆定理判断角度，既考查了基础知识的应用，也锻炼了数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
6.如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$AB=AD$，AC与BD相交于点G。若$∠ BOC=54°$，则$∠ AGB=(\quad)$
A.$108°$
B.$110°$
C.$106°$
D.$117°$
A.$108°$
B.$110°$
C.$106°$
D.$117°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件BD是直径、AB=AD入手，先求出∠ABD的度数；再利用圆周角定理，由圆心角∠BOC的度数求出对应圆周角∠BAC的度数；最后在△ABG中利用三角形内角和即可求出∠AGB的度数。
【解析】
1. 求∠ABD的度数：
∵BD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠BAD=90°，
又
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠ADB=45°。
2. 求∠BAC的度数：
∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×54°=27°。
3. 求∠AGB的度数：
在△ABG中，根据三角形内角和为180°，
∴∠AGB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-27°-45°=108°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的基本性质与三角形的相关定理，解题的关键是准确找到同弧对应的圆心角和圆周角，结合等腰直角三角形的角度特征计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件BD是直径、AB=AD入手，先求出∠ABD的度数；再利用圆周角定理，由圆心角∠BOC的度数求出对应圆周角∠BAC的度数；最后在△ABG中利用三角形内角和即可求出∠AGB的度数。
【解析】
1. 求∠ABD的度数：
∵BD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠BAD=90°，
又
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠ADB=45°。
2. 求∠BAC的度数：
∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×54°=27°。
3. 求∠AGB的度数：
在△ABG中，根据三角形内角和为180°，
∴∠AGB=180°-∠BAC-∠ABD=180°-27°-45°=108°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的基本性质与三角形的相关定理，解题的关键是准确找到同弧对应的圆心角和圆周角，结合等腰直角三角形的角度特征计算即可。
【难度系数】
0.7
二、填空题
7. 提升题 如图，正方形ABCD相邻的两个顶点C，D分别在x轴、y轴上，且满足AC//y轴，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过正方形的两条对角线的交点E。若正方形ABCD的面积为16，则k的值为。
7. 提升题 如图，正方形ABCD相邻的两个顶点C，D分别在x轴、y轴上，且满足AC//y轴，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过正方形的两条对角线的交点E。若正方形ABCD的面积为16，则k的值为。
答案
$\boldsymbol{-8}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：1. 由正方形面积求出边长和对角线长度；2. 利用AC平行于y轴的性质，得出A、C两点横坐标相同，且正方形对角线交点E是AC中点，可得到E点横、纵坐标和A、C坐标的关系；3. 结合D在y轴上、CD与AD垂直的性质，通过坐标运算求出C点的横坐标，进而得到E点坐标；4. 将E点坐标代入反比例函数解析式即可求出k值，注意x＜0的取值范围。
【解析】
1. 求正方形边长与对角线长：
∵正方形ABCD的面积为16，
∴正方形边长为$\sqrt{16}=4$，对角线长为$4\sqrt{2}$。
2. 设坐标并推导E点坐标特征：
∵AC//y轴，C在x轴上，且反比例函数图象在$x＜0$的区域，设C点坐标为$(m,0)$（$m＜0$），则A点横坐标也为$m$。
∵AC是正方形对角线，长度为$4\sqrt{2}$，
∴A点坐标为$(m,4\sqrt{2})$。
∵E是正方形两条对角线的交点，
∴E是AC的中点，可得E点横坐标为$m$，纵坐标为$\frac{0+4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，即$E(m,2\sqrt{2})$。
3. 求m的值：
设D点坐标为$(0,n)$，
∵CD是正方形边长，长度为4，由勾股定理得$CD^2=m^2+n^2=16$ ①。
∵CD⊥AD，两垂直直线斜率乘积为-1，直线CD的斜率$k_{CD}=\frac{0-n}{m-0}=-\frac{n}{m}$，直线AD的斜率$k_{AD}=\frac{4\sqrt{2}-n}{m-0}=\frac{4\sqrt{2}-n}{m}$，则：
$-\frac{n}{m} × \frac{4\sqrt{2}-n}{m} = -1$
整理得$m^2 +n^2 =4\sqrt{2}n$ ②。
将①代入②，得$16=4\sqrt{2}n$，解得$n=2\sqrt{2}$。
把$n=2\sqrt{2}$代入①，得$m^2 + (2\sqrt{2})^2 =16$，解得$m^2=8$，
∵$m＜0$，
∴$m=-2\sqrt{2}$。
4. 求k的值：
E点坐标为$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=(-2\sqrt{2}) × 2\sqrt{2} = -8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
正方形的性质，反比例函数的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题，解题的核心是利用正方形的几何性质结合平面直角坐标系的线段位置关系求出交点E的坐标，再代入函数解析式求解，需要熟练掌握几何图形性质和函数坐标的对应关系，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件逐步推导：1. 由正方形面积求出边长和对角线长度；2. 利用AC平行于y轴的性质，得出A、C两点横坐标相同，且正方形对角线交点E是AC中点，可得到E点横、纵坐标和A、C坐标的关系；3. 结合D在y轴上、CD与AD垂直的性质，通过坐标运算求出C点的横坐标，进而得到E点坐标；4. 将E点坐标代入反比例函数解析式即可求出k值，注意x＜0的取值范围。
【解析】
1. 求正方形边长与对角线长：
∵正方形ABCD的面积为16，
∴正方形边长为$\sqrt{16}=4$，对角线长为$4\sqrt{2}$。
2. 设坐标并推导E点坐标特征：
∵AC//y轴，C在x轴上，且反比例函数图象在$x＜0$的区域，设C点坐标为$(m,0)$（$m＜0$），则A点横坐标也为$m$。
∵AC是正方形对角线，长度为$4\sqrt{2}$，
∴A点坐标为$(m,4\sqrt{2})$。
∵E是正方形两条对角线的交点，
∴E是AC的中点，可得E点横坐标为$m$，纵坐标为$\frac{0+4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，即$E(m,2\sqrt{2})$。
3. 求m的值：
设D点坐标为$(0,n)$，
∵CD是正方形边长，长度为4，由勾股定理得$CD^2=m^2+n^2=16$ ①。
∵CD⊥AD，两垂直直线斜率乘积为-1，直线CD的斜率$k_{CD}=\frac{0-n}{m-0}=-\frac{n}{m}$，直线AD的斜率$k_{AD}=\frac{4\sqrt{2}-n}{m-0}=\frac{4\sqrt{2}-n}{m}$，则：
$-\frac{n}{m} × \frac{4\sqrt{2}-n}{m} = -1$
整理得$m^2 +n^2 =4\sqrt{2}n$ ②。
将①代入②，得$16=4\sqrt{2}n$，解得$n=2\sqrt{2}$。
把$n=2\sqrt{2}$代入①，得$m^2 + (2\sqrt{2})^2 =16$，解得$m^2=8$，
∵$m＜0$，
∴$m=-2\sqrt{2}$。
4. 求k的值：
E点坐标为$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$，代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=(-2\sqrt{2}) × 2\sqrt{2} = -8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
正方形的性质，反比例函数的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的综合题，解题的核心是利用正方形的几何性质结合平面直角坐标系的线段位置关系求出交点E的坐标，再代入函数解析式求解，需要熟练掌握几何图形性质和函数坐标的对应关系，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
