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8.如图，点$P(a,2)$和点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，连接$OP$，$AP$。若$OP=AP$，且$∠ OPA=90°$，则$k$的值为。
答案
$\boldsymbol{-2-2\sqrt{5}}$
解析
【分析】
本题可通过构造“一线三直角”全等模型，结合等腰直角三角形的性质推导点A的坐标表达式，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于定值k列方程求解。解题思路如下：1. 过点P作x轴平行线，构造两个直角三角形，证明全等得到点A与点P的坐标关系；2. 结合P、A都在反比例函数图象上的条件，列出关于a的一元二次方程；3. 根据x＜0的限制舍去不符合的解，代入求出k值。
【解析】
解：过点P作平行于x轴的直线，过点O作$OM⊥$该直线于M，过点A作$AN⊥$该直线于N。
$\because ∠ OPA=90°$，$\therefore ∠ OPM+∠ APN=90°$，
又$\because ∠ OPM+∠ POM=90°$，$\therefore ∠ POM=∠ APN$。
在$△ OMP$和$△ PNA$中：
$\begin{cases}∠ OMP=∠ PNA=90°\\∠ POM=∠ APN\\OP=PA\end{cases}$
$\therefore △ OMP≌△ PNA(\mathrm{AAS})$。
已知$P(a,2)$，则$OM=2$，$PM=-a$（$a＜0$，长度取正值），
由全等性质得：$PN=OM=2$，$AN=PM=-a$，
$\therefore$点A的坐标为$(a+2,2-a)$。
$\because$点$P(a,2)$和点A都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，
$\therefore k=2a=(a+2)(2-a)$，
整理得：$a^2+2a-4=0$，
解得$a=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$。
$\because x＜0$，即$a＜0$，故舍去正根$a=-1+\sqrt{5}$，取$a=-1-\sqrt{5}$，
$\therefore k=2a=2×(-1-\sqrt{5})=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{-2-2\sqrt{5}}$
【知识点】
反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是利用等腰直角三角形构造全等推导坐标关系，求解时要注意结合自变量的取值范围对根进行取舍。
【难度系数】
0.3
本题可通过构造“一线三直角”全等模型，结合等腰直角三角形的性质推导点A的坐标表达式，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于定值k列方程求解。解题思路如下：1. 过点P作x轴平行线，构造两个直角三角形，证明全等得到点A与点P的坐标关系；2. 结合P、A都在反比例函数图象上的条件，列出关于a的一元二次方程；3. 根据x＜0的限制舍去不符合的解，代入求出k值。
【解析】
解：过点P作平行于x轴的直线，过点O作$OM⊥$该直线于M，过点A作$AN⊥$该直线于N。
$\because ∠ OPA=90°$，$\therefore ∠ OPM+∠ APN=90°$，
又$\because ∠ OPM+∠ POM=90°$，$\therefore ∠ POM=∠ APN$。
在$△ OMP$和$△ PNA$中：
$\begin{cases}∠ OMP=∠ PNA=90°\\∠ POM=∠ APN\\OP=PA\end{cases}$
$\therefore △ OMP≌△ PNA(\mathrm{AAS})$。
已知$P(a,2)$，则$OM=2$，$PM=-a$（$a＜0$，长度取正值），
由全等性质得：$PN=OM=2$，$AN=PM=-a$，
$\therefore$点A的坐标为$(a+2,2-a)$。
$\because$点$P(a,2)$和点A都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，
$\therefore k=2a=(a+2)(2-a)$，
整理得：$a^2+2a-4=0$，
解得$a=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$。
$\because x＜0$，即$a＜0$，故舍去正根$a=-1+\sqrt{5}$，取$a=-1-\sqrt{5}$，
$\therefore k=2a=2×(-1-\sqrt{5})=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{-2-2\sqrt{5}}$
【知识点】
反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是利用等腰直角三角形构造全等推导坐标关系，求解时要注意结合自变量的取值范围对根进行取舍。
【难度系数】
0.3
9.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ A=50°$，$BD$与$\odot O$相切于点$B$，则$∠ DBC$的度数为________。
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
遇到切线求角的问题，优先考虑弦切角相关性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。本题中BD是圆的切线，∠DBC是弦切角，它所夹的弧为弧BC，而∠A恰好是弧BC所对的圆周角，因此可直接建立两个角的等量关系，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
解：
∵BD与$\odot O$相切于点B，根据弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，
∴∠DBC等于弧BC所对的圆周角，
又
∵∠A是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ DBC=∠ A$，
∵$∠ A=50°$，
∴$∠ DBC=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
弦切角定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，重点考查弦切角定理的应用，熟练掌握切线相关的角度性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到切线求角的问题，优先考虑弦切角相关性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。本题中BD是圆的切线，∠DBC是弦切角，它所夹的弧为弧BC，而∠A恰好是弧BC所对的圆周角，因此可直接建立两个角的等量关系，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
解：
∵BD与$\odot O$相切于点B，根据弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，
∴∠DBC等于弧BC所对的圆周角，
又
∵∠A是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ DBC=∠ A$，
∵$∠ A=50°$，
∴$∠ DBC=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
弦切角定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，重点考查弦切角定理的应用，熟练掌握切线相关的角度性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
10.如图,正方形ABCD的对角线AC的长为$\sqrt{2}$。以点A为圆心,以AD的长为半径作弧,得到扇形DAE(阴影部分,点E在对角线AC上),则阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{\frac{π}{8}}$
解析
【分析】
要计算阴影部分即扇形DAE的面积，需先确定扇形的半径和圆心角两个关键量：①首先利用正方形对角线与边长的关系，结合已知AC的长度求出正方形边长AD（即扇形半径）；②再根据正方形对角线平分内角的性质，求出扇形的圆心角∠DAE的度数；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD=a，∠DAC=45°（正方形对角线平分内角）。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2$，
已知$AC=\sqrt{2}$，代入得：$(\sqrt{2})^2=a^2+a^2$，
即$2=2a^2$，解得$a=1$，即$AD=1$，也就是扇形DAE的半径$r=1$。
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），此处$n=45°$，$r=1$，
代入得：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{45×π×1^2}{360}=\frac{π}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{π}{8}}$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是几何面积计算的基础题型，解题核心是结合正方形的性质求出扇形的半径和圆心角，再对应代入公式求解，是平面几何中较为常见的组合图形面积类考题。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分即扇形DAE的面积，需先确定扇形的半径和圆心角两个关键量：①首先利用正方形对角线与边长的关系，结合已知AC的长度求出正方形边长AD（即扇形半径）；②再根据正方形对角线平分内角的性质，求出扇形的圆心角∠DAE的度数；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD=a，∠DAC=45°（正方形对角线平分内角）。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2$，
已知$AC=\sqrt{2}$，代入得：$(\sqrt{2})^2=a^2+a^2$，
即$2=2a^2$，解得$a=1$，即$AD=1$，也就是扇形DAE的半径$r=1$。
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），此处$n=45°$，$r=1$，
代入得：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{45×π×1^2}{360}=\frac{π}{8}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{π}{8}}$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是几何面积计算的基础题型，解题核心是结合正方形的性质求出扇形的半径和圆心角，再对应代入公式求解，是平面几何中较为常见的组合图形面积类考题。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高BC=10 m，坡度为$1:\sqrt{3}$，则坡面AB的长为m。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
【分析】
首先明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比值，本题中即$i=\frac{BC}{AC}=1:\sqrt{3}$。已知堤高$BC=10\mathrm{m}$，我们可以先根据坡度求出水平宽度$AC$的长度，再利用勾股定理计算坡面$AB$的长度；也可以先由坡度得到$∠ A$的正切值，确定$∠ A$的度数，再利用直角三角形中30°角的性质快速求斜边长度。
【解析】
解：由题意可知$BC⊥ AC$，$△ ABC$是直角三角形。
$\because$ 迎水坡AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
把$BC=10\mathrm{m}$代入得：$\frac{10}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=10\sqrt{3}\mathrm{m}$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{10^2+(10\sqrt{3})^2}=\sqrt{100+300}=\sqrt{400}=20(\mathrm{m})$。
（也可通过角度计算：由$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，故$AB=2BC=2×10=20\mathrm{m}$）
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
坡度的定义、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确理解坡度的含义，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，需要注意坡度是铅直高度比水平宽度，不要弄反比例关系。
【难度系数】
0.8
首先明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比值，本题中即$i=\frac{BC}{AC}=1:\sqrt{3}$。已知堤高$BC=10\mathrm{m}$，我们可以先根据坡度求出水平宽度$AC$的长度，再利用勾股定理计算坡面$AB$的长度；也可以先由坡度得到$∠ A$的正切值，确定$∠ A$的度数，再利用直角三角形中30°角的性质快速求斜边长度。
【解析】
解：由题意可知$BC⊥ AC$，$△ ABC$是直角三角形。
$\because$ 迎水坡AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
把$BC=10\mathrm{m}$代入得：$\frac{10}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=10\sqrt{3}\mathrm{m}$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{10^2+(10\sqrt{3})^2}=\sqrt{100+300}=\sqrt{400}=20(\mathrm{m})$。
（也可通过角度计算：由$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，故$AB=2BC=2×10=20\mathrm{m}$）
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
坡度的定义、勾股定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的核心是正确理解坡度的含义，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，需要注意坡度是铅直高度比水平宽度，不要弄反比例关系。
【难度系数】
0.8
12.如图，在$△ ABC$中，$D$为$AC$边上一点，$∠ ADB=2∠ C$，$E$为$BC$边的中点，连接$DE$。若$AC=2\sqrt{5}$，$AB=3$，$\tan A=2$，则$DE$的长为________。
答案
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{17}}{7}}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 遇到$\tan A=2$的条件，优先过$B$作$AC$的垂线$BF$，构造直角三角形，利用勾股定理求出$AF$、$BF$、$FC$的长度；2. 利用三角形外角性质，结合$∠ ADB=2∠ C$，推导得出$∠ DBC=∠ C$，进而得到$DB=DC$，设$DC=BD=m$，在$Rt△ BDF$中用勾股定理列方程求出$m$的值；3. 先在$Rt△ BFC$中求出$BC$的长度，再利用等腰三角形三线合一的性质，结合$E$是$BC$中点，可知$DE⊥ BC$，最后在$Rt△ DEC$中用勾股定理求出$DE$的长度。
【解析】
解：过点$B$作$BF⊥ AC$于点$F$，
$\because\tan A=\frac{BF}{AF}=2$，$\therefore$设$AF=x$，则$BF=2x$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：$AF^2+BF^2=AB^2$，
即$x^2+(2x)^2=3^2$，解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$（长度取正值），
$\therefore AF=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$BF=2x=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
$\because AC=2\sqrt{5}=\frac{10\sqrt{5}}{5}$，$\therefore FC=AC-AF=\frac{10\sqrt{5}}{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
$\because∠ ADB$是$△ BCD$的外角，$\therefore∠ ADB=∠ C+∠ DBC$，
又$\because∠ ADB=2∠ C$，$\therefore∠ DBC=∠ C$，$\therefore DB=DC$，
设$DC=DB=m$，则$AD=AC-DC=2\sqrt{5}-m$，
$\therefore DF=AD-AF=(2\sqrt{5}-m)-\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{7\sqrt{5}}{5}-m$，
在$Rt△ BDF$中，由勾股定理得：$DF^2+BF^2=BD^2$，
即$(\frac{7\sqrt{5}}{5}-m)^2+(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2=m^2$，
展开化简得：$17-\frac{14\sqrt{5}}{5}m=0$，解得$m=\frac{17\sqrt{5}}{14}$，即$DC=\frac{17\sqrt{5}}{14}$，
在$Rt△ BFC$中，$BC=\sqrt{BF^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{7\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{17}$，
$\because E$是$BC$中点，$DB=DC$，$\therefore DE⊥ BC$，$EC=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2}$，
在$Rt△ DEC$中，$DE=\sqrt{DC^2-EC^2}=\sqrt{(\frac{17\sqrt{5}}{14})^2-(\frac{\sqrt{17}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1445}{196}-\frac{833}{196}}=\sqrt{\frac{612}{196}}=\frac{3\sqrt{17}}{7}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{17}}{7}}$
【知识点】
等腰三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了三角形外角性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的应用，解题关键是合理作出辅助线构造直角三角形，通过设未知数列方程求出线段长度，再结合等腰三角形三线合一的性质求解目标线段。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：1. 遇到$\tan A=2$的条件，优先过$B$作$AC$的垂线$BF$，构造直角三角形，利用勾股定理求出$AF$、$BF$、$FC$的长度；2. 利用三角形外角性质，结合$∠ ADB=2∠ C$，推导得出$∠ DBC=∠ C$，进而得到$DB=DC$，设$DC=BD=m$，在$Rt△ BDF$中用勾股定理列方程求出$m$的值；3. 先在$Rt△ BFC$中求出$BC$的长度，再利用等腰三角形三线合一的性质，结合$E$是$BC$中点，可知$DE⊥ BC$，最后在$Rt△ DEC$中用勾股定理求出$DE$的长度。
【解析】
解：过点$B$作$BF⊥ AC$于点$F$，
$\because\tan A=\frac{BF}{AF}=2$，$\therefore$设$AF=x$，则$BF=2x$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：$AF^2+BF^2=AB^2$，
即$x^2+(2x)^2=3^2$，解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$（长度取正值），
$\therefore AF=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$BF=2x=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
$\because AC=2\sqrt{5}=\frac{10\sqrt{5}}{5}$，$\therefore FC=AC-AF=\frac{10\sqrt{5}}{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
$\because∠ ADB$是$△ BCD$的外角，$\therefore∠ ADB=∠ C+∠ DBC$，
又$\because∠ ADB=2∠ C$，$\therefore∠ DBC=∠ C$，$\therefore DB=DC$，
设$DC=DB=m$，则$AD=AC-DC=2\sqrt{5}-m$，
$\therefore DF=AD-AF=(2\sqrt{5}-m)-\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{7\sqrt{5}}{5}-m$，
在$Rt△ BDF$中，由勾股定理得：$DF^2+BF^2=BD^2$，
即$(\frac{7\sqrt{5}}{5}-m)^2+(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2=m^2$，
展开化简得：$17-\frac{14\sqrt{5}}{5}m=0$，解得$m=\frac{17\sqrt{5}}{14}$，即$DC=\frac{17\sqrt{5}}{14}$，
在$Rt△ BFC$中，$BC=\sqrt{BF^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{7\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{17}$，
$\because E$是$BC$中点，$DB=DC$，$\therefore DE⊥ BC$，$EC=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2}$，
在$Rt△ DEC$中，$DE=\sqrt{DC^2-EC^2}=\sqrt{(\frac{17\sqrt{5}}{14})^2-(\frac{\sqrt{17}}{2})^2}=\sqrt{\frac{1445}{196}-\frac{833}{196}}=\sqrt{\frac{612}{196}}=\frac{3\sqrt{17}}{7}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{17}}{7}}$
【知识点】
等腰三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了三角形外角性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形的应用，解题关键是合理作出辅助线构造直角三角形，通过设未知数列方程求出线段长度，再结合等腰三角形三线合一的性质求解目标线段。
【难度系数】
0.3
三、解答题
13.如图,在$△ ABC$中,$AB=12$,$∠ B=30°$,$\tan C=\frac{3}{4}$,求$BC$的长。
13.如图,在$△ ABC$中,$AB=12$,$∠ B=30°$,$\tan C=\frac{3}{4}$,求$BC$的长。
答案
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = AB·\sin30° = 12×\frac{1}{2}=6$，
$BD = AB·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C=\frac{3}{4}=\frac{AD}{CD}$，
∴ $CD = \frac{AD}{\tan C} = 6÷\frac{3}{4}=8$。
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3} + 8$。
答：BC的长为$8+6\sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = AB·\sin30° = 12×\frac{1}{2}=6$，
$BD = AB·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C=\frac{3}{4}=\frac{AD}{CD}$，
∴ $CD = \frac{AD}{\tan C} = 6÷\frac{3}{4}=8$。
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3} + 8$。
答：BC的长为$8+6\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要求BC的长度，首先观察到△ABC是斜三角形，无法直接利用已知条件计算边长，因此考虑通过作高构造直角三角形求解：过点A作AD⊥BC，将△ABC分割为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形。先在Rt△ABD中，利用30°角的三角函数关系求出AD、BD的长度，再在Rt△ACD中结合tanC的已知条件求出CD的长度，最后将BD与CD相加即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = AB·\sin30° = 12×\frac{1}{2}=6$，
$BD = AB·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C=\frac{3}{4}=\frac{AD}{CD}$，
∴ $CD = \frac{AD}{\tan C} = 6÷\frac{3}{4}=8$。
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3} + 8$。
【答案】
$8+6\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，构造直角三角形
【点评】
本题是解三角形的常规基础题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算对应边长，熟练掌握特殊角的三角函数值是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
要求BC的长度，首先观察到△ABC是斜三角形，无法直接利用已知条件计算边长，因此考虑通过作高构造直角三角形求解：过点A作AD⊥BC，将△ABC分割为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形。先在Rt△ABD中，利用30°角的三角函数关系求出AD、BD的长度，再在Rt△ACD中结合tanC的已知条件求出CD的长度，最后将BD与CD相加即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=12，
∴ $AD = AB·\sin30° = 12×\frac{1}{2}=6$，
$BD = AB·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan C=\frac{3}{4}=\frac{AD}{CD}$，
∴ $CD = \frac{AD}{\tan C} = 6÷\frac{3}{4}=8$。
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3} + 8$。
【答案】
$8+6\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，构造直角三角形
【点评】
本题是解三角形的常规基础题型，解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的定义计算对应边长，熟练掌握特殊角的三角函数值是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
